Тошкент давлат техника университети

X() - X^о() =  [X() - X^о()] _{t = } =
=  { f[X(), u()] - f[X^о (), u^о ()]}. (13)
 нинг миқдори ческиз кичик, яъни   0 сабабли, (13) ги айирма чексиз кичикдир. Шунинг учун   t  Т оралиқда траекториялар вариация вектори тушунчани киритамиз:
X(t) = X(t) - X^о(t).
Вариациялар вектори X оптималлик мезони J ни t = T вақт моментида тавсифлайди. Вариациянинг ўзгариш қонуни X(t) нинг кичик ўзгаришлар учун ёзилиб ҳамда вариациялардаги тенгламалар деб номланган тенгламалардан аниқланиши мумкин. Бу тенгламаларни (1) ёки
_.
x_i = f_i ( х₁, х₂, ..., х_n; u₁, u₂, ..., u_r), (14)
тенгламадан x_i ни (x_i +  x_i ) алмаштириб, сўнг f_i қаторга  x_i даражалари бўйича ёйиб, кичиклик юқори ҳадларни ташлаб, ҳосил қилиш мумкин. Натижасидан (14) тенгламани айириб қуйдаги вариациялардаги чизиқли тенгламаларни ёзамиз:
_n
d( x_i)/dt =   x_j  f_i(X, u)/ x_j . (15)
^{j = 1}
Ихтиёрий нооптимал бошқарувлар учун бу катталик вариацилар вектори X(t) ва ёрдамчи вектор (T) лар скаляр кўпайтмаси аниқланиб, манфий бўлади:
-  J = [X(t)]^T (T). (16)
(16) тенглама бошқарув u() қиймати аниқланувчи бошланғич шарт X() га боғлиқ ҳолда X(t) ни топишга имконият беради.
Шундай (n + 1) ўлчамли (T) = [_o(t), ₁(t),…, _т(t)]^Т вектор танглаймизки,   t  Т оралиқда қуйдаги шарт бажарилсин:
[X(t)]^T (T) = [X(Т)]^T (T). (17)
Бу ҳолда, классик вариацион ҳисобда қабул қилинган Гамильтон функцияси (3.8):
_{. . .}
Н = ^T X – L( x, x, u, u, , t); (18)
ўрнига ноклассик вариацион масала учун Гамильтон функциясини тузиш мумкин:
_n
H* =  _i (t) f_i (X, u) =  ^T(t) f (X, u). (19)
^{i = 0}
Бошқарув u^о (t) оптимал бўлса, бу (19) функция максимумга эришади ҳамда максимум принципининг қуйидаги маъноси келиб чиқади: бошқариш функцияни u(t)  _u шундай танлаш керакки, Гамильтон функцияси H* нинг катталиги максимал қийматга эришсин. Шу ҳолда _u очиқ тўплам учун қуйидаги ёзув ўринли:
Н*/ u = 0. (20)
Бошқариш объект (10) тенгламаларини, (12) тенгламаларни инобатга олганда, (19) тегламадан фойдаланиб, (3.6) тенгламаларига ўхшаш:
d x_i / dt =  H/ p_i ;
d p_i / dt = -  H/ x_i ;
ноклассик вариацион масалалар учун Гамильтоннинг каноник тенгламаларини тузиш мумкин:
d x_i / dt =  H*/ _i ,
d _i / dt = -  H*/ x_i , i = 0, 1, 2 … , n. (21)
Шу (21) тенгламалар r бошқарув координаталарга эга бўлганда қуйидаги тенгламалар билан тўлдирилади:
Н*/ u_l = 0; l = 1, 2 … , r . (22)
Мумкин бошқарув u(t)  _u мавжуд бўлсин, шунда унга мос фазавий траекторияси белгиланган бошланғич X(t_о) ва охирги X(Т) нуқталардан ўтади. Унда оптимал бошқарув u^о (t) Л.С.Понтрягин теоремасидан аниқланади:
бошқарув u(t) оптимал бўлиши учун (21) тенгламаларга кўра u(t) ва X(t_о) тегишли нолга тенг бўлмаган шундай вектор-функция  ^T(t) мавжудлиги зарурки:
1) u^о (t) да t_о  t  Т оралиқда Н* функция максимумга эришсин
Н* [ ^о(t), X^о(t), u^о (t)] = max [ ^о(t), X^о(t), u^о (T)]; (23)
^u
2) вақтнинг оҳирги момент t = T да қуйдаги муносабатлар бажарилсин
 _о(T)  1; max{Н*[(t), X(T)]} = 0. (24)
^u
Кўпинча (24) ифодада  _о(T) = - 1 қабул қилинади.
Фазавий координаталар чегараланган, X(t_о) ва X(T) қийматлари белгиланмаган бўлса максимум принципи таърифи муракаброқ бўлиб трансверсаллик шартлари билан тўлдирилади.
Максимум принципига асосланиб масалани ечганда (19) турдаги функцияни тузишади, (21) ва (22) тенгламаларни ёзиб, оптимал бошқарув u^о (t) ёки u^о (Х) ларни топишади.
Максимум принципи оптималлаш масаланинг бевосита ечимини бермайди, балки (2n + r + 2) ўлчамли фазода дифференциал тенгламаларни ечиш стандарт масаласига келтиради.
Умумий ҳолда (10)ни ўнг томони ва (11)ни интеграл ости функцияси вақтга аниқ боғлиқ бўлиши мумкин.
_.
x_i = f_i (X, u, t), i = 0, 1, 2 … , n. (25)
_.
Қўшимча x_т+1  t ўзгарувчанни киритамиз. Ўзгарувчан x_т+1 = 1 тенглама ва x_т+1(t₀)  t₀ бошланғич шартлар таърифлансин. Даслабки (25) тенгламани кенгайтирилган система билан алмаштирамиз ва автоном системалар учун шаклланган максимум принципи турини қўллашга мувоффақ бўламиз.
Максимал тезкорлик бўйича бошқарув объектларни оптиммалашда (11)да f_о(X, u)  1 қабул қилинади, шунинг учун  _о = - 1 лигини ҳисобга олиб (19) ўрнига қуйидаги ифода ёзамиз:
_n
H* = - 1+  _i (t) f_i (X, u) = -1 + Н( , X, u), (26)
^{i = 0}
шу ерда
_n
Н( , X, u) =  _i (t) f_i (X, u).
^{i = 0}
Шунинг учун тезкорлик бўйича синтез масаласи ечилганда (24) ифода
 _о(T) = - 1; max {Н*[(t), X(T)]} =1. (27)
u^o _u
Координаталар u(t) U_max чекланмаларни инобатга олиб, чизиқли объектлар учун оптимал бошқариш релейли бўлиб қолади:
u^о (t) = U_max sign(H_u). (28)
3. Mисол. Объектни Л.С.Понтрягин усули билан оптимал бошқаришни аниқлаш. Объектнинг динамикаси 1 мисолда (М1.1) тенглама билан ифодаланган. Минимумга эришадиган функционал (М1.2), Бошланғич x₁(0) ва охирги x₁() қийматлар белгиланган.
Дастлабки тенгламалар системасини ёзамиз:
_.
x₁ = q₁ x₁² + r₁ u₁² ;
_.
x₁ = a₀ x₁ + b₀ u₁ . (М3.1)

Ноклассик вариацион масала учун Гамильтон функциясини тузамиз:

H* =  _о (q₁ x₁² + r₁ u₁²) = ₁ (a₀ x₁ + b₀ u₁), (М3.2)
ёрдамчи функциялар _I (21) асосан қуйидаги тенгламалар билан аниқланади:
_.
 _о = -  H*/ x_о ,
_.
₁ = -  H*/ x₁ = - 2 q₁ x₁  _о - a₀ ₁. (М3.3)
(22) асосланиб,  _о = - 1 бўлганда, қуйидаги тенгламадан
Н*/ u₁ =  _о 2 r₁ u₁ + ₁ b₀ = 0;
оптимал бошқаришни ҳосил қиламиз:
u₁^о = b₀₁ /(2 r₁) . (М3.4)
₁ ўзгарувчаннинг қиймати  _о = - 1 ва (4) инобатга олиб қуйидаги тенгламалар билан аниқланади:
_.
x₁ = a₀ x₁ + ( b₀²/2 r₁)₁ ; (М3.5)
_.
₁ = 2 q₁ x₁ - a₀ ₁ .
(5) тенгламалар системаси (М1.6) ўхшаш сабабли, ечими қуйдагича бўлади:

₁ = (- a₀² + b₀²q₁/ r₁ - a₀ ) 2 r₁ x₁ / b₀².
Ҳосил бўлган ечимни (5) қўйиб оптимал бошқаришни топамиз: u^о(y) = k_ТА y , (М3.6)
бу ерда k_ТА (М1.10) ўхшаш ифода билан аниқланади:

k_TA = (-  a₀² + b₀²q₁/ r₁ - a₀ )/ b₀ . (М3.7)

Л.С.Понтрягин максимум принципини мақсадга мувофиқ қўллаш соҳаси. Максимум принципининг хос томони берилган функционал J га экстремум таъминловчи вақт функцияси оптимал бошқаруви u^о (t) ни топиш масаласи, бошқа соддароқ Гамильтон функцияси Н(u) ни максимумига эриштирадиган u^о(t) ни аниқлаш масаласига алмаштирилган. Шу боис номи ҳам – максимум принципидир.

Оптималлаш масалаларида экстемумларга чекланмалар қўйилмаган бўлса максимум принципи классик вариацион усулларга ўхшаш натижаларни беради. Лекин экстремалларни осонроқ қисм-узликсиз (узлукли) функциялар кўринишда аниқлаш ва координаталар чекланмаларини инобатга олиш имконини беради.
Максимум принципининг энг кенг қўлланилиши бошқариш координаталарга u_l(t) U_lmax ; l = 1, 2 … , r, чекланмалар мавжудлигида максимал тезкорлик масаласида оптимал бошқаришни синтезидир. Яъни, максимум принципини классик вариацион усулларга қараганда афзалиглари бор.
Максимум принципига қўшимча қилиб фазавий траекториялар усули қўлланиши мумкин.
Оптималлаш усулларидан математик программалаш, тасоддифий сигналлар таъсир қилса Винер усули ва Винер-Калман оптимал фильтри қўлланиш мумкинлигини эслатиб ўтамиз.

8.