Узаро боғланишлар хақида тушунча ва уларнинг турлари

Ранглар корреляция коэффициенти

Ранглар - бу сарфланган қаторда туплам бирликлари учун берилган тартиб рақамлари.

Жуфт боғланиш зичлигини бахолаш меёри сифатида инглиз психатри Ч.Спирмен томонидан таклиф этилган ранглар корреляция коэффициентидан хам фойдаланиш мумкин. Ранглар - бу сарфланган қаторда туплам бирликлари учун берилган тартиб рақамлари. Агар х ва у белгилар учун рангларни , орқали белгиласак, уларнинг корреляция коэффициенти (6) формулага биноан қуйидаги куринишга эга:


(8)

Бу ерда натурал сонлар қаторининг уртача ранглари.

(9)
Бу ерда n - қатор ранглар сони.
Бу ифода Спирмен ранглар корреляция коэффициенти деб аталади.
Бу курсаткични афзаллик жихати шундан иборатки, сон билан ифодалаб булмайдиган белгилар учун хам сафланган қаторлар тузиш мумкин.


Гурухланган маълумотлар асосида туғри чизиқли регрессия тенгламасини аниқлаш

Хисоблаш ишларининг хажмини камайтириш мақсадида туплам бирликлари омил (х) ва натижавий (у) белгилар буйича комбинацион шаклда гурухланади ва натижада корреляцион жадвал хосил қилинади. Сунгра унинг маълумотлари асосида регрессия тенгламасининг параметрлари аниқланади.

5-жадвал
Регрессия тенгламасини параметрларини аниқлаш учун керакли жамлама ахборотларни тайёрлаш

Пахта хосилдорлиги буйича гурухлар,цҒга		20-26			26-32			32-38			жа-ми nx			Хамма
1 га минерал уғит сарфи буйича гурухлар	Оралиқ уртача қиймати	23			29			35						Си
	х у
2-4	3	69			87			105
			10			5			0		15	45	135
				690			435			0				1125
4-6	5	115			145			175
			2	230		20			8		30	150	750
							2900			1400				4530
6-8	7	161			203			245
			0			15			10		25	175	1225
				0			3045			2450				5495
Жами		12			40			18			70	370	2110	11150
		276			1160			630			2066	-	-	-
		6348			33640			22050			62038	-	-	-
		26.11			29,09			32,07			29,4	-	-	-
		313.32			1163,60			577,26			2054,18	-	-	-
		8180.79			33849,12			18512,73			60542,64	-	-	-

5-корреляцион жадвалда оралиқлар уртачаларини белги варианталари деб қабул қилиб, жадвалнинг хар бир катагида 3 та маълумот ёзамиз.

Чунончи, катакнинг уртасида гурух такрорланиш (хужаликлар) сони n_xy, юқори чап бурчагида xy купайтма, пастки унг бурчакида эса уларнинг n_xyга купайтмаси xyn_xy курсатилади (хусусан 1-қатор ва 1-устунга мос келган катакда n_xy-10, xy32369, xyn_xy6910690). Булардан ташқари, жадвалда йиғинди ва купайтма куринишида умумий ифодалар берилган. Масалан,

5-жадвал маълумотларига асосланиб регрессия тенгламасининг параметрлари бундай аниқланади:
(10)


(11)



Гурухланган маъ-лумотларга асосан хисобланган регрес-сия ва корреляция коэффициентлари боғланиш зичлигини кучайтириб тасвир-лайди
Демак,
Группаланган маълумотлар буйича регрессия тенгламаси параметрларини хисоблаш уларнинг аниқлик даражасини пасайтиради, чунки бунда белги қийматлари учун тақрибан оралиқлар уртачаси олинади. Ғуза минерал уғитлар билан озиқлантирилмаганда хужаликларда уртача хосилдорлик 21,644 цҒга булиши мумкин эди. Хар гектар ғузага берилган қушимча уғит хосилдорликни уртача 1.5 цга оширади.


Эгри чизиқли регрессия тенгламаларини аниқлаш

Белгилар орсидаги муносабат барқа- рорликка интилув-чи нисбий меъёр-лар билан ифода-ланса, бу холда эгри чизиқли рег-рессия тенглама-лари қулланади.
1. Омиллар уртасидаги тескари корреляцион боғланишни гипербола куринишида ифодалаш мумкин:
у қ а₀ Қ а₁ Ғ х
Агар регрессия коэффициенти а₁ мусбат ишорага эга булса, омил белги х қийматлари ошган сари натижавий белги кичиклаша боради ва шуниси эътиборлики, камайиш суръати доимо секинлашади ва х чексизликка интилганда натижавий белги уртача қиймати а₀ тенг булади, яъни Агар регрессия коэффициенти а₁ манфий ишорага эга булса, омил қиймати ошиши билан натижавий белги қийматлари катталашади, аммо усиш суръати секинлаша боради ва х у қ а₀.
Гиперболоид регрессия тенгламаси билан алмаштириб, уни туғри чизиқли куринишга келтириш мумкин. Натижада, кичик квадратлар усулига биноан, нормал тенгламалар қуйидаги шаклга эга булади:
naҚа₁∑zқ∑y
a₀∑zҚa₁∑z₂қ∑yx бундан

II. Регрессия тенгламаси парабола куринишда ифода қилинса, худди юқоридагига ухшаш х²қz алмаштириш қулланилиб, параметрларни аниқлаш формулалари хосил қилинади:

Иккинчи тартибли парабола шаклидаги регрессия тенглама қуйидаги куринишга эга
(16)
Агар омил узгари-ши билан натижа дастлаб тез суръат-лар билан узгариб, сунгра тезлиги суна борса, у холда корреляция пара-болоид шаклга эга булади.
Агар туғри чизиқли боғланишда омил узгарувчанлиги кулами чегарасида унинг бир бирлигига нисбатан натижавий белги уртача узгариши узгармас миқдор булса, параболоид корреляцияда эса У - белги бир бирлигига нисбатан Х белги узгариши омил қиймати узгариши билан бир меъёрда кетади. Оқибатда боғланиш хатто уз ишорасини қарама-қаршисига алмаштириб, туғри боғланишдан тескари ёки тескаридан туғрига айланиши мумкин. Бундай хусусият купчилик тизимларга хосдир.
Иккинчи тартибли парабола учун, кичик квадратлар усулига биноан, нормал тенгламалар тизими қуйидагича:

Гурухланган тупламлар учун бу тенгламалар тизим:
Бу ерда:
III. Регрессия тенгламасини курсаткичли функция куринишда аниқлаш учун аввал уни логарифмлаб сунгра алмаштиришлар ёрдамида чизиқли тенглама хосил қилинади: . Юқоридаги формулаларга асосан а₁ ва в аниқлаб ва киритилган алмаштиришлардан фойдаланиб қуйидагини ёзиш мумкин:

У холда


Бир омилли регрессия тенгламасини бахолаш ва тахлил қилиш.
Жуфт корреляция коэффициенти

Корреляцион боғланиш кучини бахолашда корреляция индексидан фойдаланилади:

21
Бу коэффициентнинг квадрати детерминация индекси деб аталади.
Хусусан, боғланишнинг шакли туғри чизиқли булганда детерминация ва корреляция индекслари мос равишда чизиқли детерминация ва корреляция коэффициентлари (r² ва r) деб юритилади.
Группаланган туплам учун корреляция коэффициенти бундай хисобланади:
. 12

Корреляция коэффициентининг катталиги эса регрессия тенгламасининг функционал боғланишга яқинлигини курсатади. Бу ерда кузатилган тақсимот белгилари орасида тула адекват боғланиш мавжуд деб хисобланаётир. Аммо хаётда бундай тулиқ мослик булмайди. Шу сабабли корреляция индекси билан корреляция коэффициенти орасидаги фарқ хақиқий боғланиш шакли қанчалик туғри чизиқли боғланишга мос келишини бахолайди.

Аниқланган регрессия ва корреляция курсаткичлари хар доим мохиятли булавермайди. Шунинг учун уларнинг мохиятли эканлигини текшириб куриш зарур. Регрессия ва корреляция курсаткичларининг мохиятлиги Стьюдент (t), Фишер (F) ва бошқа мезонлар ёрдамида бахоланади.
Регрессиянинг чизиқли тенгламаси параметрларининг мохиятли эканлигини текширишда t - мезондан фойдаланилади. Бунинг учун хар бир параметрга мос келган t нинг хақиқий қийматлари қуйидаги формулалар билан хисобланади:


(23)

Сунгра t мезоннинг хисобланган хақиқий қийматлари t_хақ унинг эркин даражалари сони n - 2 ва қабул қилинган мохиятли даражаси  га мос келган назарий қиймати билан таққослаб курилади. Мезоннинг назарий қиймати (t_жадв) Стьюдент тақсимоти жадвалидан аниқланади. Агар бирор параметр учун t_хақ  t_жадв булса, у холда шу параметр қабул қилинган даража билан мохиятли хисобланади. Параметр хатосининг уртачаси қуйидагича хисобланади:

(25)

Корреляция индексининг мохиятли эканлиги Фишер критерияси билан текширилади. Критериянинг F_хақ хақиқий қиймати:

(26)
Бу ерда: n - туплам сони; m - тенглама параметрлари сони.

тарзида аниқланиб, унинг жадвалдаги қиймати билан таққосланади.

Корреляция коэффициентининг мохиятлилик даражасини Стьюдент t - мезони билан хам текшириш мумкин. Агар ушбу тенгсизлик
(27)
уринли булса, корреляция коэффициенти мохиятли булади.
Тупламнинг миқдори жуда кичик булганда корреляция индексининг аниқлигини ошириш учун қолдиқ дисперсияга қуйидагича тузатиш киритилади:


(28)

бу холда омилли дисперсия

Эластиклик коэффициенти омил белгининг 1% га узгарганда натижа қанча фоизга узгаришини аниқ-лайди

Регрессия тенгламасини тахлил қилишда натижавий белгининг омил белгига нисбатан эластиклик коэффициентидан хам фойдаланилади. Эластиклик коэффициенти (Э) омил белгининг 1% узгариши билан натижавий белгининг уртача неча фоиз узгаришини ифодалайди:


(29)
Бу ерда регрессия тенгламасининг х буйича хусусий хосиласи.
Формула курсатадики, умуман эластиклик коэффициенти узгарувчи миқдор булиб, унинг қиймати омил белгининг (х) қийматига қараб узгаради.
Чизиқли регрессия тенгламаси учун эластиклик коэффициенти
(20)
Фақат боғланишнинг курсаткичли фунцияси учун эластиклик коэффициенти узгармас миқдор булади, яъни Эқа₁.