Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

ab(a+b-2c)+bc(b+c-2c)+ac(a+c-2b)>0
ekanligini isbotlashda
b²c-2abc+a²c+ab²-2abc+ac²+a²b-2abc+bc²=
=c(b²-2ab+a²)+a(b²-2bc+c²)+b(a²-2ac+c²)=c(a-b)²+a(b-c)²+b(a-c)²0
dan foydalanish mumkin.
4. Barcha xususiy hollarni qarab chiqish usuli. Bu usulda mulohazaga tegishli barcha xususiy hollar qaralib, qarama-qarshilikka yoki toʻgʻri mulohazaga kelish amalga oshiriladi. Masalan, sonlarning irratsionalligini isbotlashda boʻlinish alomatidan foydalanib quyidagi masalani echish mumkin.
1-masala. Aq - bunda k-butun son koʻrinishidagi sonning irratsionalligini isbotlang.
Isbot. Har qanday butun son 5 ga boʻlinganda, faqat 0,1,2,3,4 qoldiqlar bergani uchun butun sonning kvadrati faqat 0,1 va 4 qoldiqlarni beradi. Shuning uchun a va a² ning tub koʻpaytuvchilari yoyilmasida qandaydir r koʻpaytuvchi toq daraja bilan kiradi. Lekin aqmn-qisqarmas ratsional son boʻlsin, u holda m²qa²n² va m:p, n:p qarama-qarshilik.
Yana shunga oʻxshash quyidagi masalani echishda ham biror xususiy hol qaralib, keyin qarama-qarshilik hosil qilishdan foydalaniladi.
2-masala. 0,12345.. (barcha sonlar tartib bilan yozilgan) sonning irratsionalligini isbotlang.
Isbot. Faraz qilaylik, bu davriy kasr davri n ta belgidan iborat boʻlsin. Lekin bu kasrda qatorasiga 2n+1 ta nolga joy topiladi. Bu oraliqda butun bir davr joylashishi lozim, ya’ni butun bir davr joylashadi, ya’ni davr nollardan tashkil topgan, lekin bu unday emas, qarama-qarshilikka keldik.
Algebra darslarida ayniqsa tengsizliklarni isbotlash usullariga oʻrgatish muhimdir. Bunda quyidagi usullarni qoʻllashni oʻrgatish zarur:
1. Ikki son oʻrta arifmetigi va oʻrta geometrigi orasidagi tengsizlikdan foydalanish usuli, ya’ni tengsizlikdan foydalanib isbotlash.Avvalo oʻquvchilarga uning sodda koʻrinishlarini isbotlashni taklif etish mumkin:
1. ; 2. ; 3. ;4.
Shundan soʻng, quyidagi koʻrinishdagi tengsizliklarni isbotlashga oʻtish mumkin:
Agar - musbat sonlar boʻlsa,

tengsizlik oʻrinli boʻlishini isbotlang.
Buni isbotlash ikki marta asosiy tengsizlikni qoʻllash orqali amalga oshiriladi.
2. Harfiy ifodani yigʻindi yoki ayirma shaklida tasvirlash usuli. Bunda qulay shakl almashtirishlar yordamida ifodani hadlarini 1 yoki 0 bilan oson taqqoslash mumkin boʻlgan koʻrinishga keltiriladi.
Misol. x ixtiyoriy son boʻlganda

tengsizlikni isbotlashda uning birinchi va toʻrtinchi, ikkinchi va uchinchi hadlarni alohida koʻpaytirib, tengsizlikning

isbotini olish mumkin.
3. Harfiy ifodalarni koʻpaytuvchilarga ajratish usuli, bunda agar oʻsuvchi funktsiya va a, v bu funktsiya aniqlanish sohasiga tegishli sonlar boʻlsa, u holda ( tengsizlik oʻrinli boʻlishidan foydalaniladi. Masalan, musbat x va u sonlar uchun

tengsizlikni isbotlashda belgilashlarni kiritib, yuqoridagi qoidadan foydalanamiz.
4. Darajani oʻz ichiga olgan sonli ifodalarni ayniy shakl almashtirish usuli, bu asosan darajaga bogʻliq ifodalarni katta yoki kichikligini aniqlashga doir masalalarni echishda qoʻllaniladi. Bunga doir quyidagi mashqlardan foydalanish mumkin:
Taqqoslang: qaysi katta 7⁹² mi yoki 8⁹¹ , 2⁴⁰ mi yoki 3³⁷ ?
5. Matematik induktsiya printsipi asosida isbotlash usuli natural sonlar va ularning yigindilari bilan bogʻliq koʻp tengsizliklarni isbotlashda qoʻllaniladi.Bunda oʻquvchilarga har bir qadamning asoslanishi hamda uning turli xil koʻrinishlarini hisobga olgan holda isbotlashga oʻrgatish maqsadga muvofiq.
Masalan, agar ikkita natural sonlar ketma-ketligi berilgan boʻlib, biror natural son m uchun oʻrinli boʻlib, barcha lar uchun boʻlsa, u holda barcha n>m lar uchun oʻrinliligidan foydalanib, tengsizliklarni isbotlash mumkin . Masalan, n da tengsizlikni shu usul bilan isbot-lash mumkin.
Xuddi shunga oʻxshash , biror natural son m uchun oʻrinli boʻlib, barcha lar uchun boʻlsa, u holda barcha n>m lar uchun oʻrinli boʻlishidan esa 1) n da ; 2) (n ; 3) tengsizliklarni isbotlash imkoniyati vujudga keladi.
Shunday qilib, maktabda algebra darslarida oʻquvchilarga isbotlash usullarini oʻrgatishda xar xil usullar tadbiqlarini misollarni muhokama qilish orqali amalga oshirilishi yaxshi natijalar beradi. Bunda universitetlar talabalarini uslubiy tayyorgarligini amalga oshirishda ham bunga aloxida e’tibor berish talab etiladi va amaliy mashgʻulotlarda hamda pedagogik amaliyotda qoʻllash usullariga boʻlajak oʻqituvchilarni oʻrgatib borish maqsadga muvofiq.