Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

5
. Erkin tushuvchi jismning shimolga og’ishi. 
 
Berilgan balandlikdan yer sirtiga erkin tushayotgan moddiy nuqtaning yerga 
mahkamlangan  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  qaraymiz.  Bu  koordinatalar 
sistemasining  boshini  nuqtaning  boshlang’ich  holati 
0
M
  bilan  bitta  vertikalga 

 
208 
joylashtiramiz  (68-shakl).
Z
o’qini  yer  markazidan  chiquvchi  vertikal  bo’ylab 
yuqoriga yo’naltiramiz, X o’qini meridian bo’ylab janubga yo’naltiramiz, Y o’qini 
XOZ meridian tekisligiga perpendikulyar qilib, sharqqa yo’naltiramiz. 
U  holda  moddiy  nuqtaning  nisbiy  harakati  uchun  boshlang’ich  shartlar 
qo’yidagicha bo’ladi: 
.
0
;
0
;
0
;
;
0
;
0
;
0
0
0
0
0
0
0
0







z
y
x
H
z
y
x
t



 
Agar  muhitning  qarshiligi  hisobga  olinmasa,  nuqtaga  faqat  Yerning  toryish 
kuchi 
P

 ta’sir qiladi. 
Bu holda nisbiy harakat dinamikasining asosiy tenglamasi (5.25.6) qo’yidagi 
ko’rinishda bo’ladi: 
K
E
z
J
J
P
W
m








(5.25.6) 
 
Bu holda ko’chirma harakat tekis aylanma harakatdan iborat. 
Yerning  tortish  kuchi 
P

  bilan 

E
J

  markazdan  qochma  inersiya  kuchlarning 
teng  ta’sir  etuvchisi  jismning 
G

  og’irlik  kuchiga  teng.  U  holda  (5.27.2)  tenglama 
qo’yidagi ko’rinishga keladi: 
K
R
J
G
W
m





 
 
 
 
      (5.27.3) 
 
Koriolis  inersiya tezlanishi 
)
(
2
R
E
K
W







 g’arbga qarab yo’nalgan  bo’lib, 
E


  va 
R


  yotgan  meridian  tekisligiga  perpendikulyar  bo’ladi.  Koriolis  inersiya 
kuchi  esa  shu  tekislikka  perpendikulyar  bo’lib,  sharqa  yo’naladi,  ya’ni  u  o’qini 
musbat yo’nalishi bilan bir xil yo’nalgan bo’ladi. Bu kachning moduli  



cos
2
R
E
K
m
J



 ga teng. 

-M nuqta joylashgan kenglik. 
Nuqtaning  harakati  vaqtida 
R


  -nisbiy  tezlikning  Z  vertikaldan  og’ishi  juda 
kichik deb, (5.27.3) tenglamani koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: 
 
.
;
cos
2
;
0
mg
G
Z
m
m
J
Y
m
X
m
R
E
K
















            (5.27.4) 
Birinchi tenglamadan: 
2
1
1
,
C
C
X
C
X




. 
 
(5.27.4) boshlang’ich  shartlardan: 
0
2
1

 С
С
. Nuqtaning  
X
o’qi  bo’ylab, 
harakat tenglamasi 
0

X
 
 
 
 
 
 
      (5.27.5) 
 bo’ladi. Demak, nuqta faqat 
ZOY
   tekisligida harakat qilar ekan 
 
Uchinchi tenglamani integrallaym 
4
3
2
3
2
,
;
C
t
C
gt
Z
C
gt
Z
g
Z












. 
Boshlang’ich  shartlardan: 
H
C
C


4
3
,
0
. 
Moddiy nuqtaning 
Z
o’qi bo’ylab, harakat tenglamasi qo’yidagicha bo’ladi: 
                                   
2
,
2
gt
H
Z
gt
Z





 . 
(5.27.6) 
  Nuqtaning 
R


nisbiy tezligining yo’nalishi 
Z
 vertikaldan juda kichik farq qilgani 
uchun yetarlicha aniqlik bilan  
                                                     
gt
Z
Z
R






 
           deb olish mumkin. Natijada (5.27.4)  tenglamalarning ikkinchisini quyidagi 
ko’rinishda yozish mumkin. 


cos
2
gt
m
Y
m
E



 

 
209 
              Bu tenglamani integrallab, quyidagini hosil qilamiz:                
              
6
5
3
5
2
cos
3
1
;
cos
C
t
C
gt
Y
C
gt
Y
E
E










 . 
  Berilgan boshlang’ich  shartlardan integrallash o’zgarmaslarni topamiz: 
0
6
5

 С
С
. Natijada nuqtaning 
Y
o’qi bo’ylab harakat tenglamasini topamiz, ya’ni  
              




cos
3
1
;
cos
3
2
gt
Y
gt
Y
E
E



.                                         (5.27.7) 
        Nuqta yerda kelib tushganda 
0

Z
 deb, (5.27.6) tenglamadan uning tushish 
vaqtini topamiz: 
                    
g
H
t
H
gt
2
,
2
1
2
1


. 
       Buni (5.27.7) ga qo’yib, 
max
Y
 ni topamiz, ya’ni     
     
g
H
H
g
H
g
Y
E
E




cos
2
3
2
cos
8
3
1
3
3
max


.                                       (5.27.8)    
    (5.27.8)  formula yordamida nuqtaning tushish balandligi va kengligini bilgan 
holda uning sharqqa maksimal og’ishini topish mumkin.          
 
 
                                        Nazorat savollari. 
1.  Inersiya va noinersial sanoq sistemalari deb qanday sistemalarga aytiladi? 
2.  Nuqtaning nisbiy harakati deb nimaga aytiladi? 
3.  Nisbiy harakat turlari haqida nimalarni bilasiz? 
4.  Dalamber prinsipi qanday ta`riflanadi? 
5.  Koriolis teoremasi nima deydi? 
6.  Inersiya kuchlarining turlarini ta`riflang 
7.  Nisbiy muvozanat turlari haqida nimalarni bilasiz? 
8.  Erkin tushuvchi jismning shimolga og`ishini tushuntirib bering. 
 
XULOSA 
 
Moddiy nuqtaning nisbiy harakati haqidagi tushuncha mexanikaning asosiy 
ideyalariga asoslangan. 
 
Inersial sanoq sistemasiga nisbatan muntazam ilgarilanma va to`g`ri chiziqli 
harakat etuvchi har qanday sanoq sistemasi ham inersial bo`ladi. 

 
210 
Sanoq sistemasi muvozanat holatida yoki muntazam to`g`ri chiziqli ilgarilanma 
harakatda ekanligini tajribalar orqali aniqlab bo`lmaydi (Galiley-Nyutonning 
nisbiylik prinsipi ). 
 
Bo`shliqda erkin tushayotgan har qanday og`ir jism albatta vertikaldan og`ib 
ketadi.    
 
Klassik mexanikaning birinchi va ikkinchi qonunlari faqat inersial sanoq 
sistemalarida harakat etuvchi jismlar uchun o`rinli bo`ladi. 
 
 

 
211 
1.1. Mavzuning texnologik modeli. 
 
 
17- mavzu 
Mexanik sistema dinamikasiga kirish.Mexanik sistema 
harakatining differensiyal tenglamalari.    
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (axborotli dars) 
Mavzu   rejasi 
 
3.  Mexanik sistema.Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi 
kuchlarning tavsifi. 
 
4.  Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. 
 
5.  Bog’lanishdagi mexanik sistema harakatining differensiyal 
tenglamalari.  
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi
 
Mexanik sistema dinamikasining asosiy tushunchalari va sistema 
harakatining differensiyal tenglamalari haqida tushuncha berish. 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Mexanik sistema dinamikasi haqida 
dastlabki ma’lumotlar berish. 
 Mexanik sistema dinamikasining asosiy 
tushunchalari va sistema harakatining 
differensiyal tenglamalari haqida tushunch 
berish. 
Mexanik sistema harakatining 
differensiyal tenglamalarini keltirib 
chiqarish va uni mustahkamlash. 
 Mexanik 
sistema 
harakatining 
differensiyal 
tenglamalari 
haqida 
tasavvurga ega va ularni eslab qoladi. 
Bog’lanishdagi mexanik sistema 
haqida tushuncha berish.  
 Bog’lanishdagi mexanik sistema 
dinamikasining asosiy tushunchalari va 
vazifalarini biladi. 
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 

 
212 
 
1.2. “Mexanik sistema dinamikasiniga kirish. Mexanik sistema harakatining 
differensiyal tenglamalari” mavzusining texnologik  xaritasi. 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
Mazmuni 
 
1-
Mavzuga 
kirish 
bosqich 
(20min) 
 
1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati natijalarini 
aytadi. 
1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga 
ko`ra tinglovchilarning nimalarda 
adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar 
beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
   
 
 
 
 Tinglaydilar  
                                                                                                                         
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Tinglaydilar. 
 
UMK ga qarydilar 
 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha 
va iboralarni muhokama 
qiladilar 
 
 
3- 
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
 
 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha 
olingan bilimlarni qayerda ishlatish 
mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar. 
17-Ma’ruza 

 
213 
Mexanik sistema dinamikasiga kirish. Mexanik sistema harakatining 
differensiyal tenglamalari. 
Reja: 
1.  Mexanik sistema.Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlarning tavsifi. 
2.  Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. 
3.  Bog’lanishdagi mexanik sistema harakatining differensiyal 
tenglamalari. 
           Adabiyotlar: [1],7-24 sah, [5], 333-345 sah.  
Tayanch iboralar: 
 
Mexanik sistema, absolyut qattiq jism, bog’lanishlar, golonom sistema, 
sistemaning erkinlik darajasi, asosiy dinamik miqdorlar, ichki va tashqi kuchlar.  
                                             Belgilar: 
   MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
                                         Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga – ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
 
 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1.Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 
2.Ichki va tashqi kuchlar deb qanday kuchlarga aytiladi? 
3.Sistemaning massalar markazi qanday topiladi? 
4.Sistemaning harakat miqdori nimaga teng? 
5.Sistemaning kinetik momenti deb nimaga aytiladi? 
6.Sistemaning kinetik energiyasi qanday ifodalanadi? 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 
 

 
214 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
 Mexanik sistema. 
 
 
2 
Absolyut qattiq jism. 
 
 
3 
 Ichki va tashqi kuchlar. 
 
 
4 
 Bog’lanishlar va ularning turlari. 
 
 
5 
 Golonom va nogolonom mexanik sistemalar. 
 
 
 
6 
 Sistemaning erkinlik darajasi. 
 
 
7 
 Sistemaning harakat miqdori. 
 
 
8 
 Sistemaning kinetik momenti. 
 
 
9 
 Sistemaning kinetik energiyasi. 
 
 
10 
 Kyonig teoremasi. 
 
11 
 Mexanik sistema harakatining differensiyal tenglamalari. 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
 
+ - Yangi ma’lumot.  
 
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
 
? – tushunarsiz,  

 
215 
1.Mexanik sistema. Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar. 
Bir-biri bilan  ma’lum  munosabatda bog`langan  hamda  har bir  nuqtasining 
harakati boshqa nuqtalarning holati va harakatiga bog`liq bo`lgan moddiy nuqtalar 
to`plami  mexanik  sistema  deyiladi.  Istalgan  mashina  yoki  mexanizm  mexanik 
sistemaga  misol bo`la oladi, chunki  mashina va mexanizmlarning qismlari bir-biri 
bilan  sharnirlar,  sterjenlar,  tasmalar  yoki  tishli  g`ildiraklar  vositasida  bog`langan 
bo`ladi.  Bu  holda  sistema  nuqtalariga  bog`lanishlar  orqali  beriladigan  taranglik 
kuchlari yoki o`zaro bosim kuchlari ta’sir etadi.  
Agar  mexanik  sistemani  tashkil  etuvchi  nuqtalar  orasidagi  masofalar 
doimo  o`zgarmasdan  qolsa,  bunday  mexanik  sistema  o`zgarmas  mexanik  sistema 
deyiladi. Masalan, absolyut qattiq jismni o`zgarmas mexanik sistema nuqtalarining 
to`plamidan iborat deb qarash mumkin. 
Agar  mexanik  sistemaning  barcha  nuqtalari  erkin  bo`lsa,  u  holda  sistemani 
tashkil  etuvchi  nuqtalar  orasidagi  bog`lanishlar  mazkur  nuqtalarning  o`zaro  ta’sir 
kuchidan  iborat  bo`ladi.  Bunda  biz  erkin  nuqtalardan  tashkil  topgan  mexanik 
sistemaga  ega  bo`lamiz.  Masalan,  Quyosh  sistemasini  bunday  sistemaga  misol 
qilib ko`rsatish mumkin, chunki Quyosh va planetalar o`zaro butun dunyo tortilish 
kuchi ta’sirida bo`ladi. 
Agar  mexanik  sistema  nuqtalariga  bog`lanishlar  qo`yilgan  bo`lsa,  sistema 
bog`lanishdagi  sistema  deyiladi.  Bunday  sistemaga  misol  tariqasida  uzunligi 
o`zgarmas bo`lgan sterjen bilan biriktirilgan ikki moddiy nuqtani olish mumkin. 
Berilgan  mexanik  sistema  nuqtalarga  ta’sir  etuvchi  kuchlar  ichki  va  tashqi 
kuchlarga ajratiladi. 
Mexanik  sistemani  tashkil  etuvchi  nuqtalarning  o`zaro  ta’sir  kuchlari  ichki 
kuchlar deyiladi. Ichki kuchlar, odatda, 
i
F
   bilan belgilanadi. 
Mexanik  sistema  nuqtalariga  bu  sistemaga  kirmaydigan  nuqta  yoki 
jismlarning  ta’sir  kuchlari  tashqi  kuchlar  deyiladi.  Tashqi  kuchlar 
e
F
  bilan 
belgilanadi. 
Masalan,  avtomabilni  mexanik  sistema  deb  qarasak,  dvigatel  silindrlarida 
hosil  bo`ladigan  gazlarning  porshenga  bosim  kuchlari,  porshenning  shatunga, 

 
216 
shatunning  tirsakli  valga  ta’sir  kuchlari  va  hokazo  kuchlar  ichki  kuchlardir; 
avtomabil  og`irligi,  avtomabil  g`ildiraklari  bilan  yer  sirti  orasidagi  ishqalanish 
kuchi, havoning qarshilik kuchi va boshqalar tashqi kuchlardir. 
Bog`lanishdagi mexanik sistema nuqtalarga ta’sir etuvchi kuchlar bog`lanish 
reaksiya kuchlariga va aktiv kuchlarga ajratiladi. Bu kuchlar o`z navbatida ichki va 
tashqi kuchlar bo`lishi mumkin.  
Ichki kuchlarning asosiy xossalari bilan tanishamiz. 
1.  Dinamikaning uchinchi qonuniga ko`ra  mexanik sistemaning har qanday 
ikki  nuqtasi  (masalan 
2
1
M
va
M
  nuqtalari)  miqdor  jihatdan  teng  va  bir  chiziq 
bo`ylab  qarama-qarshi  tomonlarga  yo`nalgan 
1
i
F
  va 
i
F
2
  kuchlar  bilan  bir-biriga 
ta’sir etadi (186-rasm). Bu kuchlarning geometrik yig`indisi nolga teng: 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
1


i
i
F
F
 
Shu sababli N  ta  nuqtadan tashkil topgan  mexanik  sistema  uchun quyidagi 
munosabat o`rinli bo`ladi: 




N
k
i
k
i
F
R
1
0
             
 
 
  (19.1) 
demak,  sistema  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi  ichki  kuchlarning  geometrik  yig`indisi 
(bosh  vektori)  nolga  teng  bo`ladi.  Bundan  buyon  yig`indi  chegarasini  tushurib 
yozamiz va k ni 1 dan N gacha qiymatlarni oladi, deb hisoblaymiz. 
 
(19.1) ni biror Ox o`qqa proeksiyalasak  

 ,
0
i
k
X
        
 
 
 
  (19.2) 
ya’ni  ichki  kuchlarning  ixtiyoriy  o`qdagi  proeksiyalari  yig`indisi  nolga  teng 
bo`ladi. 
0 
h 
1
M
 
2
M
 
i
F
1

 
i
F
2

 

 
217 
2. 
1
i
F
  va 
i
F
2
  kuchlarning  biron  O  nuqtaga  nuqtaga  nisbatan  momentlarini 
topamiz. 186- rasmdan 
 
 
,
0
1


i
k
o
i
o
F
M
F
M
 
Bo`lishini  ko`ramiz,  chunki  ikkala  kuchning  yelkasi  bir  xil  bo`lib,  moment 
vektorlari qarama-qarshi yo`nalgan. U holda butun sistema uchun quyidagini yoza 
olamiz: 
 


,
i
k
o
i
o
F
M
M
         
 
 
 
  (19.3) 
Bunda 
i
o
M
  ichki  kuchlarning  O  markazga  nisbatan  bosh  momentini  ifodalaydi. 
(19.3) ni ixtiyoriy Ox o`qqa proeksiyalaymiz: 




.
0
i
k
ox
F
M
 
(19.3)  va  (19.4)  lardan  ko`ramizki,  ichki  kuchlarning  ixtiyoriy  nuqtaga  nisbatan 
xisoblangan  momentlarining  geometrik  yig`indisi  yoki  ixtiyoriy  o`qqa  nisbatan  
momentlarining yig`indisi nolga teng bo`ladi. 
 
(19.2)  va  (19.4)  ifodalar  fazoda  ixtiyoriy  vaziyatda  joylashgan  kuchlar 
sistemasining 
muvozanat 
tenglamalariga 
o`xshasa-da, 
ichki 
kuchlar 
muvozanatlashmaydi.  Chunki  ular  sistemaning  turli  nuqtalariga  qo`yilganligi 
tufayli  mazkur  kuchlar  ta’sirida  sistemaning  nuqtalari  bir-biriga  nisbatan 
harakatlanadi.  O`zgarmas  mexanik  sistema  yoki  qattiq  jism  qaralayotganda    ichki 
kuchlar muvozanatlashuvchi  kuchlar sistemasini tashkil etadi. 

 
218 
2. Mexanik sistema harakatining differensial tenglamalari 
 
Mexanik  sistema    N  ta  moddiy  nuqtalardan  tashkil  topgan  bo`lsin.  Bu 
sistemaning  ixtiyoriy 
k
M
  nuqtasini  olib,  massasini 
k
m
  bilan,  unga  ta’sir  etuvchi 
tashqi  kuchlar  hamda  ichki  kuchlarning  teng  ta’sir  etuvchilarini  mos  ravishda 
i
k
e
k
F
F ,
  bilan  belgilaymiz  (187-rasm).  U  holda  sistema  nuqtalari  harakatining 
differensial  tenglamalari  Nyutonning  ikkinchi  qonuniga  binoan  quyidagicha 
yoziladi: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


.
,
1 N
k
F
F
m
i
k
e
k
k
k




    (19.5) 
(19.5)  ni  Dekart  koordinata  o`qlariga  proeksiyalab  quyidagi  3N  ta 
tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz: 


1
.
;
;












k
Z
Z
z
m
Y
Y
y
m
X
X
x
m
i
k
e
k
k
k
i
k
e
k
k
k
i
k
e
k
k
k




 
Bu  tenglamalar  sistemasi  mexanik  sistema  harakatining  Dekart 
koordinata  o`qlaridagi  differensial  tenglamalari  deyiladi.  Bu  tenglamalarning 
o`ng  tomoni  umumiy  holda  t  vaqtga  hamda  sistemani  tashkil  qiluvchi  barcha 
nuqtalarning  koordinatalarining    vaqt  bo`yicha  hosilasiga  bog`liq  bo`ladi.  Bu 
tenglamalar  sistemasining,  umumiy  holda,  mexanik  sistema  hatto  bitta  nuqtadan 
tashkil  topganda  ham  aniq  yechimi  topilmagan.  Lekin  hozirgi  zamon  elektron