Ясашга до ир масалаларни ечишдаги асосий босцичлар

§ 3. МАСАЛАНИ БОСКИЧЛАБ ЕЧИШГА МИСОЛЛАР
(
1
) ва (
2
) пропорциялардан куйидаги косила пропорциялар- 
ни чикарамиз:
•Si'-(Si + S
2
+ S 3) = т :(т  + ti 
р). 
( I 7)
S i : (S[ + S
-2
+ S
3
) = m : ( m + n + p). 
(2')
Sj -f- S
2
-b S 3 = Si -f- S
2
-f- S
3
= Д A B C  юзи = S. 
(3)
Шунинг учун (Г ) ва (2') дан S x ва Si ни аницласак:
mS
Si — -
si =
т + п + р  
m S 
т + п + р
( П
(
2
")
S , -
S i.
Бундан равшанки:
Худди шунингдек:
S
3
— S3.
Шундай килиб, куйидагиларга эга буламиз:
Д А В Х  юзи = Д Л 5 К юзи; / \ А С Х  юзи = Д A Z C  юзи. (4)
Маълумки, юзлари тенг учбурчакларнинг асослари тенг 
булса, баландликлари ?$ам тенг булади. Анализ чизмасидаги 
А В Х  ва A B Y  учбурчаклар- 
*
нинг юзлари тенг 
ва 
улар 
умумий А В  
асосга эгадир.
Шунинг учун уларнинг X  ва 
Y  учларидан А В  асосга ту ш и ­
рилган баландликлари ^ам бир- 
бирига тенг. Дем ак, X ва Y  
нукталар JB  асосдан тенг ма­
софада ётади.
Шундай килиб, изланган X  
нукта 
Y  нуктадан берилган 
учбурчакнинг 
А В  томонига 
параллел утказилган 
тугри 
чизикда ётар экан.
Худди шу усулда изланган X  нуктанинг Z  нуктадан А С  
томонга параллел килиб утказилган тугри чизикда ётишини 
курсатиш мумкин.
Демак, изланган X  нукта Y  дан А В  га ва Z дан А С  га 
параллел килиб утказилган тугри чизикларнинг кесишиш н у к­
тасида ётади ва Y  ^амда Z нукталар X  нуктани топишда ё р ­
дамчи фигура була олади.
5-II чизма.

---

I БОБ _ ЯСАШГА Д О И Р 
МАСАЛАЛАР ЕЧИШ 
БОСК.ИЧЛАРИ 
27
Я с а ш . 1) Берилган учбурчакнинг ВС томонини берилган 
нисбатларда булувчи Y  ва Z  нукталарни топамиз (5-II чизмада 
т : п : р =  2 : 3 : 4 нисбатда олинган).
2) Топилган Y  нуктадан Y M  II А В  ва Z нуктадан Z N  || А С  
тугри чизиклар утказиб, уларнинг кесишган нуктасини X  деб 
белгилаймиз.
И с б о т . Топилган X  нуктани А, В ва С нукталар билан 
туташтиришдан ^осил булган А В Х , В С Х  ва А С Х  уч бурч ак­
ларнинг юзлари куйидаги
/ \ А В Х  ю зи \ / \ В С Х  ю з ^ Д Л С Л * юзи = т : п : р  
(1)
муносабатда булишини исбот килиш керак.
У ва Z нукталарни А нукта билан туташтирсак, ^осил б у л ­
ган A B Y , A Y Z  ва A Z C  учбурчакларнинг асослари ясалишга 
кура
B Y : Y Z '.Z C — т : п : р  
(2)
муносабатда булади.
Бу учбурчакларнинг умумий учи булган А нуктадан асосга 
туширилган A D  = /г перпендикуляр уларга умумий баландлик 
булгани учун уларнинг юзлари ^ам т : п : р  нисбатда булади, 
яъни:
Si:S'2: S
3
= т : п : р . 
(3)
A B Y  ва А В Х  учбурчакларнинг асоси битта А В  кесма б у л ­
гани ва учлари ( Y  ?;амда X )  уша асосга параллел X Y  чизик­
да ётгани учун бу икки учбурчак тенгдош булади.
Шунингдек, A Z C  ва А С Х  учбурчакларнинг Z ва X  у ч ла­
ри, ясалишига кура X Z  || А С  тугри чизикда ётгани 
учун 
уларнинг умумий А С  асосига туширилган баландликлари узаро 
тенг ва шу сабабли бу икки учбурчакнинг юзлари ^ам бир- 
бирига тенг булади, яъни:
& А В У т , ~ & А В Х т „  
(4)
A A Z C m - A A C X m . 
(5)
Бу тенгликлар ^адлаб кушилса:
А Л В У Ю
ЗН +  Д A Z C m  = Д А В Х Ю
ЗИ + Д Л С * Ю
ЗИ 
(50 
тенглик )?осил булади.
Бу тенгликнинг ^ар бир томонидаги юзлар йигиндисини 
берилган A B C  учбурчакнинг юзидан айирсак, куйидаги тенг­
лик чикади:
Д Л В С Ю
ЗИ - (Д А В У юзи +  Д A Z C I0J  = Д А В С юза -
- { & Л В Х юзн + & А С Х юзи). 
(6)

---

2 8
§ 3. МАСАЛАНИ БОСК.ИЧЛАБ ЕЧИШГА МИСОЛЛАР
Бу тенгликни 5-II чизмага асосан:
A ^ r z , o 3 „ = А В С Х юзи 
(60
ш аклида ёза оламиз
Шундай килиб, юкорида чикарилган (3), (4), (5), (6') тенг- 
ликларга таяниб, куйидаги хулосага келамиз:
Д А В Х юзп: Д В С Х ют: / \ А С Х ю.т =
= Д A B Y m a : Д /1 Y Z mm : Д A Z C i03it = т : п : р .  
(7)
Мана шуни исбот килиш талаб этнлган эди.
Дем ак, топилган X  нукта масаланинг талабига жавоб берар 
экан.
Т е к ш и р и ш . Учбурчак шаклининг ва берилган т, п, р  
сонларининг узгаришига караб, изланган X  нуктанинг урни 
узгаради. Масала ^амма вакт ечилади ва, умуман, олтита 
ечимга эга булади.
Т о п ш и р и ц л а р
I. 
Берилган учбурчакнинг ичида нукта топинг, бу нуктани у ч б у р ч а к ­
нинг учлари билан туташ тирувчп
кесмалар уни учта тенгд ош булакка 
булси н.
И*. Олдинги топширивдаги масалани у чб урчак медианаларининг хосса- 
сидан фойдаланиб ечинг.
6-масала. Б и р томони, д и а г о н а л л а р и й и т н д и с и н и н г яр ми 
еа д и а го н а л л а р и орасидаги бурчаги б ер и л га н п а р а л л е л о г р а м м  
ясанг.
А н а л и з . 1) Масала ечилди деб фараз килиб, изланган 
параллелограмм A B C D  ни тахминан чизиб КУЯМИЗ- Бу парал­
лелограммнинг берилган элементлари 
куйидагилар булсин 
(6-1 чизма):
А В ^ а , \ (АС + B D ) = ~ {е -f / ) = I ва Z C M D  = к. (1)
2) 
Энди параллелограмм ясаш учун зарур булган ёрдамчи 
фигурани топиш керак. Бу ишни I кесмани ясашдан бошлай- 
миз. Бунинг учун диагоналлардан бирининг ярмини улчаб олиб 
/ i4 
С
\
( -g— — М А ) ,  унинг давомига иккинчи диагоналнинг ярмини
(
BD
-Y~ = M E j  к5гямиз, натижада I кесма >;осил булади:
М А  + M E — М А  + M B  = /.

---

I БО Б. ЯСАШГА Д О И Р