Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

3.4-lemma. Agar modul boʻyicha bosh xarakter boʻlsa, u holda funksiya berilgan

sohada nollarga ega boʻlmaydi.
Lemmaning isboti [17] dagi ishda koʻrsatilgan.
Agar ga tayanib, larni hisoblasak, 3.1-teoremaning isboti 3.2-3.4-lemmalardan kelib chiqadi. Chen’a [18] dagi 3-teoremadan tasdigʻi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, [18] dagi ishning 3-teoremasida koʻrsatilganidek, uchun quyidagi tengsizlik mavjud:

bu yerda nolning haqiqiy qismi. Bu tengsizlik quyidagisi bilan teng kuchli boʻlib,

bundan ni hisobga olsak, (3.2) ga ega boʻlamiz.
(3.3) tengsizlik oʻng tomonining haqiqiyligi Pintz’a J. [19] natijasidan kelib chiqib, agar modul boʻyicha haqiqiy bosh xarakter boʻlmasa, u holda funksiya ( effektiv doimiy) uchun
intervalda yagona haqiqiy nolga ega boʻladi.
[19] ishning (3.12) munosabatiga koʻra, quyidagi tengsizlikdan aniqlanishi kerak:

Keling boʻlsin, u holda barcha lar uchun oxirgi tengsizlik oʻrinli va yuqorida ifodalangan Pintz’a natijasidan biz (3.3) ning oʻng qismini olamiz. (3.3) ning chap tomonini isbotlash qoladi.
Keling funksiyaning maxsus noli va modul boʻyicha mos keluvchi maxsus xarakter boʻlsin. Oʻrtacha qiymat teoremasi boʻyicha bizda

mavjud, bu yerda Bu yerdan

(3.22) ning oʻng qismini koʻrib chiqaylik. Avvalo ni baholaylik, bu yerda ning ta’rifidan quyidagi kelib chiqadi:

(3.7) formuladan quyidagini topamiz:

bu yerda Loran qatorini boʻyicha uning qutblari atrofida yoyishdagi koeffitsiyent.
(3.7) formula yordamida hisoblash shuni koʻrsatailgani, ga teng va natijada oxirgi tengsizlikning oʻng tomonidagi ni tashlab yuborishimiz mumkin boʻladi.
Bundan keyin boʻlsa, demak

Qisman xulosa qilib, Vinogradov-Poy tengsizligi quyidagini beradi:

Shunday qilib, (3.23) dan quyidagini olamiz:

Endi quyida ni baholaymiz. deb olaylik va ikki holni qaraylik:

1. 
   boʻlsin. U holda [5] dagi ishning (15) formulasiga koʻra,
   

boʻladi, bu yerda berilgan diskriminant formalari sinflari soni, bu formalarning avtomorfizmlari soni. ni inobatga olgan holda va

(3.25) dan quyidagini olamiz:

bu yerda

(3.22) dan (3.25) va (3.26) ga binoan, quyidagini topamiz:

bu yerda keyinroq tanlanadi, ( (3.3) ning oʻng qismiga qarang.) va

2. 
   Endi boʻlsin. U holda [16] dagi ishning (16) formulasiga koʻra,
   

bu yerda ( tenglamaning eng kichik yechimi). Demak, va , u holda
(3.29) va (3.22) dan

ga ega boʻlamiz. deb hisoblash mumkin. Shuning uchun, agar boʻlsa, ya’ni boʻlsa, u holda (3.27) har doim oʻrinli boʻladi. Shunday qilib, (3.28) dan va ga koʻra, ni topamiz. boʻlgan holda, va ga koʻra Pell tenglamasini yechib, eng kichik musbat yechimni topamiz (bu tenglamaning barcha yechimlari [24] ning 48-§ dagi belgilangan shartlarida keltirilgan). Endi ga ishonch hosil qilish qiyin emas. Shuning uchun, bu holatda deb taxmin qilishimiz mumkin. Demak, , u holda barcha lar uchun ni olishimiz mumkin. E’tibor bersak, agar yoki boʻlsa, u holda mos ravishda yoki boʻladi deb taxmin qilishimiz mumkin.
Ushbu paragraph yakunida shuni ta’kidlaymizki, 3.1-teoremani isbotlashda Miech’a R.J. [21] dagi ishni toʻgʻridan-toʻgʻri ishlata olmaymiz, chunki bu ishdagi natijalat faqat yetarlicha katta lar uchun olingan. 3.1 teoremaning v) qismi bayonotida haqiqiy nol uchun pastroq baho sifatida, xususan, (3.20) bahosini olish mumkin, ammo Pintz’a [19] ishidan ning faqat haqiqiy nollari hisobga olinadi, uchun (3.20) dan koʻra yaxshiroq baho kelib chiqadi.