Тошкент давлат техника университети

Маълум бошланғич x₁(0)  0 ҳолатидан аниқланган чекли x₁() = 0 ҳолатига ўтиш жараёнида


J =  (q₁ x₁² + r₁ u₁²) dt, (М2.3)
⁰
функционалнинг минимум шартини таъминловчи оптимал бошқаришини (9.10) хусусий ҳосилали функционал тенгламалар орқали аниқлаш талаб этилади. Бу ерда T ва k - объектнинг вақт дойимийлиги ва кучайтириш коэффициенти:
a₀ = - 1/ T; b₀ = k / T; x₁ = y(t); u₁ = u(t),
шу ерда q₁ > 0 ва r₁ > 0 - вазн коэффициентлари.
Ечиш. Ёрдамчи функцияни қуйидаги кўринишда ёзамиз:
S(x) = A₁₁ x ₁². (М2.4)
Бу ҳол учун (9.10) асосида Беллманнинг функционал тенгламаларини ёзамиз:
 q₁ x₁² + r₁ u₁² + (a₀ x₁ + b₀ u₁)  S / x₁ = 0 ;

 2 r₁ u₁ + b₀  S / x₁ = 0 . (М2.5)
Иккинчи тенгламасидан
u₁^о(t) = - (b₀ /2 r₁)  S / x₁ , (М2.6)
ёки (4) ҳисобга олсак оптимал бошқариш
u₁^о(t) = - (b₀ /2 r₁) A₁₁ x ₁(t) = k_та y(t) , (М2.7)
шу ердан тескари алоқа коэффициентини топамиз:
k_та = - A₁₁ b₀ / r₁ . (М2.8)
Оптимал бошқариш (8) юқори 8 параграфдаги мисолнинг оптимал бошқаришни классик вариацион усули билан аниқланган (9) ифодага мос келади. k_та аниқлаш учун, (4) ифодадан  S / x₁ хосилани топиб, (5) ва (6) тенгламага қуямиз:
q₁ x₁² + b₀ / r₁ A₁₁² x ₁² + 2a₀ A₁₁ x₁² - 2 b₀² /r₁ A₁₁² x₁² = 0 ,
ёки
b₀² A₁₁² - 2a₀ r₁ A₁₁ - q₁ r₁ = 0,
бу квадрат тенгламадан A₁₁ топамиз
_{}
A₁₁ = r₁ / b₀²(a₀   a₀² + b₀² q₁ / r₁ )
ва бу қийматни k_та учун чиқазилган ифодага қўйсак, ҳосил қиламиз:
_{}
k_та = - (a₀ +  a₀² + b₀² q₁ / r₁ )/ b₀ .


2.5. Динамик программалаш тенгламаларини сонли ечиш

Беллман тенгламалар (9.9) ва унга мос (9.10) функционал тенгламалар аналитик ечимини олиш қийин, баъзан эса умуман олиб бўлмайди, Шунинг учун тақрибий ечимлар олинади. Сонли ечимни олиш учун одатда ЭҲМлардан фойдаланишади. Шу мақсадда дастлабки объект ҳолат тенгламаларини, берилган бошланғич қийматлар ва чекланмалар билан бирга:

_.
x = A x + B u = f(x, u) ; (1)
x(t₀) = x₀ ; x(t_С) = x_С, t₀  t  T; x(t)  _x , u(t) _u ,
чекли-айирма тенгламаларга алмаштирилади:
X_k = f(X_k-1 , u_k ) t;
X_k = X_{k - 1} +  X_k ;
X₀ = X(t₀); X_N = X(T);
u_k = u_{k –1} +  u_k; t = (T - t₀)/N ; (2)
шу ерда k = 1, 2, …, N; N - қадамлар сони.
(9.6) ифодага кўра функционални қуйдагича ёзамиз:
_N
J =  F_k (X_k-1 , u_k ) t . (3)
^{k = 1}
Бошқарув u_k хар бир вақт оралиқ бошида олган қийматини, оралиқ тамом бўлгунча ўзгартирмайди. Хар қандай оралиқ учун топилган бошқарувлар u^o₁, u^o₂,…, u^o_N қуйдаги шартларга u_k  _u , X_k  _x , X₀ = X(t₀), X_N = X(T) қониқтириб, (3) функционалнинг минимуми таъминланса, ҳосил бўлган бошқарув оптимал бўлади.
Оптималлаш масаласини сонли ечишда жараён бўлакларини тескари кетма-кетликда (k = N - 1, N - 2, … , 2, 1), яъни «якунидан бошигача қадам-қадамлаб» кўриб чиқишади. Барча ҳисоблар қуйдаги рекуррент ифодага асосланиб бажарилади:
S_k (X_{k – 1}) = min { F_k (X_k-1 , u^o_k ) t + S_{k + 1} [X_k (X_k-1 , u^o_k )]}. (4)
u^o_k  _u
Натижада u^o_N (X_N-1), X_k(t_k), u^o_k(X_k-1), X_N(t_N) = X(T) ларни ҳосил қилиб, таҳминий оптимал траекторияни X^о(t) қуришимиз ва тахминий оптимал бошқаришни u^o(t) топишимиз мумкин. Масалани сонли ечиш орқали квазиоптимал бошқаришни ҳосил қиламиз. Ҳисоблашда u(t)_u, X(t)_x чекланмалар инобатга олиниб, тақиқланган бошқаришлар u_k(X_k–1)га йўл қўйилмайди.
Динамик программалаш усулини қўллашнинг мақсадга мувофиқ соҳаси. Ушбу усул дискрет (узлукли) системаларни оптималлашда самарали қўлланилади. Дискрет вақт киритилиши билан оптималлашнинг вариацион масаласини кам сондаги ўзгарувчанлар (бошқарувлар) функциясини минимумлаш каби N та оддий масалаларга келтиришга муваффақ бўламиз. Хар бир оралиқ (кесма)ни ичида объектнинг бошқариш ва координаталари ўзгармас қабул қилинади. Яъни динамик программалашда худди импульсли системалардек ёндошилади.
Оптималланадиган объект жараёнлари узлуксиз бўлса ёрдамчи функцияси S(t,X) га фазавий фазонинг барча нуқталарида дифференциалловчи бўлишлиги талаб қилинади. Лекин бу талаб кооординаталарнинг четки қийматлари x_i = X_{i max} да бажарилмайди. Беллман функционал тенгламаларини ечиш қўшимча қийинчиликлари: ёрдамчи функцияси S(t, X) олдиндан номаълум ҳамда (4.10)даги тенгламаларда хусусий ҳосилалар мавжуд. Оптимал бошқариш u^o(X) синтезида ёрдамчи функцияни (4.11) кўринишга келтира олсак масаламиз анча осонлаштирилади. Юқоридаги масалада u^o(X) ни аниқлаш жараёни дифференциал тенгламаларни интеграллаш (1 мисол) ўрнига ночизиқли алгебраик тенгламани ечиш (2 мисол)га олиб келанганлиги кўрсатилди.
Беллман тенгламамалари (4.9)ни сонли ечганда объектни бошқариш координаталари ва чиқишига қўйилган чекланмаларни инобатга олиш, рухсат берилмаган бошқаришларни чиқариб ташлаш мумкин.
Ёрдамчи функциясини S(t, X) аналитик кўринишда аниқлаш умумий усули йўқ, ҳар янги масалада алоҳида тадқиқотлар талаб қилинади. Квадратик функционалли стационар чизиқли объектлар учун ёрдамчи функция S(X) Ляпунов фукцияси эканлигини эслатамиз.


2.6. Л.С. Понтрягиннинг максимум принципи

Объектни ўрганаётганда бошқариш функциялари ва холат координаталар хосилалари узлуксиз бўлса, классик вариацион усулларни

_.
қўллаш қулай. Лекин бошқариш u(t) ва x узулишларга эга бўлса масала жидийллашади. Шу ҳолда оптималлаш масалалани ечиш учун Л.С.Понтрягин томонидан максимум принципи усули ишлаб чиқилди.
Фараз қилийлик объект динамикаси (4.1) яъни қуйдагича холат тенгламалари ва бошланғич қийматлар билан ифодалансин:
_.
x = A x + B u = f(x, u) ; (1)
x(t₀) = x₀ ; x(t_С) = x_С ,
ҳамда t₀  t  T оралиқда x(t)  _x ва u(t) _u чекланмалар (_x ва _u - ҳолат ва бошқариш координаталарнинг аниқлаш соҳаларидир), бундан ташқари объектнинг ишлаш сифатини белгилайдиган функционал мавжуд бўлcин:
_tc
J =  F(x, u, t) dt, T = t_С . (2)
^to _.
Бошқарувда u(t) узулишлар бўлса, x координаталар ҳам узулишларга эга бўлиб, улар ҳолати ва сони олдиндан номаълум бўлади. Оптималлаш масаласи: маълум (1)да функционал (2) минимум шартидан оптимал бошқариш u^o(t) ва траектория X^o(t)ни топиш.
Биринчи тартибли узилишлар мавжудлиги сабабли x_i (t) силлиқ бўлмайди ва каноник тенгламалар (3.11)ни
_.
x = Н/  = A x + B u ;
_.
 = - Н/ x = F/ x + ^TG/ x. (3)
ёки _.
L/ u_l - d/ dt(L/ u_l) = 0 , (4)
оптимал бошқариш масаласида бевосита қўллаш мумкин эмас. Шундан ташқари (3.7) Лагранж кўпайтирувчиларни:
_.
dL/ dx_i = p_i = _i ; i = 1, 2,…, n ; (5)
ва Гамильтон функциясини:
_{. .}
Н = ^T X – L( x, x, u, u, , t); (6)
бевосита оптималлашда татбиқ этиш мумкин эмас. Чунки u(t) функциянинг биринчи тартибли узулулишлари вариацияси (ортирмаси) ни катта бўлишига келтиради. Демак, функционал (2) вариация (ортирма)си J каттайиб қетиши мумкин. Натижада (1.4) J ортирмани Тейлор қатори кўринишда тасвирлаган ифодамизда:
_{tc . . tc}
J =  F(x₁ + x₁ , х₁ + х₁ , t) dt -  F(x₁, х₁, t) dt 
^{to to}
_{tc . tc . .}
  ( F(x₁, х₁, t)/  x₁) x₁ dt +  ( F(x₁, х₁, t)/  x₁)  х ₁ dt +
^to _{tc .} ^to
+  ( ² F(x₁, х₁, t)/  x₁²) (x₁)²/2 dt + … (7)
^to
_.
фақат x₁ ва  x₁ ларга нисбатан чизиқли хадлар билан кифояланмасдан, ночизиқли ҳадларни ҳам ҳисобга олиш зарурияти туғилади. Л.С.Понтрягин томонидан игнали вариация тушунча оптималлаш масаласига киритилган (расм 2.1).
Вақтнинг чексиз кичик оралиғи   0 да ўзгарилаётган оптимал бошқариш функцияси u^o(t) нинг (u(t)  _u шартини инобатга олган ҳолда) чекли қийматли импульс кўринишдаги (расм 2.1) ортирмаси игнали вариация аталади. Игнали вариациянинг бошқариш объектининг кейинги харакатига   t  t_с оралиқда таъсири чексиз кичик. Сабаби, ҳар қандай импульснинг харакатга таъсири унинг юзаси билан баҳоланади. Импульс юзанинг қиймати эса (u - u^o)  чексиз кичкина. Шунга кўра, бошқаришни игнали вариациялашда функционалнинг ортирмаси чексиз кичкина бўлади. Игнали вариация оптимал бошқариш u^o(t)га нисбатан амалга оширилса, (2.2) функционалнинг
_tc
J =  F[y, ý, t] dt, (8)
^tо
экстремум (2.6) шарти бажарилади, яъни функционал ортирмаси нолга айланади:
 J = 0. (9)
(8) функционалда y = y(t) ва ý = dy/dt - объект траекториянинг чиқиш координатаси ва унинг вақт бўйича биринчи ҳосиласи.

2.7. Максимум принципининг асосий тенгламалари ва уларни

оптимал системалар синтезига қўлланиши
Объектни оптималлаш математик модели ҳолат тенгламаларини вектор кўринишда ёзиш мумкин:
_.