Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hosil  qilingan  (15.7)  formula  Stirling  interpolyasion  formulasi  deyiladi.  Bu 
formulada 2-jadvalda ko’rsatilganidek o indeksli juft tartibli chekli ayirmalar va 
 
hamda 
 indeksli toq tartibli chekli ayirmalarning o’rta arifmetiklari qatnashadi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


















!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
2
)(
1
(
!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
2
)(
1
(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
t
n
t
t
t
t
n
n
t
n
t
t
t
t
!
)
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
n
n
t
t
t





1
2
0
1
2
2
/
1
1
2
2
/
1
2
1






n
n
n
f
f
f

x
f
1
f
2
f
3
f
4
f
5
f
6
f
.
.
.
.
.
.
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x




4
3
2
1
0
1
2
3
4
f
f
f
f
f
f
f
f
f




1
2
/
7
1
2
/
5
1
2
/
3
1
2
/
1
1
2
/
1
1
2
/
3
1
2
/
5
1
2
/
7
f
f
f
f
f
f
f
f




2
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
2
2
3
f
f
f
f
f
f
f



2
2
/
5
2
2
/
3
3
2
/
1
3
2
/
1
3
2
/
3
3
2
/
5





f
f
f
f
f
f
4
2
4
1
4
0
4
1
4
2
f
f
f
f
f


5
4
/
3
5
2
/
1
5
2
/
1
5
2
/
3
f
f
f
f


6
1
6
0
6
1
f
f
f

2
/
1
2
/
1


 
136
2-jadval 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ko’rinib turibdiki, Stirling formulasining qoldiq hadi 
 
 
(15.8) 
ga  teng.  Gaussning  ikkinchi  interpolyasion  formulasini 
  nuqta  uchun  qo’llansa, 
quyidagi formula hosil bo’ladi: 
 
.   
 
  (15.9) 
Bu formulada 
 belgilash kiritsak va buni 
 orqali ifodalasak, 
 
bo’lib, (10.9) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 
 
. 
 
 
(15.10) 
Endi, bu formulani Gaussning birinchi interpolyasion formulasi (15.3) bilan qo’shib, 
yarmini olsak hamda quyidagi 
 
va 
 
munosabatlardan foydalansak, u holda Bessel formulasi hosil bo’ladi: 
х
f
1
f
2
f
3
f
4
f
2

х
2

f
2
/
3
1
2
/
1
1
2
/
1
1
2
/
3
2
1
f
f
f
f







1

х
1

f
2
1

f
0
x
0
f
2
0
f






3
3
/
1
3
3
/
1
2
1
f
f
4
0
f
1
x
1
f
2
1
f
2
x
2
f
)
(
.
.
.
)
2
)(
1
(
!
)
1
2
(
)
(
2
2
2
2
2
)
1
2
(
1
2
2
n
t
t
t
t
n
f
h
R
n
n
n








1
х
















!
)
1
2
(
]
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
3
)
1
(
!
2
)
1
(
)
(
2
2
2
1
2
2
/
1
2
3
2
/
1
2
1
1
2
/
1
1
1
2
n
n
u
u
u
f
u
u
f
u
u
f
u
f
f
uh
x
L
n
n
!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
1
n
n
u
n
u
u
u
f
n





h
x
x
u
1


h
x
x
t
n


1

 t
u





















!
)
1
2
(
)
)(
1
](
)
2
(
[
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
3
)
2
)(
1
(
!
2
)
1
(
)
1
(
)
(
2
2
2
1
2
2
/
1
3
2
/
1
2
1
1
2
/
1
1
0
2
n
n
t
n
t
n
t
t
t
f
t
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
L
n
n
!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
1
n
n
t
n
t
t
t
f
n





n
n
n
f
f
f
2
2
/
1
2
1
2
0
)
(
2
1



!
)
1
2
(
)
2
/
1
)(
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
!
)
1
2
(
)
1
)(
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
























n
t
n
t
n
t
t
t
n
n
t
n
t
n
t
t
t
n
n
t
t
t

 
137
 
. 
 
 
(15.11) 
Bu formula, umuman aytganda, interpolyasion formula emas, chunki u mos ravishda 
 va 
 
tugunlarga ega bo’lgan ikkita interpolyasion ko’phadlarning o’rta arifmetigidir. Ya’ni 
u  faqat 
  ta 
  tugunlarda 
  bilan  ustma-ust  tushadi,  lekin  bu 
formulada  funksiyaning 
  va 
  nuqtalardagi  qiymatlari  qatnashgan.  (15.11) 
ko’phad  interpolyasion  bo’lishi  uchun,  ya’ni  uning 
  va 
  nuqtalarda  ham 
 
bilan ustma-ust tushishi uchun, unga yana bitta had qo’shish kerak: 
 
.   
    (15.12) 
Bu  formula 
  nuqtalar  bo’yicha  tuzilgan  Lagranj  interpolyasion 
ko’phadi bilan ustma-ust tushganligi uchun uning qoldiq hadi 
 
bo’ladi. Demak, (10.11) formulaning qoldiq hadi esa 
 
   
                            (15.13) 
ga  teng.  Bessel  formulasini  oraliq  o’rtasida,  ya’ni 
  da  qo’llash  qulaydir.  Bu 
holda  barcha  toq  tartibli  ayirmalarga  ega  bo’lgan  hadlar  nolga  aylanadi.  Bessel 
formulasida quyidagi ayirmalar qatnashadi: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 































2
1
!
)
1
2
(
)
1
](
)
2
(
[
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
2
)
1
(
2
1
)
(
2
2
2
1
2
2
/
1
2
2
/
1
1
2
/
1
2
/
1
0
2
t
n
n
t
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
B
n
n


!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
2
/
1
n
n
t
n
t
t
t
f
n






n
n
x
x
,
.
.
.
,

1
)
1
(
,
.
.
.
,



n
n
x
x
n
2
n
n
x
x
,
.
.
.
,
)
1
( 

)
(x
f
n
x

1

n
x
n
x

1

n
x
)
(x
f
























!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
.
.
.
2
)
1
(
2
1
)
(
)
(
2
2
2
2
2
/
1
2
2
/
1
1
2
/
1
2
/
1
0
1
2
0
1
2
n
n
t
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
L
th
x
B
n
n
n



!
)
1
2
(
)
2
/
1
)(
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
1
2
2
/
1








n
t
n
t
n
t
t
t
f
n
1
,
,
.
.
.
,


n
n
n
x
x
х
)]
1
(
)[
(
.
.
.
)
1
(
!
)
2
2
(
)
(
)
(
2
2
2
)
2
2
(
2
2
1
2









n
t
n
t
t
t
n
f
h
x
R
n
n
n











!
)
1
2
(
)
2
/
1
)(
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
)
(
2
2
2
1
2
2
/
1
2
2
n
t
n
t
n
t
t
t
f
x
R
n
n
)]
1
(
)[
(
.
.
.
)
1
(
!
)
2
2
(
)
(
2
2
2
)
2
2
(
2
2








n
t
n
t
t
t
n
f
h
n
n

2
/
1

t
х
f
1
f
2
f
3
f
4
f
2

х
2

f
2
/
3
1
2
/
1
1
2
/
1
1
2
/
3
f
f
f
f


3
2
/
3
3
2
/
1
3
1
f
f
f

1

х






0
1
2
1
f
f
2
1

f
0
x





2
1
2
0
2
1
f
f





4
1
4
0
2
1
f
f
1
x
1
f
2
2
f
2
x
2
f

 
138
 
Nihoyat, keng qo’llaniladigan formulalarning yana birini tuzamiz. Buning uchun 
 
munosabat  yordamida,  Gaussning  birinchi  interpolyasion  formulasi  (15.3)  dan  toq 
tartibli ayirmalarni yo’qotamiz. U holda 
 ayirma oldidagi kozffisiyent 
 
ga teng bo’lib, 
 ayirmaning koeffisiyenti zsa quyidagiga teng: 
 
Oxirgi ifodada 
 almashtirish bajaramiz:  
 
Natijada, quyidagi Everett interpolyasion formulasi hosil bo’ladi: 
 
Bu  formulaning  qoldiq  hadi 
  tugunlar  yordamida  tuzilgan  Gauss 
formulasining qoldiq hadi bilan ustma-ust tushadi: 
. 
Everett  formulasi  odatda  jadvalni  zichlashtirishda  qo’llaniladi,  ya’ni 
 
tugunlarda  funksiya  qiymatlarining  jadvali  berilgan  bo’lsa, 
  tugunlarda 
funksiya  qiymatlari  jadvalini    tuzishda  foydalaniladi,  bu  yerda 
  (
—  butun 
son). 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Gauss, Stirling, Bessel interpolyasion formulalari. 
2.  Qanday holatda interpolyasion formulalarni qo’llash. 
3.  Misollar yechish. 
  
 
 
 
k
k
k
f
f
f
2
0
2
1
1
2
2
/
1



k
f
2
1
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
2
2
2



k
k
t
t
t
k
f
2
0
.
!
)
1
2
(
)
1
)(
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
!
)
1
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
!
)
2
(
)
](
)
1
(
[
.
.
.
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



















k
t
k
k
t
k
t
t
t
k
k
t
k
t
t
t
k
k
t
k
t
t
t
u
t

 1
.
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
!
)
1
2
(
)
1
1
)(
1
)(
1
1
)(
1
1
(
.
.
.
)
1
1
)(
1
1
)(
1
(
2
2
2






















k
k
u
u
u
k
u
k
k
u
k
u
k
u
u
u
u
.
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
3
)
1
(
!
)
1
2
(
)
(
.
.
.
)
1
(
.
.
.
!
3
)
1
(
)
(
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
2
2
2
2
1
2
2
1
0
0
1
2



















n
n
u
u
u
f
u
u
f
u
f
n
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
th
x
E
n
n
n
1
,
.
.
.
,


n
n
x
x
)]
1
(
)[
(
.
.
.
)
1
(
!
)
2
2
(
)
(
2
2
2
)
2
2
(
2
2







n
t
n
t
t
t
n
f
h
n
n

kh
x 
0
h
k
x


0
N
h
h 

N

 
139
16-ma’ruza