Тошкент давлат техника университети

J =  F[y, ý, t] dt, (2)
^tо
бу ерда y = y(t) ва ý = dy/dt - траекториянинг чиқиш координатаси ва унинг вақт бўйича биринчи ҳосиласи.
Объект динамикасини оптималлаш техник масаласи (2) кўриниш-даги функционалнинг экстремумнинг аниқлашига тақалади. Функционал аргументига ортирма бериб функционал қийматини ўзгаришини кузатамиз. Функционал J[y(t)] агрументи y(t) нинг ортирма ёки вариацияси деб икки функциясининг айрилмасини _y = y₂(t) – y₁(t) тушунишади. Бунда y(t) бази силлиқ функциялар (2.1 расмдаги 1 ва 2 чизиқлар) синфида [t₀, t_c] оралиқда ихтиёрий равишда ўзгаради деб фараз қилинади. Лекин y₁(t) ва y₂(t) функциялар чегаравий координаталари устма-уст тушади, яъни
y(t₀) = 0; y(t_с) = 0. (3)
Махкамланган чегаралар масаласи кўрилмоқда. Функцияни ўзгартириш (вариациялаш) деганда бошланғич y₁(t) функциядан унга яқин, кам фарқланадиган y₂(t) функцияга ўтишни (расм 2.2) ҳамда мустақил t ўзгарувчининг маълум қийматида y₁(t) ва y₂(t) лар таққослаш тушинилади.

Y
Y _K

Y₀ 1
2
t
t₀ t_K
Расм 2.2.

Функционал (2) экстремуми мавжудлиги шартини кўриб чиқамиз. Ҳолат координаталари x₁ = y(t) ва х₁ = ý = x₂. Энди x₁ ва х₁ функцияларни вариациялаймиз, яъни x₁ +  x₁ ва х₁ +  х₁ функцияларни ҳосил қиламиз. Натижада J функционал J ортирмага эга бўлади. Ушбу J ортирмани Тейлор қатори кўринишда тасвирлаймиз:

_{tc . . tc}
J =  F(x₁ + x₁ , х₁ + х₁ , t) dt -  F(x₁, х₁, t) dt 
^{to to}
_{tc . tc . .}
  ( F(x₁, х₁, t)/  x₁) x₁ dt +  ( F(x₁, х₁, t)/  x₁)  х₁ dt +
^to _{tc .} ^to
+  ( ² F(x₁, х₁, t)/  x₁²) (x₁)²/2 dt + … (4)
_. ^to
x₁ ва x₁ ортирмалар қийматлари кичкина бўлгани учун, (4) ифодада _.
x₁ ва x₁ ларга нисбатан чизиқли хадлар аҳамиятли ҳисобланади. Ортирмаларнинг (4) иккинчи тартибли боғлиқларни инобатга олмасак, функционалнинг чизиқли қисми J биринчи вариацияси аталади. (2) функционал учун биринчи вариациясини ёзамиз:
t_{c . . . .}
J =  [(F(x₁, x₁, t)/  x₁) x₁ + (F(x₁, x₁, t)/  x₁)  x₁] dt. (5)
t₀
Классик вариацион ҳисоблаш масалаларнинг асосий мазмуни қуйидаги
_.
ча тарифлаш мумкин:  x₁ ва  x₁ шундай экстремал қийматлари топилсинки, (2) кўринишда берилган функционални энг кичкина қийматига келтирсин.
Мумтоз анализда дифференциаловчи функцияни биринчи ҳосиласининг ноль қиймати экстремум шартлигини биламиз. Вариацион ҳисоблашда эса (2) кўринишдаги интеграл учун экстремал қиймати унинг
биринчи вариацияси нолга тенглигидир:
 J = 0. (6)
(2) турдаги функционал экстремумини x₁(t₀) = x₁₀ ва x₁(t_с) = x_1с чегаравий шартлар ҳамда (3) шартлар учун қидирамиз. Шу мақсадда (5) ифодани нолга тенглаштирамиз:
_{tc . . . .}
 [(F(x₁, x₁, t)/  x₁) x₁ + (F(x₁, x₁, t)/  x ₁)  x₁] dt = 0.
^tо

Шу ерда иккинчи қўшилувчини бўлаклаб интегралланганда, (3) ифодани инобатга олиб, қуйидаги натижани оламиз:

_{tc . . . tc}
 [(F(x₁, x₁, t)/  x₁) x₁ dt + (F(x₁, x₁, t)/  x₁)  x₁ –
^to _{tc . .} ^to
-  d/ dt [( (x₁, x₁, t)/  x₁]  x₁ dt =
_tc ^tо _{. . .}
=  [F(x₁, x₁, t)/  x₁ - d/ dt(F(x₁, x₁, t)/  x ₁)] x₁ dt . (7)
^tо
x₁ ни қиймати ихтиёрий бўлган сабабли, Лагранж леммасига асосан (7) тенглик бажарилиш шарти қуйидагича:
_{. . .}
F(x₁, x₁, t)/  x₁ - d/ dt(F(x₁, x₁, t)/  x₁) = 0 . (8)
(8) тенглама Эйлер дифференциал тенгламаси аталади ва (2) интегралнинг экстремумининг зарурий шартидир (агар чегаравий шартлар аниқ бўлиб, координаталарга чекланмалар қўйилмаса).
_.
 x₁(t) ва  x₁(t) экстремаллар (8) нинг эгри чизиқлари бўлиб, уларда функционал экстремуми амалга оширилади.
Умумий ҳолда объект динамикасини оптималлашда, (2) кўринишдаги функционал таркибига юқори тартибли ҳосилалар кириши мумкин. Шу ҳолда функционал экстремуми мавжудлиги зарурий шартини (агар чегаравий шартлар аниқ бўлиб, координаталарга чекланмалар қўйилмаса) Эйлер дифференциал тенгламаси билан тасвирлайди:
_{. ..}
F x₁ - ddt(F x₁) + d²dt²( ²F x₁) + …
+ (-1)ⁿ dⁿd²ⁿ( ⁿF x₁ ⁽ⁿ⁾) = 0. (9)
Юқори ва (2) даги F(...) ифодаси бир нечта функциядан иборат бўлса, яъни холат Х векторнинг x_i(t) координаталари ва унинг биринчи хосилари билан бошқарув координатаси u(t), функционални қуйидагича ёзамиз:
_{tc .}
J =  F[Х(t), Х(t), u(t), u(t), t] dt, (10)
^to
ва (n + 1) Эйлер тенгламалари билан экстремум мавжудлиги зарурий шарти тавсифланади:
_.
F/  x₁ - d/ dt(F /  x_i) = 0, i = 1,…, n. (11)
_.
F/  u - d/ dt(F /  u) = 0,
Эйлер (8 ва 11) ҳамда Эйлер-Пуассон (9) тенгламалари фукционал (2) ва (10)лар экстремумини топишда фақат координаталари узлуксиз ва силлиқ бўлиб ҳамда тенгсизликлар мавжуд бўлмаса, қўлланилади. 2.1 расмнинг (1) турдаги шакллар бўлса классик вариацион усули билан экстремумини топиш қийин ёки умуман топиб бўлмайди.
Объектларни оптималлаш масаласини ечиб бошқариш координаталарнинг экстремаллари учун аналитик ифодаларини топамиз. Бу ифодалар динамикада объектни оптимал бошқариш u_l^о(t) ва u_l^о(Х) алгоритмларни тасвирлайди.

2. 
   Вариацион ҳисоблашнинг классик усули
   

Объектни оптимал бошқариш алгоритмини яратиш масаласи қўшимча (шартли) чекланмаларга эга. Шартли чекламалар сифатида объект динамикасининг математик модели кўрилади. қўшимча шартлар қўйилиб топилган функционал экстремуми - шартли экстремум аталади. Функционал таркибига кирган x_i(t) ва u_l(t) функциялар ўзаро боғлиқ бўлгани сабабли мустақил ўзгара олмайди. Чиқиш траекторияси y(t) бошқариш координата ўзгаришига ва дифференциал тенгламалар кўринишига боғлиқ. Классик вариацион ҳисоблаш билан бошқариш объектни динамикасини оптималлаш масаласининг таърифи қуйидагича. Объектнинг ҳолат тенгламаси шаклдаги математик модели битта бошқариш координатаси оркали келтирилган:
_.
x = A x + B u; x(t₀) = x₀ ; x(t_С) =x_С , (1)
вектор тенглама билан берилган.
_{tc .}
J =  F(x, u, u, t) dt, (2)
^to
функционалнинг минимумини таъминлайдиган оптимал бошқариш u^o(t) ни аниқлаш талаб этилади. (2) да F(...) функция барча узгарувчилар буйича узлуксиз ва бошлангич иккинчи даражали узлуксиз хосилаларга эга. x(t) ва u(t) функциялар узлуксиз хамда узлуксиз биринчи ҳосилаларига эга булиши лозим, шу функциялар узаро боғлиқлиги (1) тенгламадан аён. x векторнинг бошланғич x₀ ва якуний кийматлари x_С аниқланган булиши керак.
Вектор тенгламалар (1) ва функционал (2) оркали куйилган масала – Лагранжнинг умумий масаласи аталади. Агар (2) функционал чекли ҳолатини тавсифласа: J = G[ x(t_C), u(t_C), t_C], - Майер масаласига; агар функционал қуйидаги кўринишда бўлса:
_tc
J = G[ x(t_C), u(t_C), t_C] +  F(x, u, u, t) dt,
^to
Больц масаласига келамиз.
Оптимал бошқаришда Лагранжнинг умумий масаласини ечиш учун Лагранж кўпайтирувчиларидан фойдаланамиз. Ёрдамчи функционални кўриб чиқамиз:
_{tc . .}
J_L =  F(x, u, u, t) + ^Т G[ x, x, u, t] dt +
^to _{tc . .}
+  L( x, x, u, u, , t) dt , (3)
^to
шу ерда ^Т - Лагранж кўпайтирувчилар сатри ^Т = [₁,₂ ,…, _n], Т – транс-
_{. .}
понирлаш белгисини билдиради; L( x, x, u, u, , t) – Лагранж фукцияси:
_{. . . .}
L( x, x, u, u, , t) = F(x, u, u, t) + ^Т G( x, x, u). (4)
_.
шу ерда G( x, x, u) – алоқалар функцияси ат алади ва бошланғич тенгламардан аниқланади:
_{. .}
G( x, x, u) = x - A x - B u =0 , (5)
ёки
_{. . . .}
G( x, x, u) = [ g₁(x₁, x₂, u) g₂(x₂, x₃, u) … g_n(x_n, x₁,…, u)]^Т,
_{. .}
бу ерда g_i (x_i, x_i+1, u) = x_i - x_i+1 + h u ; i = 1, 2, …, n - 1;
_{. .}
g_n(x_i, x_i+1, u) = x_n + a₀ x₁ + a₁ x₂ +…+a_n-1 x_n + h_n u .
Шартсиз экстремумга асосланган масалани ёрдамчи (3) функционал учун ечилади. Бунда Лагранж функцияси учун Эйлер тенгламаси тузилади:
_.
L / x_i – d(L / x_i)/ dt = 0 ;
_. (6)
L / u – d(L / u)/ dt = 0 .
Бу тенгламалар (6) Эйлер-Лагранж тенгламалари аталади. Улар (3) функционалнинг стационарлик (ечимни мавжудлиги) шартини тавсифлайди. (1) тенгламаларни ҳисобга олган ҳолдда (6) тенгламаларни ечиш натижасида, объектни динамикасида оптимал бошқарилиши u^o(t) ни ҳосил қиламиз. (1) ва (6) тенгламаларни вариацион масаланинг тенгламалари деб номланган.