Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

 4.  O’qqa  nisbatan  inersiya  momenti.  Sistemaning    (qattiq  jismning  )    o’qqa 
nisbatan  masalan,  x  o’qiga  nisbatan  inersiya    momenti  deb  sistema  nuqtalari 
masalarining  shu    nuqtalardan  aylanish  o’qigacha  bo’lgan  masofalar  kvadratlari 
ko’paytmalari  yig’indisiga,  ya’ni   
2
i
i
i
h
m

  ga  aytiladi.  Agar  sitema  tutash 
to’ldirilgan  qattiq  jismdan    iborat  bo’lsa,  jism  elementar  zarrajasining  massasi  
dV

  ga  teng  bo’ladi  (

-jism  zichligi  ,  dv-  elementar  hajm  )  shuning    uchun  x 
o’qiga  nisbatan  inersiya  momenti  jismning  butun  hajmi  bo’yicha  olingan  hajm 
integrali orqali ifodalanadi,ya’ni                                                 





)
(
2
2
2
)
)(
,
,
(
V
xx
dxdydz
z
y
z
y
x
dV
h
J


 
    Agar  jism bir jinsli bo’lsa, (

=const)  yuqoridagi  formula quyidagi ko’rinishga 
keladi: 


v
xx
dV
h
J
2

, 
bu yerda  

v
dV
h
2
  hajmning  geometrik  inersiya momenti. 
              Agar    jism  qalinligi    b  ga  teng  bo’lgan  yupqa  plastinkadan  iborat  bo’lsa, 

bd
dv 
   (bu  yerda   

d
  plastinkaning elementar  yuzasi) bo’lib, plastinkaning  x 
o’qiga nisbatan  inersiy momenti quydagicha topiladi. 


v
xx
dl
h
J
2

, 
  bu  yerda   




b
-sirtning zichligi. 
Agar jism ko’ndalang kesm yuzasi 

  bo’lgan ingichka sterjndan iborat bo’lsin. U 
holda  elementar  hajmni   
dt
dv


    ko’rinishda  ifodalash  mumkin,  dl-  elementar 
uzunlik.  Bu  holda  sterjnning  x  o’qiga  nisbatat  inersiya    momenti  quydagicha 
hisoblanadi: 


v
xx
d
h
b
J


2
, 
bu yerda  




 - chiziqli zichlik. 
            Sistemaning    biror  x  o’qqa  nisbatan  inersiya  momentini  quydagicha  
korinishda  ham tasvirlash mumkin: 

 
241 
                                      
2
2
xx
i
i
i
xx
M
h
m
J




, 
bu yerda  M- butun sistema massasi, 
xx

 -miqdorga sistemaning  x o’qiga nisbatan 
inersiya  radiusi  deyiladi.   
xx

-  massasi  butun  sistema  massasiga  teng  bo’lgan 
shunday    nuqtagacha  bo’lgan,  masofa  bo’lib,  bu  nuqtaning  x  o’qiga  nisbatan 
inersiya momenti butun sistemaning x o’qiga nisbatan inersiya momentiga teng. 
          Yuqorida  tenglikdan: 
M
J
xx
xx


  . 
Ba’zi oddiy jismlarning inersiya momentlarini qaraymiz: 
1)  Bir  jinsli  ingichka  xalqa.  Xalqaning  massasi  M  va  radiusi  R  bo’lsin.  Xalqa 
markazidan xalqa tekisligiga perpendikulyar Cx o’qini o’tkazamiz (3-rasm). 
U holda xalqaning ixtiyoriy nuqtasi  
Uchun 
R
h
i

 va 
 





i
i
i
i
i
x
MR
R
m
h
m
J
2
2
2
                                  (14) 
    Xuddi shunday formulani yupqa dekartli silindrik qobiq uhun ham hosil qilish 
mumkin      
   2)  Bir  jinsli  doiraviy  pilastinka.  Plastinkanig  massasi  M,  radusi  R  bo’lsin. 
Plastinkani ingichka konsentrik xalqalarga ajratamiz (1-rasm). Eni 
i
r

 va radusi 
i
r
 
bo’lgan  halqaning  yuzi 
i
i
r
r 

2
va  massasi 
i
i
r
r
R
M



2
2
  bo’ladi.  U  holda  (14) 
formulaga  asosan  bu  xalqaning  plastinka  markazidan  uning  tekisligiga 
perpendikuliar   bo’lib   o’tuvchi Cx o’qqa nisbatan inersiya momenti 
2
2
)
2
(
i
i
i
r
r
r
R
M

 
ga  teng. 
             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bu miqdorlarni yig’ib  
0


i
r
 n da limitga  o’tsak plastinkaning inersuya momenti 
uchun quyidagi firmulani hosil qilamiz: 
                   
4
2
2
4
2
0
3
2
R
R
M
dr
r
R
M
J
R
l



 
C 
R 
1-rasm 
2-rasm 
R 
C 
i
r
 
i
r


 
242 
  va   demak    
2
2
1
MR
J
l

           (15) 
      Xuddi shunday formulani massasi M va radiusi R bo’lgan bir jinsli silindr  
uchun  ham hosil qilish mumkin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
   3. Bir  jinsli  ingichka sterjn. Sterjen massasi  M, uzunligi l bo’lsin  (2-rasm). 
Sterjnning  uning bir uchidan unga perpendikuliar bo’lib  o’tuvchi Ax o’qqa 
nisbatan momentini hisoblaymiz. 
Sterjnning   
i
h

   uzunlikdagi bo’lakchasining massasi 
i
h
l
M

  ga teng.        


i
i
i
x
h
m
J
2
   yoki     
i
i
i
x
h
h
l
M
J



2
 
bu  tenglikda 
0


i
h
   n da limitga o’tib quyidagi formulani hosil qilamiz 
                                 
3
3
0
2
l
l
M
dh
h
l
M
J
l
l



                                            (16) 
 
5.  Parallel  to’g’ri    chiziqlar  dastasiga    nisbatan  inersiya  momenti. 
Gyugens (Shteyner)  teoremasi   
              O’qqa 
nisbatan 
inersuya 
momentining  ta’rifidan  ko’rinib  turibdiki, 
o’qqa  nisbatan  inersiya    momenti  o’qning 
holatiga    bog’liq,  ta’ni  o’qning  holati 
o’zgarishi  bilan  inersiya  momentining 
qiymati  o’zgardi.  Shu  maqsad    bilan 
parallel to’g’ri chiziqlar dastasiga  nisbatan  
inersiya 
momentlari 
 
orasidagi  
bog’lanishni topamiz. 
            O’qlari    o’zaro  parallel  bo’lgan 
Cxyz 
va 
boshi 
sistema 
massalar  
markazida  bo’lgan    C
z
y
x



    koordinatalar 
sistemalarini 
 
plamiz 
(4-rasm). 
Sistemaning    x  o’qiga  nisbatan    inersiya 
momentini olamiz. 
                                





ш
i
i
i
i
i
i
xx
z
y
m
h
m
J
)
(
2
2
2
.  (1) 
x 
y 
z 
x
i
h
i
h
z
y
 
)
,
,
(
i
i
i
z
y
x
M
)
,
,
(
i
i
i
z
y
x
C
d 
4-rasm 
C 
x 

h

 

h
3-rasm 
x
 

 
243 
            Sistema  massalar  markazining  Oxyz  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan 
koordinatalari  
c
c
c
z
y
x
,
,
  bo’lsin. 
     U holda    
c
i
i
c
i
i
z
z
z
y
y
y




'
'
 
bu yerda    
'
'
'
,
,
i
i
i
z
y
x
   lar M  nuqtaning   C
z
y
x



  koordinatalar sistemasiga  nisbatan 
inersiya momenti. Bularni (1) tenglikka qo’yamiz: 


















i
c
i
c
i
i
i
c
c
i
ш
i
i
i
i
c
i
c
i
i
xx
z
z
y
y
m
z
y
m
z
y
m
z
z
y
y
m
J
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
'
'
2
2
2
2
2
'
2
'
 
             (2)    tenglikning    o’ng  tomonidagi  birinchi  qo’shiluvchi  sistemaning   
x
 
o’qqa nisbatan inersiya momentini ifodalaydi, ya’ni             



ш
i
i
i
xx
z
y
m
J
)
(
2
2
. 
Ikkinchi  qo’shiluvchini  qaraymiz: 
2
2
2
2
2
)
(
)
(
Md
m
z
y
z
y
m
i
i
c
c
с
с
i
i






 
bu    yerda  M-  butun  sistema  massasi,  d- 
x
  va 
x
    o’qlar  orasidagi    masofa.  Endi 
uchinchi  qo’shiluvchini qaraymiz. 
                                








i
i
i
c
i
i
i
c
c
с
c
с
i
i
z
m
z
y
m
y
z
z
y
y
m
)
(
'
'
 
bu  yerda                  






i
i
i
i
i
i
z
m
y
m
0
0
 
Shunday  qilib      
   
2
Md
J
J
xx
xx


.                                                      (3) 
(1)  tenglik  Gyugens  (Shteyner)  teiremasini ifodalaydi. 
    Teorema.  Sistemaning  biror    o’qqa  nisbatan  inersiya  momenti  shu  o’qqa 
parallel va sistema massalar markazidan  o’tuvchi o’qqa nisbatan inersiya momenti 
bilan butun sistema  massasining  o’qlar orasidagi masofa kvadratiga ko’payitmasi 
yig’indisiga teng. 
     Agar  
x
va
x


   o’qlarga  nisbatan inersiya radiuslarini kiritsak, u holda  
                                           
2
2
2
d
x
x
xx






                                                              (4) 
      (3)    yoki    (4)    tengliklardan    shunday  xulosa  kelib  chiqadiki,  parallel    to’g’ri  
chiziqlar  dastasiga    nisbatan  inersiya  momentlari  orasida      sistema    massalar  
markazidan o’tuvchi o’qqa nisbatan inersiya  momenti  eng kichik  bo’lar ekan. 
        Gyugens    teoremasidan  foydalanib,  parallel    to’g’ri    chiziqlar  dastasining 
birorta  o’qiga  nisbatan  inersiya  momenti  ma’lum  bo’lsa,  dastaning  ixtiyoriy  
o’qiga  nisbatan inersiya momentini  topish mumkin. 
        Faraz  qilaylik  dastaning  1 o’qiga nisbatan inersiya momenti  J
1
   bo’lsin, u 
holda     Gyugens   teoremasiga asosan: 
                       J
1
 =J
c
 +Md
2
 ,                                                              (5) 
  bu   yerda  
c
J
 -1 o’qqa  parallel  va sistema  markazidan o’tuvchi o’qqa nisbatan 
inersiya  momenti,  d
1
  –massalar  markazidan  o’tuvchi  o’q    bilan    1  o’q  orasidagi 
O 

 
244 
masofa.  1  o’qqa    parallel    2  o’qqa  nisbatan  inersiya    momenti  uchun    Gyugens 
teoremasini yizamiz: 
                                                J
1
 =J
c
 +M
2
2
d
                                                           (6) 
(5)  va (6)  tengliklardan quyidagi munosabatni hosil qilamiz: 
                                            J
1
 =J
c
 +M


2
1
2
2
d
d 
                                                   (7) 
        Gyugens    teoremasi    nafaqat  o’qqa    nisbatan  inersiya  momenti    balki 
barcha ikkinchi darajali momentlar o’rinli bo’ladi, ya’ni  
                            
2
2
2
c
i
i
i
i
i
i
Mx
x
m
x
m





  va h.k.                              
                            
c
c
i
i
i
i
i
i
i
i
z
My
z
y
m
z
y
m






  va h.k. 
                              
)
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
c
c
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
y
Mx
z
y
x
m
z
y
x
m













. 
      
6. Bir  nuqtadan chiquvchi to’g’ri chiziqlar dastasiga  nisbatan inersiya 
momenti 
                Sistemaning    O  nuqtadan  o’tuvchi  l  o’qqa  nisbatan  inersiya  momentini 
topamiz.  l    o’qning  Oxyz    koordinatalar  sistemasi  o’qlariga    nisbatan  yo’nalishi  
uning yo’naltiruvchi  kosinuslari  



,
,
  lar bilan aniqlanadi. Albatta  sistemaning 
l  o’qiga  nisbatan  inersiya    momenti  yo’naltiruvchikosinuslarning  funksiyasi 
bo’ladi. O’qqa nisbatan inersiya mometining ta’rifiga asosan: 


i
i
i
l
h
m
J
2
 
bu  yerda  h
i
 -m
i
   massali  nuqtadan l o’qigacha bo’lgan masofa. M
i
  nuqtaning 
O nuqtaga  nisbatan radiusi  
i
i
r
M
O



  hamda  
k
z
j
y
i
x
r
i
i
i







. 
U holda              
i
i
i
i
i
r
z
y
x
l
r




cos
0






   
 
                                                         
 
 
 
 
 
 
 
 
                         
  
 
 
bu yerda 
0
l
va
r
i
i




    lar orasida burchak.  
i
i
i
r
h

sin

  bo’lgani uchun  
x 
y 
o 
l 
i
r

,
,
(
i
i
i
i
z
y
x
M
z 
i
h
5-rasm 

 
245 
                 









ш
i
i
i
i
ш
i
i
i
i
i
i
l
r
r
m
r
m
h
m
J
2
2
2
2
2
)
cos
(
sin


  . 
           
1
2
2
2






    munosabatdan  fiydalanib  quyidagi  munosabatni  hosil 
qilamiz:  
                   











ш
i
i
i
i
i
i
i
l
z
y
x
z
y
x
m
J
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
)(
(






  
yoki   












ш
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
l
y
z
z
y
y
x
x
y
x
z
z
y
m
J







2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
    
Endi  quyidagi belgilashlarni kiritamiz:              
 










i
i
i
i
i
yz
i
i
i
yy
i
i
i
i
i
yz
i
i
i
xx
z
x
m
J
x
z
m
J
z
y
m
J
z
y
m
J
;
);
(
;
);
(
2
2
2
2
 





i
i
i
i
xy
i
i
i
i
xx
y
x
m
J
y
x
m
J
;
)
(
2
2
 
U holda inersiya momenti uchun quydagi ifodani hosil qilamiz 
.
2
2
2
2
2
2






xy
xz
yz
zz
yy
xx
l
J
J
J
J
J
J
J






                              (8) 
           7.Inersiya tenzor. Inersiya ellipsoidi. 
(8)  tenglikdan  O  nuqtadan  o’tuvchi  ixtiyoriy  o’qqa  nisbatan  inersiya  momentini 
topish  uchun  oltita 
,
,
yy
xx
J
J
xy
zx
yz
zz
J
J
J
J
,
,
,
  nuqtalarni  va  o’qning  yo’naltiruvchi 
kosinuslar 



,
,
 larni bilishi yetarli. 
          Bu miqdorlarni quydagi simmetrik matrisa ko’rinishida yozish mumkin:  
                            



















zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J )
(
                                                   (9) 
    (J)  matiritsaga  inersiya  tenzori  deyiladi.  (9)  matiritsaning  diaganal  bo’ylab 
joylashgan elementlari o’qlarga nisbatini inersiya momentlarini ifodalaydi , qolgan 
elemetlari inersiyalar ko’paytmasining – ishora bilan olingan ifodalari. 
       (J)  tenzori  biror 
a

  vektorga  ta’sir  etirsak,  proeksiyalar 
a

    vektor 
komponentalarining  chioziqli  funksiyalari  bilan 
b

  vektorni  beradi. 
b

vektor 
a

vektorning chiziqli vektor – funksiyasini ifodalaydi. Bu operat siya 
a

 vektorni (J) 
tenzorga ko’paytmasini ifodalaydi va quydagicha yoziladi: 
  
).
(J
a
b



  
b

 vektorning proyeksiyalari quyidagicha topiladi: 
;
z
xz
y
xy
x
xx
x
a
J
a
J
a
J
b



 
.
;
z
zz
y
zy
x
zx
z
z
zz
y
zy
x
yx
y
a
J
a
J
a
J
b
a
J
a
J
a
J
b








 
     (J) tenzordan foydalanib, (8) formulani quydagicha almashtirish mumkin. l  
o’qining 
0
l

 birlik vektorni olamiz: 
;
0
k
j
i
l










 
uholda  
   
.
)
(
)
(
)
(
)
(
0
k
J
J
J
j
J
J
J
i
J
J
J
y
l
zz
zy
xz
yz
yy
yx
xz
xy
xx























  
   
)
(
0
J
l
 vektorni 
0
l

 vektorga skaliar ko’paytiramiz: 

 
246 
.
2
2
2
)
(
2
2
2
0
0






xy
zx
yz
zz
yy
xx
J
J
J
J
Y
J
l
y
l








                            (10) 
   
;
yx
xy
J
J

   
;
zy
yz
J
J

    
xz
zx
J
J

 bo’lgani uchun (10) ifoda 



,
,
 larga nisbatan  
kvadratik formani ifodalaydi. 
    l  o’qini  ustida  ixtiyoriy  A  nuqtani  olamiz,  u  holda  A  nuqtaning  koordinatalari 
quyidagicha bo’ladi: 
        
,

R
x 
  
,

R
y 
  
,

R
z 
                      OA=R. 
    Bulardan 



,
,
larning qiymatlrini (8) ifodaga qo’yamiz va quyidagi ifodani 
hosil qilamiz:  
.
2
2
2
2
2
2
2
xy
J
zx
Y
yz
J
Z
J
Y
J
x
J
R
J
xy
zx
yz
zz
yy
xx
l






                              (11) 
 R ni shunday tanlaymizki       
2
2
k
R
J
l

 
yoki 
,
l
J
k
R 
         (12) 
 bu yerda k o’zgarmas miqdor. U 
holda  
      
.
2
2
2
2
2
2
2
k
xy
J
zx
J
yz
J
z
J
y
J
x
J
xy
zx
yz
zz
yy
xx






(13)  
         Demak A nuqta geometirik o’rni 
(13)  tenglama  bilan  aniqlanadigan  2- 
tartibli  sirtni  ifodalaydi. 
l
J
  musbat 
aniqlangan miqdor va nolga teng emas shuning uchun R chekli va demak (13) sirt 
cheksi  uzoqlashgan  nuqtaga  ega  emas.  Demak  bu  sirt  ellipsoid  bo’ladi.  Bu 
elepsoidga  O  nuqtaga  nisbatan  inersiya  illipsoidi  deyiladi. 
2
k
  ning  har  hil 
qiymatlari uchun o’xshash ellipsoidlar hosil bo’ladi. Shunday qilib jismning har bir 
O  nuqtasiga  to’la  aniqlangan  bitta  ellipsoid  mos  keladi.  Agar  O  nuqta  jismning 
massalar  markazi  bilan  ustma-ust  tushsa,  u  holda  bu  nuqta  uchun  qurulgann 
ellipsoidga  markaziy  ellipsoid  deyiladi.  Inersiy  ellipsoidining  bosh  o’qlariga  O 
nuqta uchun jismning bosh inersiyasi o’qlari deyiladi. 
                       
 
z 
y 
x 
0 
R 
A(x,y,z) 
6-
rasm 

 
247