Тошкент давлат техника университети

2.3. Оптимал бошқаришнинг вариацион масаласи тенгламаларининг каноник шакли
Оптимал бошқаришнинг вариацион масаласи тенгламаларининг Гамильтон ёки каноник шакли ёзилиш мумкин. Фараз қилайлик, хусусий ҳолда функционал (2.2) ўзгарувчилар x₁(t) ва x₂(t) ҳамда уларнинг ҳосила-
_{. .}
лари x₁(t) ва x₂(t) га боғлиқ, яъни:
_{tc . .}
J =  F(x₁, x₂, x₁, x₂, t) d. (1)
^to
Шу функционал учун (6.8) турдаги Эйлер тенгламарини ёзамиз:
_.
F/ x₁ - d/ dt(F/ x₁) = 0 ,
_.
F/ x₂ - d/ dt(F/ x₂) = 0 . (2)
Бази алмаштириларни амалга оширамиз. x₁ ва x₂ ўзгарувчилардан янги p₁, ва p₂ ўзгарувчиларга
_{. .}
p₁ = F/ x₁ , p₂ = F/ x₂ , (3)
F функциядан янги Н функцияга ўтамиз:
_{. . . .}
Н = p₁ x₁ + p₂ x₂ - F(x₁, x₁, x₂, x₂, t) .
Умумий ҳолда, вектор кўринишда n ўзгарувчанли Н функция ифодасини ёзамиз:
_{. .}
Н = P^T X – F(X, X, t); P^T = [p₁ p₂ ... p_n], (4)

Шу ерда Н функциясини Гамильтон функцияси, p_i ўзгарувчанлар эса – каноник ўзгарувчанлари аташади. (4) дифференциаллаб, қуйидаги системани ҳосил қиламиз:

 H/ x_i = -  F/ x_i ;
 H/ p_i = d x_i /d t . (5)
(3) ифода ва Эйлер тенгламаларига асосан ёзамиз:
_.
 F/ x_i = d/ dt ( F/ x_i) = d p_i / dt.
Натижада (5) ўрнига янги дифференциал тенгламалар системасини хосил қилиб, Гамильтон каноник тенгламари деб номлаймиз:
d x_i / dt =  H/ p_i ;
d p_i / dt = -  H/ x_i ; (6)
шу ерда иккинчи тенглама дастлабки Эйлер тенгламасини янги математик талқинидир.
Лагранжнинг умумий масаласи учун Лагранж функцияси (2.4), алоқалар функцияси (2.5) ва (3) нинг ҳолат ўзгарувчилари орқали (2.2) ёзилишидан:
_.
dL/ dx_i = p_i = _i ; i = 1, 2,…, n ; (7)
каноник ўзгарувчилар Лагранж кўпайтирувчиларига тенг эканлигини аниқлаб оламиз. (7) фойдаланиб Гамильтон функциясини ёзишимиз мумкин:
_{. . .}
Н = ^T X – L( x, x, u, u, , t); (8)
Эйлер-Лагранжнинг дифференциал тенгламалари
_.
L/ x_i - d/ dt(L/ x₁) = 0 ,
_.
L/ u - d/ dt(L/ u) = 0 . (9)
ва объект тенгламалари (7.1)
_.
x = A x + B u ; x(t₀) = x₀; x(t_С) = x_С , (10)
биринчи тартибли каноник дифференциал тенгламалар тизими билан кўрсатиш мумкин
_.
x = Н/  = A x + B u ;
_. (11)
 = - Н/ x = F/ x + ^TG/ x.
Ҳосил бўлган (11) – вариацион масаланинг тенгламаларидур. Уларни (9) системанининг иккинчи тенгламаси - J функционалнинг бошқариш
координата бўйича стационарлик шарти билан тўлдириш лозим:
L/ u +  _I  g_i / u - d/ dt(L/ u) = 0 . (12)
(11) ва (12) тенгламаларини ечиш натижасида динамикада объектни оптимал бошқаришни ҳосил қиламиз.
1. Мисол. Объектни оптимал бошқариш масаласи.
Объект харакатланиш тенгламаси қуйидаги тенглама билан ифодаланган:
_.
Т y(t) + y(t) = k u(t), (М1.1)
ёки _.
x₁ = a₀ x₁ + b₀ u₁ . (М1.2)
Маълум бошланғич x₁(0)  0 ҳолатидан аниқланган чекли x₁() = 0 ҳолатига ўтиш жараёнида

J =  (q₁ x₁² + r₁ u₁²) dt, (М1.3)
⁰
функционалнинг минимум шартини таъминловчи оптимал бошқаришини аниқлаш талаб этилади. Бу ерда T ва k - объектнинг вақт дойимийлиги ва кучайтириш коэффициенти:
a₀ = - 1/ T; b₀ = k / T; x₁ = y(t); u₁ = u(t),
шу ерда q₁ > 0 ва r₁ > 0 - вазн коэффициентлари.
Масала ечими. (М1.2) учун (2.4) ифодага караб Лагранж функциясини тузамиз:
_.
L = q₁ x₁² + r₁ u₁ +  (x₁ - a₀ x₁ - b₀ u₁) .
(2.6) системага асосан мисолимиз учун Эйлер–Лагранж тенгламаларини ёзамиз:
_.
x₁ = a₀ x₁ + b₀ u₁ ;
_.
₁ = 2q₁ x₁ - a₀ ₁ ; (М1.4)
2 r₁ u₁ - ₁ b₀ = 0.

Шу системанинг охирги тенгламасидан u₁ ни аниқлаймиз:

u₁ = ₁ b₀ /(2 r₁), (М1.5)
бу қийматни (М1.4) системанинг биринчи тенгламасига қўйиб, натижада қуйдаги системага келамиз:
_.
 x₁ = a₀ x₁ + b₀²/(2 r₁) ₁ ;
 _. (М1.6)
 ₁ = 2q₁ x₁ - a₀ ₁ .
Шу системанинг илдизларини топиш учун детерминантини тузиб, нолга тенглаштириб:
 a₀ – p b₀²/(2 r₁) 
(p) =  = p² – ( a₀² + b₀²q₁/ r₁ ) = 0 , (М1.6а)
 2q₁ -( a₀ + p) 
топамиз
 
p₁ =  a₀² + b₀²q₁/ r₁ ; p₂ = -  a₀² + b₀²q₁/ r₁ .
Объект турғунлиги ва x₁() = 0 шартларини манфий илдиз p₂ қаноатланатиради, шунинг учун (М1.6) тизимнинг ечими қуйидаги кўринишда бўлади:
x₁ = c₁ exp(p₂ t);
₁ = c₂ exp(p₂ t), (М1.7)
бу ерда с₁ ва с₂ интеграллаш дойимийликлари:
с₁ = x₁(0), с₂ = ₁(0).
с₁ - маълум, чунки бошланғич қиймати x₁(0) масаланинг шартларида берилади, с₂ нинг қийматини аниқлаш учун (М1.7) ифодани (М1.6)га қўйиб, ёзишимиз мумкин:
p₂ c₁ exp(p₂ t) = a₀ c₁ exp(p₂ t) + b₀²/(2 r₁) c₂ exp(p₂ t).
қатор соддалаштириш ва алмаштиришлардан кейин:
c₂ = (p₂ - a₀) (2 r₁ c₁) / b₀²,
хосил қиламиз ва қидирилаётган оптимал бошқаришни топамиз:
u^o(t) = ₁ b₀ /(2 r₁) + [ (p₂ – a₀)/b₀ ] c₁ exp(p₂ t). (М1.8)
Оптимал бошқариш (М1.8) берилган бошланғич қиймат x₁(0) = с₁  0 дан аниқланган дойимийлик с₁ га боғлиқ ва объектнинг чиқиш координатаси y(t) да қандай бўлса, ўшандай ўзгариш қонунига эга. (М1.7) ифодани хисобга олиб, (М1.8) оптимал бошқаришни қуйидагича ёзишимиз мумкин:
u^o(y) = [ (p₂ – a₀)/b₀ ] x₁ = k_TA y, (М1.9)
шу ерда

k_TA = (p₂ – a₀)/b₀ = (-  a₀² + b₀²q₁/ r₁ - a₀ )/ b₀ , (М1.10)
a₀, b₀, q₁, r₁ - нинг қийматларини (М1.10) ифодага қўйиб, оптимал бошқариш тескари алоқа коэффициент k_TA қийматини топамиз.
Бошқариш объекти (М1.2) ва танланган (М1.3) функционал учун (М1.9) тенглама оптимал бошқариш ростлагичнинг тузилишини аниқлайди. (М1.3) функционал минимумига етишганда y(t) ва u(t)ни минимал даражада оғишини таъминлайди.


Оптималлашда вариацион усулларни қўлланилиши сохаси. Оптимал жараёнларнинг фунциялари узликсиз бўлса, чиқиш ва бошқариш координаталарига чекловлар қўйилмаса вариацион усуллари қўлланлиши мумкин. Лекин бошқаришга ва фазавий координаталарга чекловлар тенгсизлик кўринишда қўйилади, суний усуллар билан тенгсизликларни тенгликларга алмаштириш мумкин. Динамика тенламаолари чизиқли бўлиб функционал квадратик бўлганда вариацион усулларини қўллаш мақсадга мувофиқ.
2.4. Динамик программалаш
Динамик программалашга кириш. Оптимал бошқариш системаларни лойихалаш учун қулланадиган замонавий математик усуллардан энг мукаммали - динамик программалаш усули хисобланади. Ричард Беллман томонидан ишлаб чиқарилган динамик программалаш вариацион масалаларни кўп қадамли ечиш усуллардан энг самарали ҳамда соддадир. Бу усулни ғояси инвариант қўйилмалар концепциясига асосланиб, мавжуд катта муаммони бир қатор соддароқ муаммоларга алмаштирилади.
Оптималлик принципи – динамик программалашнинг негизидир. Шу принципга кўра оптимал бошқариш якуний мақсади ва шу дақиқадий системанинг ҳолати билан аниқланади. Система қандай бу ҳолатга етди аҳамияти йўқ, яъни Беллман бўйича оптимал бошқариши ўтмишга боғлиқ эмас. Хар қандай оптимал траекториянинг, якуний нуқта билан боғлайдиган ихтиёрий қисм траекторияси ҳам оптимал бўлади.
Динамик программалаш усули деганда фақат вақт билан боғлиқ жараёнларни қўлланилади фикр нотўғри. Шу усул инвестиция жойлашуви, суғурта сиёсатини таърифлашда, хатто карта қимор ўйинларида қўлланилиши мумкин. Бошқача қилиб айтганда қаралаётган масалани ечиш жараёни қидирилаётган ечимни топишга олиб келадиган вақт бўйича кетма-кет бажарилиши зарур бўлган бир нечта босқичга бўлинади. Шунинг учун динамик программалаш усули кўп босқичли ёки кўп қадамли масалаларни ечиш усули аталади.
Объект қуйдагича холат тенгламалари ва бошланғич қийматлар билан ифодалансин:
_.
x = A x + B u = f(x, u); x(t₀) = x₀ ; x(t_С) = x_С, (1)
ҳамда t₀  t  T оралиқда x(t) _x ва u(t)_u чекланмалар (_x ва _u - ҳолат ва бошқариш координаталарнинг аниқлаш соҳаларидир), бундан ташқари объктнинг ишлаш сифатини белгилайдиган функционал мавжуд бўлcин:
_tc
J =  F(x, u, t) dt, T = t_С , (2)
^to
Ушбу (2) функционалнинг экстремум (минимум ёки максимум) шартидан топиладиган оптимал бошқариш u^o(t) ва траектория x^o(t) ни аниқлаш оптималлаш масаласи деб номланган.
Беллманнинг қўшимча функциясини киритамиз:
_T
S(t, X) = min { F(x, u, t) dt}. (3)
^{u t }
(1) тенгламалар билан ифодаланган объектнинг (t+t) пайтида (2) функции-оналнинг минимуми Х_t қиймати ва Т якуний вақт моментига боғлиқ:
_T
S(t + t , Т, X_{ t}) = min {  F(x, u, t) dt}. (4)
^{u t +  t}
шу ерда t < t + t < T вақт интервалида ихтиёрий оралиқ вақт моменти;
X_t = х(t) +  x ҳолат координаталарнинг t + t вақтдаги вектори.
Фараз қиламиз t - аниқланган вақт моменти, t - кичик мусбат сон ва t < t + t < T тенгсизликлар ўринли. (4) инобатга олиб Беллманнинг қўшимча функциясини қуйидагича ёзамиз:
_{t +  t T}
S(t, X) = min {   F(x, u, t) dt +  F(x, u, t) dt} =
^{u t t +  t}
_{t +  t}
= min {  F(x, u, t) dt + S(t +t , Т, X_{ t})}. (5)
^{u t}
(5) функциядан олинган оптимал бошқариш u^o(t) учун (1) тенгламалардан объектнинг оптимал траекториясини x^o(t) аниқлаймиз. Объект динамикасини динамик программалаш усули билан оптималлашда хусусий ҳосилалардаги Беллман функционал тенгламалари ёки сонли усуллардан фойдаланишади.
Оптимал системаларни синтези учун Беллман тенгламаларини қўлланилиши. (5) ифоданинг ўнг томондаги биринчи қўшилувчини кичик миқдорларнинг t дан катта бўлмаган даражадаги аниқлигида қуйидаги таркибий қиймат билан алмаштириш мумкин:
_{t +  t}
 F(x, u, t) dt = F(x, u, t)  t =  J. (6)
^t
(5) ифоданинг иккинчи қўшилувчи ихтиёрий t+t вақт моментида S(t + +t, X +  х) функциянинг қийматини Тейлор қаторига ёямиз. S(t, X) функцияси барча t ва х_i(t) бўйича узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга бўлишини инобатга олиб,  х_i ва  t ортирмаларга нисбатан чизиқли ҳадлар билан чекланиб ҳамда лимитга ўтиб, ушбу (5)ги иккинчи қўшилувчини таркибий қиймат билан алмаштирамиз:
_n
S(t + t, X +  х) = S(t, X) +  ( S / x_i)  х_i + ( S/ t)  t =
_n ^{i = 1}
= S(t, X) + [  ( S / x_i) dх_i /dt +  S/ t]  t . (7)
^{i = 1}
(5), (6) ва (7) ифодаларга асосланиб ёзамиз:


S(t, X) = min {F(x, u, t) t + S(t, X) +
^u _n
+ [ ( S / x_i) dх_i /dt +  S/ t]  t}. (8)
^{i = 1}
(1) ифодани ва шартларини инобатга олиб (8) барча ҳадларини t бўлиб кейн t  0 нолга интилтириб лимитга ўтсак, Беллманнинг ночизиқли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларини ҳосил қиламиз: _n
min {F(x, u, t) + [ ( S / x_i) f_i (x, u, t) +  S/ t]} = 0 . (9)
^{u i = 1}
Оптимал бошқариш u^o(t)ни (9) тенгламани ечиш натижасида топамиз. (1) ифодаларда бошқаришга u(t)_u қўйилган шартлар ва чекланмаларни инобатга олиб, _u тўплам орқали аниқланадиган соҳанинг ички нуқтаси учун (9) шартни хусусий ҳосилали функционал тенгламалар билан алмаштириш мумкин:
_n
F(x, u, t) = [ ( S / x_i) f_i (x, u, t) +  S/ t] = 0 ;
^{i = 1} _n
 F / u _i +  ( S / x_i)*  f _i / u _i = 0 . (10)
^{i = 1}
Агар S функция вақтга аниқ боғлиқ бўлмаса,  S /  t = 0 бўлади. (10) тенгламаларни ечимини топаётганда (2) функци-оналнинг F(…) квадратик функциялари ва t₀ = 0; t_к = T =  yчун А.Лётов томонидан ёрдамчи функцияни барча x_i координаталар бўйича дифференциалланувчи квадратик шакл кўринишда қидириш зарурлиги таклиф қилинди:
_n
S(x) =  A_ij x _i x _j . (11)
^{i, j = 1}
S(x) ёрдамчи функция чизиқли объектлар учун вақтни чексизга интилтирганда t   Ляпунов функциясидир. (11) инобатга олиб (10) тенгламаларни ечиш натижасида холат вектори координаталарнинг функцияси бўлган оптимал бошқариш u^o(Х) ни топамиз. Шу бошқариш жараёнларни турғунлигини таъминлаб беради.


2. Мисол. Объект оптимал бошқаришни аниқлаш масаласи.
Объект харакатланиш тенгламаси қуйидагича ифодаланган:


Т ý(t) + y(t) = k u(t), (М2.1)
ёки
_.
x₁ = a₀ x₁ + b₀ u₁ . (М2.2)