Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

x 


k
k
k
k
z
y
x
M
,
,
 
i
k
F

 
e
k
F

 
k
r
 
0 
z 
y 

 
219 
hisoblash  mashinalarni  qo`llab  bu  tenglamalarning  taqribiy    yechimini  juda  katta 
aniqlik bilan topish mumkin. 
Ko`pincha (19.6) tenglamalarda qatnashuvchi ichki kuchlar ham noma’lum 
bo`ladi, shu  sababli masalani yechish murakkablashadi. 
3. Bog`lanishdagi mexanik sistema harakatining differensial tenglamalari 
Agar  sistema  nuqtalariga  bog`lanishlar  qo`yilgan  bo`lsa,  u  holda 
bog`lanishlardan  bo`shatish  haqidagi  aksiomaga  ko`ra,  ta’sir  etayotgan   
k
F
  aktiv 
kuchlar  qatoriga 
k
N
  bog`lanish  reaksiya  kuchlarini  ham  qo`shish  kerak.  Natijada 
mexanik  sistemani 
k
F
  aktiv  kuchlar  va 
k
N
  reaksiya  kuchlari  ta’siridagi  erkin 
mexanik  sistema  deb  qaraladi.  Bunday  sistema  harakatning  differensial 
tenglamalari Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan quyidagicha yoziladi: 
,
const
r
c

 
ya’ni sistema harakatlanganda sistemaning massalar markazi tinch holatda 
qoladi. 
Faraz  qilaylik,  sistemaga  ta’sir  etuvchi  tashqi  kuchlarning  bosh  vektori 
noldan farqli bo`lib, uning biror o`qdagi proeksiyasi nolga teng bo`lsin: 
.
0


e
e
x
X
R
 
U holda (21.4) tenglamalarning birinchisidan 
const
x
x
c
c





0
 
kelib chiqadi. 
Demak,  sistemaga  ta’sir  etuvchi  tashqi  kuchlarning  biror  o`qdagi 
proeksiyalarining  algebraik  yig`indisi  nolga  teng  bo`lsa  ,  sistema  massalar  
markazi  tezligining  shu  o`qdagi  proeksiyasi  o`zgarmas  bo`ladi.  Xususan,  agar 
boshlang`ich  paytda 
0


cxo
c
v
x
  bo`lsa,  sistemaning  harakati  davomida 
0

cx
v
 
bo`ladi,  ya’ni  bu  holda  sistema  massalar  markazining  koordinatasi 
c
x
  o`zgarmay 
qoladi: 
.
const
x
x
co
c

 

 
220 
Olingan  natijalar  sistema  massalar  markazi  harakatining  saqlanish 
qonunini ifodalaydi. 
Sistema  massalar  markazi  harakatining  saqlanish  qonunini  qo`llashga  oid 
bir necha misollar keltiramiz. 
1.  Havoning  qarshiligini  hisobga  olmay,  gorizontga  nisbatan  qiyalatib  
0
v
  boshlang`ich  tezlik  bilan  otilgan  to`p  o`qining  og`irlik  kuchi  ta’siridagi 
harakatini  tekshiramiz.  O`q  uchib  ketayotganda  havoda    yorilsa,  uning  bo`laklari 
turli  tomonga  uchib  ketadi,  lekin  bo`laklarning  birortasi  yerga  borib  tushguncha 
ularning  massalar  markazi  ilgarigi  harakatini  davom  ettiradi.  Bo`lakchalardan 
birortasi yerga tushgandan so`ng, sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarga Yerning  
reaksiya  kuchi  ham  qo`shilib,  o`q  massalar  markazining  harakatini  o`zgartiradi. 
O`q yorilganda hosil bo`ladigan kuchlar mohiyati bo`yicha ichki kuchlardan iborat  
bo`lgani uchun ular o`q massalar markazining harakatini o`zgartira olmaydi. 
2.  Absolyut  silliq  gorizontal  tekislik    ustida  turgan  odam  o`zicha 
gorizontal    yo`nalishda  harakat  qila  olmaydi.  Chunki  odamning  og`irligi    va 
gorizontal  silliq  tekislikning  normal  reaksiyasi  tashqi  kuchlar  bo`lib,  bu  ikkala 
kuch  vertikal    yo`nalgani  sababli  ularning  gorizontal    o`qdagi  proeksiyalari 
yig`indisi nolga teng. Agar odam boshlang`ich paytda tich holatda bo`lsa, massalar 
markazi  harakatining  saqlanish  qonunida  ko`ra  u,  o`z  gavdasining  massa 
markaziga gorizontal ko`chish bera olmaydi. Masalan, odam o`ng oyog`ini oldinga 
ko`targanda  uning  chap  oyog`i  orqaga  suriladi  va  massalar  markazi  o`z  joyida 
qoladi.  Odamning  oyoq  kiyimi  bilan  gorizontal  tekislik  orasida  sirpanishdagi 
ishqalanish  mavjud  bo`lganda,  odam  chap  oyog`ining  orqaga  ketishiga  qarshilik 
ko`rsatadigan  va  oldinga  yo`nalgan  ishqalanish  kuchi  ta’sir  etadi.  Bunda 
ishqalanish  kuchi  tashqi  kuch  bo`lib,  odamning  oldinga  harakat  qilishiga  imkon 
beradi.   
3.  Parovoz,  avtomobil  va  shunga  o`xshash  sistemalarning    gorizontal 
yo`nalishdagi  harakatini  ham shunday tushuntirish  mumkin. Dvigateldagi  gazning  
porshenga  bosimi  avtomobilga  nisbatan  ichki  kuch  bo`lganligi  tufayli 
avtomobilning  massalar  markazini  harakatlantira  olmaydi.  Dvigateldan  yetakchi 

 
221 
g`ildiraklarga aylantiruvchi moment uzatilishi hisobiga yetakchi g`ildirak aylanadi. 
Avtomobil  o`ngga  harakatlanganda  yetakchi  g`ildirakning  tekislikka  tegib  nuqtasi 
chapga siljishga  intiladi. U  holda  g`ildirakka o`ng tomonga  yo`nalgan  ishqalanish 
kuchi  ta’sir  etadi.  Bu  kuch  tashqi  kuch  bo`lib,  avtomobil  massalar  markazining 
o`ng  tomonga  siljishiga  imkon  beradi.  Agar  ishqalanish  kuchi  bo`lmasa,  yoki  bu 
kuch yetaklanuvchi g`ildirakning qarshiligini yenga olmasa, avtomobil harakatlana 
olmaydi. Bunda yetakchi g`ildirak aylansa-da avtomobil joyidan qo`zg`almaydi. 
Izoh.    Yetaklanuvchi  g`ildirakka  aylantiruvchi  moment  ta’sir  qilmasdan, 
balki  uning  o`qiga  qo`yilgan  kuch  ta’sir  qiladi.  Bu  kuch  ta’sirida  hamma 
g`ildiraklar  va  ular  bilan  birga  g`ildirakning  tekislikka  tegib  turgan  nuqtasi  ham 
avtomobil  bilan  birgalikda  o`ng  tomonga  siljiydi.  Bunda  g`ildirakka  orqaga 
yo`nalgan    ishqalanish  kuchi  ta’sir  etadi.  Bu  kuch  tashqi  kuch  bo`lib,  g`ildirak 
harakatini to`xtatishga intiladi.  

 
222 
 
 
 
 
 
Nazorat savollari 
 
 
1.  Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 
2.  Bog’lanishlar nima? Ularning qanday turlarini bilasiz? 
3.  Golonom va nogolonom sistemalar deb nimaga aytiladi? 
4.  Ichki va tashqi kuchlar kuchlar ta’rifini  bering. 
5.  Sistemaning harakat miqdori nimaga teng? 
6.  Sistemaning kinetik momenti nimaga teng? 
7.  Sistemaning kinetik energiyasi qanday ifodalanadi? 
8.  Sistema harakatining differensiyal tenglamalari qanday yoziladi? 
 
 
Xulosa 
 
 
 
Mexanik sistemaning harakati tashqi va ichki kuchlarga bog’liq bo’ladi. 
             Har qanday ichki kuchga qarama-qarshi yo’nalgan boshqa kuch mos keladi 
(miqdor jihatdan o’zaro teng). Demak: 
             1)Barcha ichki kuchlarning bosh vektori nolga teng. 
             2)Barcha ichki kuchlarning ixtiyoriy markazga va koordinata o’qlariga 
nisbatan bosh momentlari nolga teng bo’ladi. 
             Sistemaning massalar markazi tushunchasi og’irlik markaziga nisbatan 
umumiyroq tushunchadir. O’girlik markazi tushunchasi Yerning tortish kuchi 
maydonida joylashgan mexanik sistemaga nisbatan o’rinlidir.     
 
 

 
223 
1.1. Mavzuning texnologik modeli. 
 
 
 
18- mavzu 
Sistema dinamikasining umumiy teoremalari.    
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (axborotli dars) 
Mavzu   rejasi 
 
6.  Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema. 
7.  Sistema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teorema. 
8.  Sistema kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi 
teorema. 
  
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi
 
Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremalari va uning 
nazariy hamda amaliy  ahamiyati haqida tushuncha berish.  
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Sistema harakat miqdorining 
o’zgarishi haqida tushunch berish. 
 Sistemaning harakat miqdori haqida va 
uning o’zgarish qonunlari to’g’risida 
yetarlibilimga ega.  
Sistema kinetik momentining 
o’zgarishi haqidagi teoremaga 
tushuncha berish.  
Sistemaning  kinetik  momenti  va  uning 
o’zgarishi haqida tushunchaga ega. 
Sistema kinetik energiyasining 
o’zgarishi haqida tushuncha berish. 
Sistemaning kinetik energiyasi to’risida 
Kyoning teoremasini eslab qoladi. Kinetik  
energiyaning o’zgarishi haqidagi teorema 
haqida tushunchaga ega.  
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 

 
224 
1.2. “Sistema dinamikasining umumiy teoremalari” mavzusining texnologik  
xaritasi. 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
Mazmuni 
 
1-
Mavzuga 
kirish 
bosqich 
(20min) 
 
1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati natijalarini 
aytadi. 
1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga 
ko`ra tinglovchilarning nimalarda 
adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar 
beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
   
 
 
 
 Tinglaydilar  
                                                                                                                             
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Tinglaydilar. 
 
UMK ga qarydilar 
 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha 
va iboralarni muhokama 
qiladilar 
 
 
3- 
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
 
 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha 
olingan bilimlarni qayerda ishlatish 
mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar. 
 
 
 
 

 
225 
                                              18-Ma’ruza 
 
 
                    Sistema dinamikasining umumiy teoremalari. 
Reja: 
 
1.  Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema. 
2.  Sistema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teorema. 
3.  Sistema kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi teorema. 
 
Adabiyotlar: [1], 24-46 sah, [5], 352-412 sah, [8], 121-130 sah. 
 
Tayanch iboralar: 
 
Mexanik sistema, absolyut qattiq jism, ichki va tashqi kuchlar, sistemaning 
harakat miqdori, sistemaning kinetik momenti, sistemaning kinetik energiyasi. 
                                            
                                             Belgilar: 
   MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
                                         Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga – ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
 
 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1.Mexanik sistema deb nimaga aytiladi? 
2.Ichki va tashqi kuchlar qanday kuchlar? 
3.Massalar markazi deb qaysi nuqtaga aytiladi? 
4.Tashqi va ichki kuchlarning bajargan ishi qanday topiladi? 
5.Kyonig teoremasini ta’riflang? 
6.Energiya integrali deb nimaga aytiladi?  
 
 

 
226 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
 Mexanik sistema. 
 
 
2 
Ichki va tashqi kuchlar. 
 
 
3 
 Ichki va tashqi kuchlarning bajargan ishi. 
 
 
4 
Sistemaning harakat miqdori. 
 
 
5 
Sistemaning kinetik momenti. 
 
 
6 
 Sistemaning kinetik energiyasi. 
 
 
7 
 Sistema  harakat  miqdorining  o’zgarishi  haqidagi 
teorema.  
 
 
8 
 Sistema  kinetik  momentining  o’zgarishi  haqidagi 
teorema. 
 
 
9 
Sistema  kinetik  energiyasining    o’zgarishi  haqidagi 
teorema. 
 
 
10 
 Sistemaning potensiyal energiyasi. 
 
11 
Sistemaning to’la  energiyasi. 
 
 
12 
Energiyaning saqlanish qonuni. 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - Yangi ma’lumot.  
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
? – tushunarsiz,  

 
227 
                                              18- Ma’ruza 
Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremalari. 
1.Sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema. 
Mexanik  sistema  N  ta  nuqtadan  tashkil  topgan  bo`lsin.  Sistemaning 
ixtiyoriy 
k
M
 nuqtasiga ta’sir etuvchi  tashqi kuchlar  hamda  ichki kuchlarning teng 
ta’sir  etuvchilari  mos  ravishda   
i
k
e
k
F
F ,
  bo`lsin.  U  holda  sistema  nuqtalari 
harakatining differensial tenglamalari quyidagicha yoziladi: 




N
k
F
F
v
m
dt
d
i
k
e
k
k
k
,
1
,



 
(21.14) tenglamalar sistemasini qo`shamiz: 





,
i
k
e
k
k
k
F
F
v
m
dt
d
 
 Bunda 

 K
v
m
k
k
-  sistemaning  harakat  miqdori; 


e
e
k
R
F
-  tashqi 
kuchlarning bosh vektori. Ichki kuchlarning xossasiga ko`ra  

 0
i
k
F
 
Natijada (21.15) ni quyidagicha yozish mumkin: 
.
e
R
dt
K
d

 
(21.16)  tenglama  sistema  harakat  miqdorining  o`zgarishi    haqidagi 
teoremani ifodalaydi:  sistema harakat miqdorining vaqt bo`yicha birinchi xosilasi 
sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarnining bosh vektoriga teng. 
(21.16)  ni  Dekart  koordinata  o`qlariga  proeksiyalab,sistema  harakat 
miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremani skalyar  ko`rinishda yozamiz: 
 
 
 
 
 












e
z
z
e
y
y
e
x
x
R
dt
dK
R
dt
dK
R
dt
dK
     
 
 
          (21.17) 
Ya’ni,  sistema  harakat  miqdorining  biror    o`qdagi  proeksiyasidan  vaqt 
bo`yicha olingan  hosila, sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar bosh vektorning  mazkur 
o`qdagi  proeksiyasiga teng. 

 
228 
Sistema  harakat  miqdorining  chekli  vaqt  ichida  o`zgarishini  aniqlash 
uchun (21.16) ni dt ga ko`paytirib, integrallaymiz: 
dt
R
K
K
i
e



0
0
 
yoki                                     
 
 
 
 
 
 
          (21.18) 
.
0
e
S
K
K


 
Bunda 
0
K
  bilan 
0

t
  boshlang`ich  paytdagi, 
K
  bilan  ixtiyoriy  t  vaqtdagi 
sistemaning harakat miqdori belgilangan: 
t
dt
R
S
t
e
e



0
 vaqt ichida sistemaga ta’sir 
etuvchi  tashqi kuchlar bosh vektorining impulsi. 
(21.18)  ifoda  chekli  vaqt  ichida  sistema  harakat  miqdorining  o`zgarishi 
haqida  gi  teoremani  ifodalaydi:  sistema  harakat  miqdorining  chekli  vaqt  ichida 
o`zgarishi  sistemaga  ta’sir  etuvchi  tashqi  kuchlar  bosh  vektorining  shu  vaqt 
ichidagi impulsiga teng. 
(21.18) ni Dekart koordinata o`qlariga  proeksiyalab quyidagini yozamiz: 
 
 
 
 











,
,
,
0
0
0
e
z
z
z
e
y
y
y
e
x
x
x
S
K
K
S
K
K
S
K
K
        
 
 
 
(21.19) 
Sistema harakat miqdorinining o`zgarishi haqidagi  teorema bilan  sistema 
massalar  markazining    harakati  haqidagi  teoremalar  orasidagi  munosabatni  
aniqlaymiz. Buning uchun (21.6) ni (21.16) ga qo`yamiz: 


e
c
R
v
M
dt
d

 
yoki 
e
c
R
w
M

 
Bu  munosabat  sistema  massalar  markazi  harakati  haqidagi  teoremani 
ifodalashi bizga ma’lum. 
Shunday  qilib,  umuman  olganda,  sistema  massalar  markazining  harakati 
haqidagi  teorema  va    sistema  harakat  miqdorining    o`zgarishi  haqidagi  teorema 
bitta  teoremaning  ikki  xil  ko`rinishi  ifodalaydi.  Qattiq  jismning  harakatini 

 
229 
o`rganishda  bu  teoremalarning  istalgan  birortasidan  foydalanish  mumkin.  Bunda 
ko`pincha,  massalar  markazining  harakati  haqidagi  teoremadan  foydalaniladi. 
Biroq,  tutash  muhit  (suyuqlik  yoki  gazlar)  uchun  butun  sistemaning  massalar 
markazi  tushunchasi  amalda  o`z  ma’nosini  yuqotadi.  Shu  sababli,  bu  holda 
masalalar  yechganda sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremadan 
foydalanish  maqsadga  muvofiq  bo`ladi.  Sistema  harakat  miqdorining    o`zgarishi 
haqidagi  teoremadan  zarba  nazariyasida,  raketalar  harakatini  o`rganishda  va 
boshqa  bir  qator    amaliy  masalalarni  yechishda  ham  samarali    foydalanish 
mumkin.  
2.Sistema kinetik momentining o`zgarishi haqidagi teorema 
Mexanik  sistema  N  ta  nuqtadan  tashkil  topgan  bo`lsin.  Sistemaning  biror 
ixtiyoriy  
k
M
 nuqtasini olib, unga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlar 
teng  ta’sir    etuvchilarini  mos  ravishda 
i
k
e
k
F
F ,
  bilan  belgilaymiz  (211-rasm). 
Moddiy  nuqta  uchun  chiqarilgan  harakat    miqdori  momentining  o`zgarishi 
haqidagi teoremani mexanik sistemaning har bir nuqtasi uchun qo`llab quyidagiga 
ega bo`lamiz: 
 
 


,
,...
2
,
1
,
N
k
F
M
F
M
dt
l
d
i
k
o
e
k
o
ok



 
Bu  yerda 
k
k
ok
v
m
r
l


  –  nuqta  harakat  miqdorining    O  markazga  nisbatan 
momenti. Bu ifodalarni qo`shamiz: 
 
 
.





i
k
o
e
k
o
ok
F
M
F
M
l
dt
d
 
Ichki kuchlarning xossasiga ko`ra  
 

 .
0
i
k
o
F
M
 
U holda (21.34) ga muvofiq (21.47) ni ushbu ko`rinishda yozamiz: 
 


.
e
k
o
o
F
M
dt
L
d
 
yoki 
,
e
o
o
M
dt
L
d

 

 
230 
Bu  yerda 
 





e
k
k
O
e
k
o
e
o
F
r
F
M
M
  –  sistema  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi  
tashqi kuchlarnintg O markazga nisbatan bosh momenti.
 
 
(21.48)  ifoda  sistema  kinetik  momentining  o`zgarishi  haqidagi 
teoremani ifodalaydi: mexanik sistemaning biror qo`zg`almas  markazga nisbatan 
kinetik    momentining  vaqt  bo`yicha  xosilasi    sistema  nuqtalariga  ta’sir  etuvchi 
tashqi  kuchlarning shu markazga nisbatan  bosh momentiga teng. 
 
(21.48) 
ifodaning 
har 
ikkala  tomonini  x,  y,  z  o`qlarga 
proeksiyalaymiz: 
 
 
 
 















.
,
,
e
k
z
z
e
k
y
y
e
k
x
x
F
M
dt
dL
F
M
dt
dL
F
M
dt
dL
     (21.49)