Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Саволлар:

1. 
   Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантларни щисоблаш усулларини келтиринг.
   
2. 
   Детерминантларни асосий хоссаларини ёзинг.
   
3. 
   Минор ва алгебраик тылдирувчи тушунчаларига таъриф беринг.
   
4. 
   Крамер формуласидан =айси щолда фойдаланиш мумкин?
   

8-МАВЗУ: МАТРИЦАЛАР, УЛАРНИ ТУРЛАРИ, ХОССАЛАРИ.
Режа.

1. 
   Кириш.
   
2. 
   Матрица тушунчаси, унинг турлари.
   
3. 
   Матрицалар устида амаллар.
   
4. 
   Матрицани ранги.
   
5. 
   Тескари матрица ва уни топиш усуллари.
   

Адабиётлар: 2, 6, 8.
1. Кириш. Ытган мавзуда биз чизи=ли алгебрани мухим тушунчаларидан бири детерминантлар ва улар ёрдамида чизи=ли тенгламалар системасини ечиш усуллари билан танишдик. Чизи=ли алгебранинг яна бир мухим тушунчаларидан бири матрица тушунчаси былиб, уни ёрдамида кыпгина и=тисодий масалаларни ечиш имкониятига эга былинади.

2. 
   Матрица тушунчаси, унинг турлари.
   

1-Таъриф. Исталган а_ij сонларни m-та сатр n-та устунга жойлаштириб, ушбу
а₁₁ а₁₂ ...а_1n
a₂₁ a₂₂ .. a_2n (1) a_m1 a_m2 a_mn
к ыринишда тузилган ифодага матрица дейилади. Матрицада сатрлар сони m, устунлар сони n дан кичик, унга тенг ёки катта былиши мумкин. Матрица билан детерминант бир-бирига ыщшаш былсада лекин улар орасида катта фар= бор. Масалан: 1. Матрицада сатрлар сони устунлар сонига тенг былиши шарт эмас. Детерминантда эса сатрлар сони устунлар сонига тенг былиши керак. 2. Детерминант ани= сонни ифодалайди. Матрица эса щеч =андай сонни билдирмайди. Матрицани сонлардан тузилган =андайдир жадвал деб =араш мумкин. (1) матрицадаги а_ij(i=1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) сонлар матрицанинг элементлари дейилади. Агар mn былса, яъни сатрлар сони устунлар сонига тенг былмаса, у щолда бундай матрицани ты`ри бурчакли матрица дейилади. Аксинча, m=n былса, у щолда матрицани квадрат матрица дейилади. n-ни матрицанинг тартиби дейилади. Ушбу кыринишдаги 1 сатрли n устунли матрицани А= ( а₁₁ а₁₂ ... а_1n) сатр матрица дейилади. Худди шунингдек, m сатрли ва 1 устунли матрицани, яъни ушбу кыринишдаги матрицани
в₁₁
В= в₂₁
в_m1 устун матрица дейилади. Ушбу кыринишдаги

а ₁₁ 0 0 0 0

А= 0 а₂₂ 0 0 0
...........................................
0 0 0 0 а_nn матрицани диагонал матрица дейилади. Агар диагонал матрицанинг барча диагонал элементлари бирга тенг былса, яъни ушбу кыринишдаги матрица бирлик матрица дейилади:


1 0 0 .... 0
Е = 0 1 0 .... 0
....................
0 0 .... 1
А матрицани детерминантини  А  билан белгилаймиз.


a₁₁ а₁₂... а_1n
A = a₂₁ a₂₂... a_2n
a_n1 a_n2... a_nn Агар А0 былса, у щолда А матрицани махсусмас матрица дейилади. Аксинча,  А =0 былса, А ни махсус матрица дейилади.
2-Таъриф. А матрицадаги сатрларни мос устунлар =илиб ёзиш натижасида щосил былган а₁₁ а₂₁ а_m1
ушбу: A^т= a₁₂ a₂₂ a_m2 a_1n a_2n a_mn матрицани А га транспонирланган матрица дейилади. Ёки А^т матрица А ни транспозициялаш натижасида щосил былган дейилади.
3-Таъриф. m сатрли ва n устунли иккита А ва В матрицалардан бирининг щамма элементлари иккинчисининг мос элементларига тенг, яъни а_ij=в_ij былса, бу матрицалар тенг дейилади ва А=В кыринишида ёзилади.
3. Матрицалар устида амаллар.
а) Матрицани сонга кыпайтириш.
Берилган матрицани бирор m сонига кыпайтириш учун унинг щамма элементларини шу m сонга кыпайтириш керак, яъни А=(а_ij) былса, mA=(ma_ij) былади.
б) Матрицаларни =ышиш ва айириш.
m сатрли ва n устунли икки А ва В матрицаларни =ышиш (айириш) учун уларнинг мос элементларини =ышиш (айириш) керак. Яъни А=(a_ij) ва В=(в_ij) былса, А+В=С С=(с_ij), бу ерда с_ij=a_ij+в_ij
(i= ,m; j=,n).
в) Матрицани матрицага кыпайтириш.
А матрицани В матрицага кыпайтмаси яна матрица былиб, унинг элементларини щосил =илиш учун А матрицанинг i-чи сатр элементларини В матрицанинг j-чи устуннинг мос элементларига кыпайтириб, натижаларни =ышиш билан щосил =илинади, яъни с_ij=a_ijв_ij+a_i2в_2i+...+a_inв_nj=a_ikв_kj. А матрицани В матрицага кыпайтмаси АВ билан белгиланади.
Эслатма 1. А матрицани В матрицага кыпайтириш учун А матрицадаги устунлар сони В матрицадаги сатрлар сонига тенг былиши керак.
4. Матрицанинг ранги.
4-Таъриф. m сатрли n устунли А матрица берилган былсин. А матрицада исталган S та сатр ва S та устунни кесишган жойида турувчи элементларни шу матрицада жойлашгандек олиб, улардан S-тартибли детерминант тузамиз. Бу S-тартибли детерминантни А матрицанинг S-тартибли минори дейилади.
5-Таъриф. А матрицанинг нолдан фар=ли минорларидан энг ю=орисининг тартибига бу матрицанинг ранги дейилади. Матрицанинг ранги r(A) билан белгиланади.
5. Тескари матрица тушунчаси.
6-Таъриф. А ва Х n-тартибли квадрат матрицалар ва Е n-тартибли бирлик матрица былсин. Агар АХ=ХА=Е тенглик бажарилса, у щолда Х матрицани А га тескари матрица дейилади. Тескари матрица А^-1 билан белгиланади. Демак, таърифга кыра АА^-1=Е тенглик ыринлидир.
Теорема. Щар =андай махсусмас квадрат матрица учун тескари матрица (ягона) мавжуд ва у =уйидаги формуладан ани=ланади:

А₁₁ А₂₁ ... А_n1
A^-1=1/A A₁₂ A₂₂ ... A_n2 (1.2)
A_1n A_2n ... A_nn

Бу ерда А_ij (i,j=1,n) А матрица элементларини алгебраик тылдирувчисини билдиради.

Эслатма. Махсус квадрат матрица учун тескари матрица мавжуд эмас. Чунки бундай матрица учун А =0 га тенг. (1.2) формуладан кыринадики 0 га былиш мумкин эмас.
Хусусан, 2-тартибли квадрат матрица учун тескари матрица ушбу кыринишда былади, яъни а₂₂ -а₁₂
а₁₁ а₁₂ учун А^-1=1 А -а₂₁ а₁₁
а₂₁ а₂₂
3-тартибли квадрат матрица учун эса тескари матрица ушбу формуладан топилади.
А₁₁ А₂₁ А₃₁
А^-1=1/ А А₁₂ А₂₂ А₃₂
А₁₃ А₂₃ А₃₃
бу ерда А_ij=(-1)^i+jM_ij ёрдамида топилади.