Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

 
 
Demak,  mexanik  sistemaning  biror  qo`zg`almas  o`qqa  nisbatan  kinetik 
momentidan    vaqt  bo`yicha  olingan    hosila  sistema  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi  
tashqi kuchlaning shu o`qqa nisbatan momentlarining yig`indisiga teng. 
Sistema  kinetik  momentining  o`zgarishi  haqidagi  teoremadan  qattiq 
jismning  aylanma  harakatini  o`rganishda,  giroskoplar  nazariyasida  keng 
foydalaniladi. 
Bu  teoremaning  afzalligi  shundan  iboratki,  sistema  harakat  miqdorining  
o`zgarishida  oid  teoremadagidek  ,  oldindan  noma’lum  bo`lgan    ichki  kuchlar 
qatnashmaydi. 
3.Sistema kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema 
 
Mexanik  sistema  N  ta  moddiy  nuqtalardan  tashkil  topgan  bo`lsin.  
Sistemaning  har  bir  nuqtasiga    aktiv  kuchlardan  tashqari,  bog`lanish  reaksiya 
kuchlarini  ham  qo`yamiz  va  sistema  nuqtalariga  qo`yilgan  kuchlarni    ichki  va 
tashqi kuchlardan iborat ikki guruhga ajratamiz. Sistemaning 
k
M
 nuqtasiga  ta’sir 
etayotgan  tashqi  kuchlar  hamda  ichki    kuchlarning  teng  ta’sir  etuvchilari    mos 
z 
y 
x 
o 
e
M
0
 
k
r
 
0
M
 
i
k
F
 
e
k
F
 
k
k
v
m

 

 
231 
ravishda 
i
k
e
k
F
F ,
 
bo`lsin.  U  holda  sistemaning  har  bir  nuqtasini 
i
k
e
k
F
va
F
 
kuchlar 
ta’siridagi  erkin  nuqta  deb  qarash  mumkin.  Binobarin,  (21.100)  ga  asosan 
sistemaning har bir nuqtasi kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teoremaning  
differensialli ifodasi quyidagicha yoziladi: 


,
,.....,
2
,
1
,
2
2
N
k
dA
dA
v
m
d
i
k
e
k
k
k











     
       (21.107) 
Bunda, 
e
k
dA
  va 
i
k
dA
  –  mos  ravishda,  sistema  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi  tashqi    va 
ichki kuchlarning elementar ishlari. (21.107) ifodani hadlab qo`shamiz: 













i
k
e
k
k
k
dA
dA
v
m
d
2
2
 
yoki 
,




i
k
e
k
dA
dA
dT
 
Bunda  – 


2
2
k
k
v
m
T
  sistemaning  kinetik  energiyasi.  (21.108)  tenglama  sistema 
kinetik  energiyasining  o`zgarishi  haqidagi  teoremaning  differensialli  ifodasidi: 
sistema kinetik energiyasining differensiali sistemaga ta’sir etuvchi tashqi va ichki 
kuchlar elementar ishlarining yig`indisiga teng. 
 
(21.108)  ni  integrallab  sistema  nuqtalarining  chekli  ko`chishlarida  kinetik 
energiyasining o`zgarishiga oid teoremaga ega bo`lamiz. 





i
k
e
k
A
A
T
T
0
  
 
 
 
        (21.109) 
Bunda: 
0
T
  va 
T
–mos  ravishda  sistemaning  sistemaning  boshlang`ich  va 
istalgan paytdagi kinetik energiyalari; 
e
k
A
–sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi 
kuchlarning ishi; 
i
k
A
–ichki kuchlatning chekli qo`shishdagi ishlari. 
(21.109)  munosabat  sistema  kinetik  energiyasining  o`zgarishi  haqidagi 
teoremani  ifodalaydi:  sistemaning  holatdan  ikkinchi  holatga  ko`chishida  kinetik 
energiyasining  o`zgarishi  sistema  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi  barcha  tashqi  va  ichki 
kuchlarning mos ko`chishlardagi ishlarining yig`indisiga teng. 
(21.108)  va  (21.109)  dan  ko`ramizki  sistema  dinamikasining  boshqa 
umumiy  teoremalarida  farqli  ravishda,  sistema  kinetik  energiyasining  o`zgarishi 
haqidagi teoremada ichki kuchlar ham qatnashadi. 

 
232 
O`zgarmas  mexanik  sistema  uchun  (yoki  absolyut  qattiq  jism  uchun)  ichki 
kuchlar  bajargan  ishlarning  yig`indisi  nolga  teng  bo`ladi.  Bu  holda  (21.109) 
quyidagicha yoziladi 
.
0



e
k
A
T
T
  
 
 
 
        (21.110) 
Ya’ni  o`zgarmas  mexanik  sistema  (yoki  absolyut  qattiq  jism)  bir  holatdan 
ikkinchi  holatga  ko`chishida  kinetik  energiyasining  o`zgarishi  mazkur  sistema 
(yoki  qattiq  jism)  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi  barcha  tashqi  kuchlarning  mos 
ko`chishlaridagi ishlarining yig`indisiga teng. 
 
Agar  mexanik  sistemani  tashkil  qiluvchi  nuqtalar  qo`zg`almas  silliq 
sirtlar  ustida  harakatlansa,  bog`lanish  reaksiya  kuchlari  mazkur  sirtlarga 
o`tkazilgan  normal  bo`yicha  yo`nalgani  uchun  sistema  nuqtalarining  har  qanday 
ko`chishida bog`lanish reaksiya kuchlarining ishi nolga teng bo`ladi va (21.109) da 
bog`lanish reaksiya kuchlari qatnashmaydi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
233 
Nazorat savollari. 
 
1.  Sitemaning harakat miqdori deb nimaga aytiladi? 
2.  Sistemaning kinetik momenti deb nimaga aytiladi? 
3.  Sistemaning kinetik energiyasi nimaga teng? 
4.  Tashqi va ichki kuchlarning bajargan ishi nimaga teng? 
5.  Sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema nima deydi? 
6.  Sistema kinetik momentining o`zgarishi haqidagi teoremani ta`riflang? 
7.  Sistema kinetik energiyasining o`zgarishi haqidagi teorema qanday 
ta`riflanadi? 
 
Xulosa 
Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremalari harakat tenglamalarining 
bevosita natijasi bo`lib, sistemaga ta`sir etuvchi  kuchlar bilan dinamik 
miqdorlar orasidagi bog`lanishni aniqlab beradi. 
 
Sistema dinamikasining umumiy teoremalaridan ba`zi hollarda harakatning 
birinchi integrallarini aniqlash mumkin. 
 
Ushbu inegrallar sistemaning harakatini aniqlashda yetakchi rol o`ynaydi,  
va demak, amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyetga ega. 
 
 

 
234 
1.1. Mavzuning texnologik modeli. 
 
 
 
 
 
 
19- mavzu 
Massalar geometriyasi. Inersiya momentlarining umumiy 
formulalari. 
  
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 ta 
O’quv mashg’ulot 
shakli 
Ma’ruza (axborotli dars) 
 
Mavzu   rejasi 
 
1.Sistemaning massalar markazi va uning koordinatalari. 
2. Sistemaning inersiya momentlari.Inersiya 
momentlarining umumiy formulalari. 
3.Jismning parallel o`qlarga nisbatan inersiya 
momentlarini hisoblash. Gyugens-Shtayner teoremasi.  
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi
 
Absolyut qattiq jism dinamikasida katta ahamiyatga ega 
bo`lgan massalar geometriyasi haqida ma`lumot berish.   
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Sistemaning massalar markazi 
haqida tushuncha berish. 
 Sistemaning massalar markazi va uning 
koordinatalarini topish haqida 
tushunchaga ega.  
Sistemaning inersiya momentlari 
haqida tushuncha berish.  
Sistemaning  inersiya  momentlari  haqida 
yaxshi bilimga ega. 
Gyugens-Shtayner teoremasini 
isbotlab berish. 
Gyugens-Shtayner teoremasini eslab 
qoladi.  
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,mokpyuter saydlari,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vositalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar, blis-so’rov 

 
235 
1.2. “Massalar geometriyasi. Inersiya momentlarining umumiy formulalari ” 
mavzusining texnologik  xaritasi. 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
mazmuni 
 
1-
Mavzuga 
kirish 
bosqich 
(20min) 
 
1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati natijalarini 
aytadi. 
1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga 
ko`ra tinglovchilarning nimalarda 
adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar 
beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
  Tinglaydilar  
                                                                                                                             
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Tinglaydilar. 
 
UMK ga qarydilar 
 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha 
va iboralarni muhokama 
qiladilar 
 
 
3- 
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
 
 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha 
olingan bilimlarni qayerda ishlatish 
mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar. 
 
 
 
                                              19-Ma’ruza 

 
236 
                     Massalar geometriyasi. Inersiya momentlarining 
                                            umimiy formulalari. 
Reja: 
4.  Sistemaning  massalar markazi va uning umumiy formulalari.   
5.  Sistemaning inersiya momentlari. Inersiya momentlarining umumiy 
formulalari.  
6.  Jismning parallel o`qlarga nisbatan inersiya momemtlarini hisoblash. 
Gyugens-Shtayner teoremasi.  
           
  Adabiyotlar: [1], 128-147 sah, [5], 333-352 sah.  
Tayanch iboralar: 
 
Mexanik sistema, massalar markazi, inersiya momentlari, birinchi va ikkinchi 
darajali inersiya momentlari, o`qqa nisbatan inersiya momenti.  
                                             Belgilar: 
  MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
                                         Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –           ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga –      ball 
  Har bir javobni to`ldirishga-      ball 
 
 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 
Mavzuni jonlantirish uchun blis- so`rov savollari 
 
1.Mexanik sistema nima? 
2.Absolyut qattiq jism deb nimaga aytiladi? 
3.Massalar markazi qanday aniqlanadi? 
4.Sistemaning inersiya momentlari deb nimaga aytiladi? 
5.O’qqa nisbatan inersiya momenti qanday aniqlanadi? 
 

 
237 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
Mexanik sistema. 
 
 
2 
 Absolyut qattiq jism. 
 
 
3 
 Sistemaning inersiya momentlari. 
 
 
4 
 Birinchi darajali momentlar. 
 
 
5 
 Ikkinchi darajali momentlar. 
 
 
6 
 O`qqa nisbatan inersiya momenti. 
 
 
7 
 Qattiq jismning inersiya momenti. 
 
 
8 
 Gyugens-Shteyner teoremasi.  
 
 
9 
   
 
 
10 
  
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
 
+ - Yangi ma’lumot.  
 
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
 
? – tushunarsiz,  
 
 
 
 

 
238 
Mavzu: Massalar  geometriyasi 
 
Tayanch iboralari: massa, readus-vektor, absolyut qattiq jism, statik 
moment, inersiya momenti, inersiya radiusi, inersiya tenzori vainertsiya  ellipoidi. 
                                               
Reja 
1.  Massalar taqsimoti; 
2.  Birinchi   darajali momentlar; 
3.  Ikkinchi darajali momentlar; 
4.  O’qqa nisbatan inersiya momenti; 
5.  Parallel to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya momenti; 
6.  Bir nuqtadan chiquvchi to’g’ri chiziqlar dastasiga nisbatan inersiya 
mopmenti;   
7.  Inersiya tenzori. Inersiya ellipsoidi.   
         
1.  Massalar  taqsimoti.  Absolyut  qattiq  jism  dinamikasida    massalar 
taqsimoti  muhum  ahamiyatga  ega.  Massalar  taqsimotini  xarakterlovchi  kattalikka 
moment deyiladi. 
 Moment  sistema  nuqtalari  massalarini  ular  koordinatalarining  bir  jinsli 
funksiyalari  ko’payitmalari  yig’indisini  ifodalaydi,  ya’ni   

i
i
i
i
i
z
y
x
m



   
ko’rinishda  bo’ladi. 






n
    ga  moment  darajasi  deyiladi.  Agar  sistema 
massasi  uzluksiz  taqsimlangan  va  jism  zichligi   

    koordinatalarning    bir    jinsli 
funksiyasi bo’lsa, moment  hajm  integral ko’rinishida  ifodalanadi, ya’ni  

)
(
)
,
,
(
V
dxdydz
z
y
x
z
y
x




 
     Agar  jism bir  jinsli bo’lsa  ya’ni jismning   

  zichligi   koordinatalardan  
bog’liq  bo’lmasa , moment quydagi ko’rinishda ifodalanadi: 

)
(V
dxdydz
z
y
x




. 
  Bu  hplda  moment    zichlikning    faqat  koordinatalarning  funksiyasidan    hajm 
bo’yicha  olingan      integralning    ko’paytmasini  ifodalaydi.  Bu  integral    geometrik  
miqdor bo’lgani  uchun n-darajali geometrik  moment  deyiladi. Shunday  qilib bir  
jisnsli  bolgan  holda    moment  zichlik  bilan  geometrik    moment  ko’payitmasiga 
teng. 
             Texnikada  odatda  birinchi  va  ikkinchi    darajali  momentlar  kuzatiladi, 
yuqori darajali momentlar mustahkamlik  nazariyasida ba’zan qo’laniladi. 
              
2. Birinchi  darajali  momentlar.   
i
i
i
r
m

  (
i
i
m
r 
 massalar  zarrachaning  radius 
–vektor)  ko’rinishda  ifodalangan  miqdorlarga  statik  momentlar  yoki  birinchi 
darajali  momrntlar  deyiladi.Bu    ifodaga  sistemaning  O  markazga  nisbatan  statik 
momenti deyiladi. Biz ma’lumki   

 
239 
c
i
i
i
r
M
r
m


 
 bu    yerda    M    butun  sistemaning    massasi, 
c
r
  -massalar  markazining  radius-
vektori.  Agar    O  markaz  massalar  markazi  bilan  ustma-ust  tushsa, 
i
i
i
r
m

  statik 
moment nolga teng bo’ladi. 
       Statik  momentni quyidagi ko’rinishda yozamiz: 
k
z
m
j
y
m
i
x
m
r
m
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i







. 
        
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
m
y
m
x
m



,
,
      miqdorlar    mos  ravishda  yz,  zx,  xy    tekisliklariga 
nisbatan statik momentini ifodalaydi. 
c
i
i
i
c
i
i
i
c
i
i
i
Mz
z
m
My
y
m
Mx
x
m






,
,
, 
bu  yerda  
c
c
c
z
y
x
,
,
 lar   massalar   markazining  koordinatalari. Statik   momentning 
o’lchavi  massa  o’lchovi  bilan  uzluksiz  o’lchovli  ko’payitmasiga  teng.  Agar  O 
markaz  sistema    massalar    markazi  bilan  ustma  –ust  tushsa,  koordinatalar 
tekisliklariga nisbatan statik momentlar nolga teng bo’ladi. 
              
3.  Ikkinchi  darajali  momentlar.  Quyidagi  ko’rinishdagi      miqdorlarga    ikkinchi 
darajali  momentlar deyiladi: 
            
       
        
2
2
2
,
,
i
i
i
xy
i
i
i
zx
i
i
i
yz
z
m
J
y
m
J
x
m
J






     ; 
                                  
   
i
i
i
i
xy
i
i
i
i
zx
i
i
i
i
yz
y
x
m
J
x
z
m
J
z
y
m
J






,
,
 ; 
)
(
),
(
),
(
2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
zz
i
i
i
i
yy
i
i
i
i
xx
y
x
m
J
x
z
m
J
z
y
m
J









  ;                                                                                                           
,
)
(
2
2
2
2
0
i
i
i
i
i
i
i
i
r
m
x
z
y
m
J






 
     Ulardan  birinchi  uchtasi  mos  ravishda  yz,  zx,  xy    tekisliklariga  nisbatan  
inersiya  momentlari,  ikkinchi  uchtasi  markazdan  qochma  momentlar  yoki 
inersiyalar ko’paytmasini,  uchinchi   uchtasi  mos  ravishda  x,y,z o’qlariga  nisbatan 
inersiya  momentlarini  va  oxirgisi    O  nuqtaga  nisbatan  inersiya  momentini 
ifodalaydi. 
        1)Ikkinchi    darajali  momentning  o’lchovi  massa  o’lchovi  bilan  uzunlik 
o’lchovi ko’paytmasiga, teng. Bu miqdorning o’lchov  birligi: SI sistemasida kg m
2
 
texnik o’lchov birliklar sistemasida 1kg m sek
2
 . 
         2)  Uchta    o’zaro  perpendikulyar  tekisliklarga  nisbatan  inersiya    momentlari 
yig’indisi markazga nisbatan inersiya momenttiga teng, ya’ni 
0
J
J
J
J
xy
zx
yz



. 
           3)Uchta  o’zaro  perpendikuliar  o’qlarga  nisbatan  inersiya    momentlari 
yig’indisi  markazga nisbatan inersiya momentining ikkilanganiga teng, ya’ni    
 
0
2J
J
J
J
zz
yy
xx



. 

 
240 
            4)Ikkita  o’qqa  nisbatan  inersiya  momentlari  yig’indisi  uchunchisidan 
hamma vaqt katta, ya’ni 
yy
zz
xx
xx
yy
zz
zz
yy
xx
J
J
J
J
J
J
J
J
J






,
,
 
Haqiqatan ham  
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
m
y
x
m
x
z
m
z
y
m










  , 
bundan   
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
m
x
z
m
z
y
m








    va h.k.