Тошкент давлат техника университети

L( y, y, y,, ... y⁽ⁿ⁾; u; ) = qy² + ru² +  g( y, y, y,, ... y⁽ⁿ⁾; u), (8)
ҳамда вариацион масала, яъни Эйлер-Пуассон тенгламаларини
_{. . .}
F/ x₁ – d/dt( F/ x₁) + d²/dt²( ²F/ x₁) + ...
+ (-1)ⁿ dⁿ/dtⁿ( ⁿF/ x₁⁽ⁿ⁾) = 0, (9)


y ва u ҳам (3) тенгламар учун ёзишимиз мумкин. Вариацион масала тенгламаларидан қуйдаги тенгламани хосил қиламиз:
_2n
(p) =  (p - p_i) = 0. (10)
^{i = 1}
(8) ва (10) тенгламаларда бир хил даража р остидаги коэф-фициентларни тенглаштириб, номаълум k_i коэффициентларга нисбатан алгебраик тенгламаларни хосил қиламиз. Шу тенгламалар ечими ростлагични оптимал k_Ta^о_i параметрларини топишга имконият беради.


4. Мисол. Ростлагич k_Ta^о коэффициентининг оптимал қийматини аниқлаш масаласи.
Объект харакатланиш тенгламаси қуйидаги (М1.1) тенглама билан ифодаланган:
_.
x₁ = a₀ x₁ + b₀ u₁ . (М.4.1)

Маълум бошланғич x₁(0)  0 ҳолатидан аниқланган чекли x₁() = 0 ҳолатига ўтиш жараёнида


J =  (q₁ x₁² + r₁ u₁²) dt, (М.4.2)
⁰
функционал (М1.2) нинг минимум шартини таъминловчи оптимал бошқаришни аниқлаш талаб этилади.
Бу ерда T ва k - объектнинг вақт дойимийлиги ва кучайтириш коэффициенти:
a₀ = - 1/ T; b₀ = k / T; x₁ = y(t); u₁ = u(t),
шу ерда q₁ > 0 ва r₁ > 0 - вазн коэффициентлари.
Оптимал бошқарув (М1.9) кўринишда бўлсин:
u^o(y) = [ (p₂ – a₀)/b₀ ] x₁ = k_TA y, (М.4.3)
(М3) ни (М2) га қўйиб, объект тенгламаларини (6) турдаги, яъни унинг координата ва ростлагич параметрларлари орқали ифодалаймиз:
_.
y – ( a₀ x₁ + b₀ k_{TA 1} ) y = 0. (М4.4)
унга мос ёпиқ системанинг тавсифловчи тенгламани ёзамиз:
F(p) = p – ( a₀ x₁ + b₀ k_{TA 1} ) = 0. (М4.5)
Мусбат илдизга мос келадиган кўпҳадни ёзамиз:
F( - p) = - p – ( a₀ x₁ + b₀ k_{TA 1} ), (М4.6)
ва (7) асосланиб қуйидагини ҳосил қиламиз:
F^о(p) = p² – ( a₀ + b₀ k_{TA 1} )² = 0. (М4.7)
1 мисолда ҳосил килинган, вариацион масаланинг тавсифловчи тенглама қуйидаги кўринишда эди:
(p) = (p- p₁) (p- p₂) = p² – ( a₀² + b₀²q₁/ r₁ ) = 0 . (М4.8)
F^о(p) ва (p) лар учун ёзилган тенламаларида озод ҳадларини тенглаштириб, k_TA1 нисбатан квадратли алгебраик тенгламани ҳосил қиламиз:
a₀² + b₀²q₁/ r₁ = ( a₀ x₁ + b₀ k_{TA 1} )², (М4.9)
шу тенгламадан (М1.10) мос келадиган кучайтириш коэффициенти k_TA нинг оптимал қиймати ифодасини топамиз:

k_TA = ( -  a₀² қ b₀²q₁/ r₁ - a₀ )/ b₀ . (М4.10)
Ростлагич параметрларини оптимал қийматларини Рикатти тенгламаларига асосланиб ҳисоблаш. Чизиқли объектлар (1) учун минималланидиган функционал қуйдагича ёзилиш мумкин:
_Т
J = 1/2 (X ^T Q X + u^TR u) dt, T = t_c (11)
⁰
шу ерда Q = {q_ij}_nn ва R = {r_lk}_rr матрицалар элементлари мусбат, яъни q_ij  0 ва r_lk  0 бўлади.
Гамильтон функцияси (₀ = - 1 бўлганда) қуйидагича ёзилади:
Н* = 0.5 X ^T Q X – 0.5 u^TR u =  ^ТАХ +  ^ТBu. (12)
Бошқарув оптимал бўлса, яъни
 Н*/ u = - R u^o қ  ^ТB = - R u^o қ B^Т = 0,
шарти бажарилса, кўриниши қуйдагича бўлади:
u^o = R^-1 B^Т. (13)
(12) ва (13)ни инобатга олиб каноник тенгламаларни ёзамиз:
.
Х = A₀ x + B R^-1 B^Т;
.
 = Q X - ( ^ТА)^Т = Q X - А^Т. (14)
Оптимал бошқарув (13) аниқлаш u^o ни учун (14)дан ёрдамчи функциялар векторини  топиш дозим. Шу мақсадда (14) тенгламаларини интеграллаш лозим. Лекин бу амални бажармасдан, Рикатти тенгламаларидан фойдаланиб, масалани соддароқ ечиш мумкин.
Рикатти тенгламарини хосил қиламиз. Умумий ҳолда:
 = - К(t) Х, (15)
тенгламани дифференциаллаб, ҳосил қиламиз:
. . .
 = - К(t) Х - К(t) Х, (16)
шу ерда К(t) = {k_ij}_nn - номаълум коэффициентлар матрицаси.
(15) ни (14)га қўйиб, хосил қиламиз:
.
Х = A x - B R^-1 B^Т К(t) Х;
.
 = Q X + А^Т К(t) Х. (17)
.
Агар (16) да Х ўрнига (17) системанинг биринчи тенгламани қўйсак, ёзишимиз мумкин:
. .
 = - К(t) Х - К(t) AX + К(t) B R^-1 B^Т К(t) Х . (18)
(18) ва (17)нинг иккинчи тенгламаси ўнг томонларини
тенглаштирсак, матрицали дифференциал тенгламани хосил қиламиз
.
К(t) = - К(t) A - А^Т К(t) + К(t) B R^-1 B^Т К(t) – Q , (19)

ва уни Рикатти тенгламаси деб номлаймиз. (18) тенгламани ечими К(t) матрицани таърифлайди. Унинг қийматини (15)га қўйиб, (13)ни инобатга олиб, оптимал бошқарув учун ифодани ёзамиз:

u^o(X) = - R^-1 B^Т К(t)X . (20)
Параметрлари ўзгармас, тўла бошқариладиган объектлар
.
учун T = t_c =  бўлганда, К(t) = 0 ва К(t) = Ќ = const бўлади. Оптимал бошқаришни қуйдагича ёзилиши мумкин:
u^o = - R^-1 B^Т Ќ X = К^о_ТА Х . (21)
Яъни
К^о_ТА = - R^-1 B^Т Ќ, (22)
шу ерда Ќ – (19) тенгламадан келтириб чиқарилган мусбат аниқланган nn – ўлчамли симметрик матрица:
k₁₁ k_{12 …} k_1n 
Ќ =  . . . . . . . . . , (23)
 k_n1 k_{n2 …} k_nn
коэффициентлари мусбат k_ij  0 (k_ij = k_ji) бўлади.
Ўзгармас коэффициентли объектлар (1)ни оптимал бошқарув (21) T = t_c =  шартли, квадратли функционал (11)ни минималлайди. Шундай қилиб ростлагич параметрларнинг оптимал қийматларини аниқлаш учун Ќ матрицани топиб, (22)га қўйиш керак. Объект параметрлари ўзгарувчан ёки коэффициентлари дойимий, лекин вақт чекли t_c қ T бўлса, К(t) матрицани топиш тўғри келади. Асосий қийинчилик (19) тенглама ночизиқ дифференциал тенглама, уни ечимини олиш учун ЭҲМ қўллаш талаб қилинади.


Ростлагич параметрларини оптимал қийматларини ҳисоблаш бошқа усуллари. Автоматик бошқариш назариясида автоматик системалар сифатини бахолаш учун ҳар хил кўрсаткич ва мезонлар қўлланилади: чиқиш координатани максимал оғиши, интеграл бахолари, хатолик квадратининг ўрта қиймати. Реал ишлайдиган объектларда ростлагични оптимал созланишни аниқлаш учун градиент, стохастик аппроксималлаш, тасоддифий қидириш, тажрибани режалаш усулларидан фойдаланилади.


III бўлим. ОПТИМАЛ ВА АДАПТИВ СИСТЕМАЛАРНИ ҚУРИШ ПРИНЦИПЛАРИ


3.1. Тезкорлик бўйича оптимал жараёнлар тушунчалари

Автоматлаштирилган ва технологик жараёнларда қўлланилаётган ҳар хил техник ускуналар самарадорлигини ошириш, ўтиш жараёнлар вақтини камайтиришига тақалади. Лекин ўтиш вақтини чексиз камайтириш мумкин эмас. Автоматик ситемаларда энергия манбаа кўввати ёки системанинг иссиқлик ва конструкциясини синиш бўйича чекланмалари мавжуд.

Юқори тезкорликка (ўтиш жараён минимумига) эришиш учун автоматик системани лойиҳашда, унинг координаталарига, сифат мезони (1.2.2) энг кам қиймати шартидан қўйилган чекланмаларни инобатга олиш керак. Чиқиш ва бошқариш координаталарига қўйилган чекланмаларни ҳисобга олиб, ўтиш жараёнга энг кам вақт таъминла оладиган бошқариш системалар тезкорлик бўйича оптимал дейилади. Бу системалар оптимал системалрнинг бир туридир.
Тақлидий системалар ва автоматик компенсаторлар, ракеталар ва кўтариш мехнизмларнинг бошқариш системаларини ишлаб чиқаришда тезкорлик бўйича оптимал системаларни яратиш масаласи қўилади. Лекин кўп ҳолларда фақат тезкорлик бўйича оптимал системаларни қуриш тавсия этилмайди. Хавфсизлик, тежамкорлик ва емирилишларни инобатга олиш керак ҳамда қўшма (1.2.3) сифат мезонлардан фойдаланиш лозим.
Оптимал тезкорлик назарияси А.А.Фельдбаум томонидан 1953-1956 йилларда шаклланган, n-ўлчамли фазавий фазода оптимал фазавий траекторияларини топиш, яъни n-интервал тўғрисида теорема таклиф қилинган. Айни шу пайтда Я.З.Ципкин релейли системаларда оптимал жараёнлар учун релеларни ўчириб-улаш вақт моментларни аниқлаш масаласини кўриб чиққан.
Академик Л.С.Понтрягин 1956 йили максимум принципини таклиф қилиб, исботини келтирган. Шунинг билан n-тартибли, бир нечта бошқарув органли ва модул бўйича чекланган бошқариш координатали жараёнлар учун асосий математик аппарат яратилган эди.
Инерцион объектларда ўтиш жараён вақтини камайтиришга бази вақт оралиқларида бошқариш сигнални ошириб етишилади (форслаш принципи). Мисол сифатида ўзгармас ток генератор чиқишида ЭЮК кўпаиш жараёнларни кўриб чиқамиз (расм 3.1).
Генератор қўзғатиш ғалтагига поғанасимон қўзғатиш кучланиш улансин. Генераторнинг ЭЮК турғун қиймати Е_гн = k_гU_вн, 3.1 расмдаги 1 – эгри чизиқ. Энди қўзғатиш кучланишни 2U_вн оламиз, натижада генераторнинг турғун холатдаги 2 Е_гнга эришамиз, расмдаги 2-эгри чизиқ.
2 Е_ГН
Y _З
2
3 C