Тошкент давлат техника университети

3.2. Тезкорлик бўйича оптимал бошқаришни қуриш

Бошқариш объектнинг математик модели холатлар тенгламалари билан ифодаланиб

_.
Х = A x + B u = f(X, u); Х(t₀) = x₀ ; Х(t_С) = x_С , (1)
шу ерда A₀ = { a_ij }_{n  n} ; B = { b_il }_{n  r} - объект ва бошқариш тенгламалар матрицалари (a_ij ва b_ir - улар коэффициентлари), Х   _x ва u – холат ва бошқариш координаталар вектори.
Шундай рухсат этилган бошқарувни u^o(t)ни топиш керакки, | u_j(t)|  U_{j max} каби чекланма мавжуд бўлганда, объектни берилган Х(t₀) бошланғич холатдан, Х(t_С) охирги холатга (2.2) функционал
_tc
J =  1 dt = t_c - t₀ = min, (2)
^t0
минимумини таъминлаб ўтказсин (одатда чизиқли объектлар учун оптимал бошқариш релейли бўлиб қолади).
Тезкорлик бўйича оптимал системалар синтезини оптимал бошқариш назариясига асосланиб бажаришади. Асосий усули эса Л.С.Понтрягиннинг максимум принципидир.
Синтез масаласини ечганда (2.7.26) турдаги Гамильтон функциясини тузишади, (2.7.27) шартига асосан бошқариш қонуни (2.7.28)ни топишади.
Гамильтон функцияси
Н( , X, u) =  ^T(t) f(X, u) =  ^T (t) A x +  ^T(t) B u =
=  ^T (t) A x + B^Т (t) u ; (3)
ёрдамчи ўзгарувчилар вектор (t)нинг тенгламаси
_.
(t) = -  H/ X =  ^T(t)  f(X, u) / X; (4)
Гамильтон функциясини максимумининг шарти
 _о(T) = - 1; max {Н[(t), X(T)]} = 1 . (5)
u^o _u
шу шартга асосан U_{j max}= 1 бўлганда, оптимал бошқариш қонуни топилади.
Координаталар u(t) U_max чекланмаларни инобатга олиб, чизиқли объектлар учун оптимал бошқариш релейли бўлиб қолади:
u^о (t) = I sign(H_u), (6)
шу ерда I – бирлик матрица.
H_u =  H( , X, u) /  u = B^Т (t). (7)
Шундай қилиб, (1), (4) ва (6) тенгламалар (2n + r)- ўлчамли системани ташкил қилиб, тезкорлик бўйича оптимал бошқаришни синтез масаласини ифодалайди. Асосий қийинчилик ёрдамчи функция _i(t) аниқ кўринишни аналитик усулда топиш йўллари йўқ, шу сабабли итерация усулларидан фойдаланишади.
Баъзан ёрдамчи функциясини топмасдан, H_u функция ишораларини ўзгариш вақт момент t_ ларини билиши билан кифояланишади. Шу ҳолда (6) ва (7) асосланиб, оптимал ҳисобланган, релейли бошқариш қонуни тузилади:
_{ n}
 + 1, агар  b_ij _i(t) > 0;
u^о_j (t) =  ^{i = 1}
 _n
 - 1, агар  b_ij _i(t) < 0. (8)
^{ i = 1}
Энди максимум принципига асосланиб, « n интерваллар тўғрисида» ги теоремани кўриб чиқамиз.
Бир ўлчовли, бошқаришга u(t) 1 чекланмалар қўйилган объектнинг математик модели холатлар тенгламалари билан ифодаланади деб, фараз қиламиз:
_.
Х = A x + B u(t). (9)
Тезкорлик бўйича оптимал бошқариш ноклассик вариацион масаланинг Гамильтон функциясини тузамиз
Н =  ^T A Х + B^Т  u(t) = ₁ x₂ +₂ x₃ + ... + _n-1 x_n - - _n(a_n-1 x_n + a_n-2 x_n-1 + ... + a₀ x₁) + b₀ _n u(t). (10)
(10) ифодада фақат охирги ҳади бошқарувга боғлиқ. (5) кўра Гамильтон функцияси максимумга
b₀ _n u(t) = max { b₀ _n u(t)},
^{u(t) 1}
бўлганда эришади ва бу шартдан тезкорлик бўйича оптимал бошқариш қонуни (6) келиб чиқади:
u^о (t) = 1 sign[_n(t)]. (11)
u^о (t) функциямиз икки қийматни қабул қилади:
 + 1, агар _n (t) > 0;
u^о (t) = 
 - 1, агар _n (t) < 0, (12)
ва _n (t) функцияни эгри чизиғи вақт ўқини неча марта кесиб ўтса u^о (t) шунча марта ишорасини ўзгартиради.
_n (t) ёрдамчи ўзгарувчан функциясини топиш мақсадида Гамильтон қўшма тенгламаларини тузамиз:
_.
₁ (t) = -  H/  x₁ = a₀ _n (t);
_.
₂ (t) = -  H/  x₂ = a₁ _n (t) - ₁ (t);
. . . . . . . . . . . (13)
_.
_n (t) = -  H/  x_n = a_n-1 _n (t) - _n-1 (t).
(13) системани битта тенгламага келтирамиз. Шу мақсадда биринчи тенгламадан қолганларини айирамиз. Аввал иккинчи тенгамани дифференциаллаб, (-1)¹ га кўпайтирамиз, кейни учинчи тенгламани икки марта дифференциаллаб, (-1)² га кўпайтирамиз ва ҳоказо, охирги тенгламани (n-1) дифференциаллаб (-1)^(n-1) га кўпайтирамиз. Натижани қайта гуруҳлаб: _.
(-1)ⁿ _n⁽ⁿ⁾ (t) + (-1)^(n-1) a_n-1 _n^(n-1)(t)+ ... + (-1)¹ a₁ _n (t) -
- a₀ _n (t) = 0 , (14)
ифодани ҳосил қиламиз.
(9) даги А матрицанинг хусусий сонлари ҳар хил ҳақиқий сонлар фараз қилсак, (14) тенгламанинг илдизлари ҳам ҳар хил ҳақиқий p_i сонлар бўлади. Бу ҳолда
_n
_n (t) =  С_i exp(p_i t), (15)
^{i = 1}
бўлади. (15)дан кўриниб турибдики, _n (t) функция ҳақиқий даража кўрсаткичли экспоненталарнинг йиғиндисидир. _n (t) функция ишорасини ўзгариши (n-1) мартадан ошмайди, шунинг учун u^о (t) бошқарув (11) қийматлари u = 1 ўзгармас интерваллардан иборат. Юқорида келтирилган (9-15) тенглама ва мулоҳазалар «n интерваллар тўғрисида» ги теоремани исботидир:

Агар бошқариш объект ўзгармас коэффициентли n тартибли чизиқли дифференциал тенглама билан ифодаланса, тавсифий полиномнинг илдизлари ҳар ҳил, манфий ёки нолли бўлса, объект тезкорлик бўйича оптимал бошқаришли бўлиши учун бошқарувнинг n тадан кўп бўлмаган, максимал қийматлари интервали u = U_max интерваллардаги ишоралар (n-1) марта алмашиб туриши шартлари зарурий ва етарлидир.

3.3. Тезкорлик бўйича оптимал чизиқли системалар синтез мисоллари

Тезкорлик бўйича оптимал чизиқли системаларни яраётганда бошқариш қонуни

- (2.6) турдаги объектни очиқ бошқариш учун ёки
- u^о (X) = U _max sign [ S (X)], (1)
шаклда бўлиши мумкин, (1) ифодада S (X) - дискрет ўзгариш функцияси, S (X) = 0 - дискрет ўзгариш текислиги (юзаси).
S (X) дискрет ўзгариш функцияси ва (1) тезкорлик бўйича оптимал ростлагич структурасини аниқлашади.
Оптимал бошқариш алгоритмларини аниқлашда асосий масала реленинг ўчирилиб-ёқилиш t_ ( = 1, 2, ..., n) вақт моментларини топишдир.
Релени ўчирилиб-ёқилиш t_ вақт моментларини топиш мураккаб масала бўлиб ечимларни «тикиб» олиш усули ёки математик программалаш усули билаш ечилади.


5. Мисол. Ечимларни «тикиш» усули билан оптимал бошқаришни топиш масаласи. Объект тенгламалари қуйидагича:
_{. .}
y(t) = u(t); | u(t) |  U _max . (М5.1)
Релени ўчирили-ёқилиш t_ вақт моментларини топамиз. (1)га ўхшаш тенглама билан кўп объектлар динамикасини, масалан 14.1 даги электр юритгич юргизиш ёки Ер суний йўлдошининг харакатини ифодаласа бўлади:
_{. .}
J_с (t) = M_в(t), (М5.2)
Шу ерда J_с - йўлдошнинг инерция моменти, (t) - айланиш бурчаги, M_в(t) - айлантириш моменти.
3.1 даги электр юритгич релесени ишлаб қолиш t₁ , жараён давоми t₂ = Т интеграллаш дойимийликларига (3.2) ва (3.3) ларга боғлиқ. t₁ ва t₂ қийматларини ечимларни «тикиб» улаш усули билан топамиз.
_.
Бошланғич қийматларини нол y(0) = y(0) = 0 деб, охирги кийматлар

_.
берилган y(T) = Y_з y(T) = 0 ҳисоблаймиз. Бошқариш чекланган | u |  U _max . (1) ни ечими
y(t) =  0.5 b₀ U _max t² + C₁ t + C₂ . (М5.3)
Реле ишлаб қолган пайтда ечимларни «тикиб» улаш тенгламасини қуйдагича ёзамиз:
0.5 b₀ U _max t₁² + C₁₁ t₁ + C₂₁ = - 0.5 b₀ U _max t₁² + C₁₂ t + C₂₂ .
Бунга ўхшаш, биринчи ҳосила бўйича тенгламаларини «тикиш» натижасини ёзамиз:
b₀ U _max t₁ + C₁₁ = - b₀ U _max t₁ + C₁₂ .
Берилган бошланғич қийматлари учун C₁₁ = C₂₁ = 0, шу сабабли t₁ қийматини қуйидаги тенгламалардан аниқлаймиз:
- b₀ U _max t₁² + C₁₂ t + C₂₂ = 0;
- 2 b₀ U _max t₁ + C₁₂ = 0 . (М5.4)
Иккинчи оралиқда чиқиш координата ва биринчи ҳосиласини қуйдагича ёзамиз:
y(t) = - 0.5 b₀ U _max t₁² + C₁₂ t + C₂₂ ;
_.
y(t) = - b₀ U _max t₁ + C₁₂ .
Иккинчи интервал якунида ўзгарувчиларни берилган сўнги қийматларини инобатга олиб ёзамиз:
Y_З = - 0.5 b₀ U _max t₂² + C₁₂ t₂ + C₂₂ ;
0 = - b₀ U _max t₂ + C₁₂ . (М5.5)
Шу (5) тенгламадан топамиз:
С₁₂ = b₀ U _max t₂ ;
С₂₂ = Y_З - 0.5 b₀ U _max t₂² . (М5.6)
(4), (5), (6) тенгламадан реле ишлаш вақтларини топамиз: _{}
t₂ = Т = 2 t₁; t₁ =  Y_З /(b₀ U _max ). (М5.7)
Бошқарилаётган объект 2 нолли илдизларга эга. Шу (М5.7) натижани бошқа муракаброқ усули билан ҳам олиш мумкин эди.
Тезкорлик бўйича оптимал бошқарилаётган объектни ўтиш жараёнлар графиги 3.1 параграфдаги 3.2 расмдагига ўхшаш, яъни t_п = t₁; t_min = t₂ = T.


6. Мисол. Тезкорлик бўйича оптимал ростлагич структурасини «n интерваллар» ва фазали траекториялар усуллари билан аниқлаш масаласи. Олдинги мисолдаги объект-нинг тенламаси (М5.1)ни ҳолатлар тенглама шаклида ёзамиз:
_{. .}
x₁ = x₂ ; x₂ = b₀ u . (М6.1)
Бу масалада катталик бўйича чекланган бошқарув | u(t) |  1, минимал вақтда бир ҳолатдан иккинчи ҳолатга ўтишни таъминлайдиган, ростлагич структурурасини таърифлайдиган аналитик ифодасини u^о(Х) топиш талаб қилинади.
«n интерваллар» тўғрисида теорема асосан релейли бошқариш қонунни қабул қиламиз. Берилаётган таъсир поғанасимон бўлсин:
x _вх = x₁(Т) b₀ 1(t) . (М6.2)
Координаталар бошланғич қийматлар x₁(Т) = X₁₀; x₂(0) = X₂₀ ва сўнги қийматлар x₁(t_c)= x₁(Т) x₂(t_c) = x₂(Т) = 0 берилган. Фаза текислик усулидан фойдаланиб, ҳолатлар координата вектор функциясида реле ишлаган вақт моментларини аниқлаймиз. Объектнинг фаза портрети (1) тенглама билан тавсифланади. Агар (1)дан вақтни чиқариб қўйсак, фаза траекториялар дифференциал тенгламасини ҳосил қиламиз:
d x₁ = [x₂ /(b₀ u)] d x₂ .
Биринчи оралиқ учун, u = u₁^o; x₁(0) = X₁₀ ; x₂ = X ₂₀ бўлганда шу тенгламани интеграллаб ҳосил қиламиз:
x₁ - X₁₀ = x₂²/( 2 b₀ u₁^o) - X ₂₀²/( 2 b₀ u₁^o). (М6.3)
Худди шундай иккинчи оралиқ учун, u = u₂^o = - u₁^o; x₁(Т)  0 ; x₂(Т)= 0 ( Т – ўтиш жараён вақти) бўлганда, ҳосил қиламиз:
x₁ - x₁(Т) = - x₂²/( 2 b₀ u₁^o). (М6.4)
(3) ва (4) тенгламалар фазали траекторияларни таърифлайди. Берилган ҳолат: x₁(Т)  0 ; x₂(Т) = 0 ва | u₁^o| = 1 бўлганда (4) асосланиб ўтиш чизиқ тенгламасини ёзамиз:
S(x₁, x₂) = x₁ + 1/(2 b₀ ) x₂² sign x₂ - x₁(Т) =
= x₁ + 1/(2 b₀ ) x₂ |x₂| - x₁(Т) = 0. (М6.5)
Тезкорлик бўйича оптимал бошқаришни ҳосил қилиш учун, фазавий координаталар функциясига қараб бошқариш сигнални ўчириб-ёқадиган махсус қурилмани тадбиқ қилиш лозим:
+ 1, агар S(x₁, x₂)<0;
u^o(x₁, x₂) = - sign[S(x₁, x₂)] =  (М6.6)
- 1, агар S(x₁, x₂)>0.
Биринчи оралиқдаги бошқариш сигнални ишораси (5) ва (6) ҳамда берилган бошланғич ҳолат x₁ (0) < 0; x₂(0) = 0 дан аниқланади u^o₁ = + 1. Иккинчи оралиқда сўнги турғун ҳолат x₁(Т) > 0, x₂(Т) = 0 га объектни ўтишни таъминлайдиган бошқарув u^o₂ = - 1 бўлади.
Синтез масаласида фазавий траекториялар аналитик ифодаларини хар ҳил услублар билан топиш мумкин.
(1) объект, (6) бошқариш, (5) ўчириб-ёқиш функция тенгламалари асосида берилган объект учун тезкорлик бўйича ёпиқ оптимал системанинг структура схемасини тузамиз (расм 3.3). Оптимал ростлагични яратиш учун бешта элемент керак: реле элементи (РЭ), дифференциатор (Д), кучайтиргич (У),
Х_ВХ = Y(T)b₀

b₀/p₀
U Y

½ РУ

P

Д

b₀
½ РУРУ

Расм 3.4

модулни шакллаш блоки (БФМ) ва кўпайтириш блоки (БП). БФМ ва БП ўрнига ночизиқли элементдан фойдаланиш мумкин.


7. Мисол. Тезкорлик бўйича оптимал бошқаришни максимум принципи усули билан аниқлаш масаласи. Консерватив звено сифатида объектнинг динамика тенгламалари нисбий бирликларда қуйидагича ёзилсин:
_{. .}
y(t) + y(t) = u(t); | u(t) | 1. (М7.1)
Объектнинг бошланғич ва охирги қийматлари берилган:
_{. .}
y(0) = Y₀ ; y(0) = 0; y(T) = y(T) = 0. (М7.2)
(1) тенглама тескари алоқа қатъий ва манфий бўлган иккита интеграторлардан тузилган объектга мос келади.
Объектнинг динамика тенгламалари (1)ни ҳолат тенгламалари шаклига келтирамиз:
_.
x₁ = x₂ ,
_.
x₂ = - x₁ + u,
y(t) = x₁(t). (М7.3)
Гамильтон функциясининг кўриниши:
H = ₁ x₂ - ₂ x₁ + ₂ u . (М7.4)
Оптимал бошқарув u^о (t) ни Гамильтон Н нинг максимум шартидан топамиз:
u^о (t) = sign ( H/  u) = sign [₂( t)], (М7.5)
Объектнинг тавсифий тенглама илдизлари мавхум p_1,2 =  j₀ (агар ₀ = 1) бўлган сабабли «n интерваллар тўғрисида» ги теоремадан фойдалана ололмаймиз. Оптимал бошқаришни топиш учун ёрдамчи функция ₂( t)ни топишимиз керак.
_.
₁ (t) = -  H/  x₁ = ₂ (t);
_.
₂ (t) = -  H/  x₂ = - ₁ (t); (М7.6)
Асли бўлмиш (6)дан Лаплас бўйича тасвирларга ўтамиз:
p ₁ (p) - ₁ (0) = ₂ (p);
p ₂ (p) - ₂ (0) = - ₁ (p) . (М7.7)
Шу тасвирлар (7)га асосланиб ёзамиз:
(p² + 1) ₂ (p) = - ₁ (0) + p ₂ (0), (М7.8)
(6) ва (8) инобатга олиб ҳосил қиламиз:
₂ (t) = A sin(₀ t + ₀);
₁ (t) = - A cos(₀ t + ₀), (М7.9)
шу ерда ₀ = 1, А ва ₀ - бошланғич ₁ (0) ва ₂ (0) қийматлари билан аниқланадиган доймийлар, t = 0 бўлганда
₁ (0) = - A cos ₀ , ₂ (0) = A sin ₀ . (М7.10)
(4) ва (9) асосида бошқариш қонунини ҳосил қиламиз:
 + 1, агар sin(t + ₀ )> 0;
u^о (t) = sign[sin(t + ₀ )] =  (М7.11)
 - 1, агар sin(t + ₀ ) < 0.

₁ (0) ва ₂ (0) ларни танглаганда объект бошланғич ҳолатдан нолли оҳирги ҳолатга ета олсин. Шунда n интерваллардан ортиқчаси талаб қилиниши мумкин.