Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

8- masala. Massasi 
m ga teng bo`lgan yuk 
bikirligi  C ga teng bo`lgan prujinaning quyi 
B
 uchiga 
ilingan,  prujinaning yuqori  uchi  
t
aSin
A


 qonuniga 
asosan ko`chadi  (26-shakl).   
kg
m
4
,
0

, 
,
/
2
,
39
m
H
C 
 
,
7
1

 c

  
cm
a
2

 deb olib, yukning majburiy tebranishi aniqlansin. 
          Yechish. Koordinatalar boshini yukning statik muvozanat holatiga olamiz. U 
holda prujinaning dinamik defarmatsiyasi  
t
aSin
x


ga  teng bo`ladi. Prujinaning 
elastiklik kuchi quyidagiga teng bo`ladi: 
                     


.
Sinpt
x
c
F
X



     
Statik muvozanat holatida prujinaning elastiklik kuchi yukning 
og`irlik kuchi bilan muvozanatlashadi, ya`ni 
                           
,
0



mg
c
cT

    
  
cT
 -prujinaning statik defarmatsiyasi. 
t
CaSin
Q
X



  
Yukning harakat differensial tenglamasi quyidagi 
ko`rinishda bo`ladi:                   
             
t
caSin
cx
x
m






  
  yoki                 
              
,
0
2
t
Sin
H
x
k
x





 
   (12.4) formulaga asosan yukning majburiy tebranishi quyidagicha bo`ladi:       
,
2
2
0
t
Sin
k
H
x




                      
.
0


 
 Bunga berilganlarni qo`yamiz:   
  
,
4
1
)
49
98
(
4
,
0
2
2
,
39
)
(
)
(
2
2
2
2
2
0
cm
c
kg
cm
k
m
ca
k
m
H
M
H









    
c
kg
m
c
k
M
H
1
98
4
,
0
2
,
39
2



 
 Natijada                  
.
7
4
tcm
Sin
x 
 
    9-masala    (I.V.Metcherskiy  32.8).   
cx
Q


  tiklovchi  kuch    va   
T
e
F
F



0
  
kuch  ta`sir    etayotgan      m   massasi    nuqtaning    to`g`ri    chiziqli    harakatini,  
boshlang`ich  paytda    nuqta    uzining    muvozanat    holatida    teng    turgan    deb  
toping. 
        Yechish. Nuqtaga ta`sir  etayotgan kuchlar: 
1
F

 
elastiklik kuchi,
T
e
F
F



0

 uyg'otuvchi kuch,  mg - 
og`irlik kuchi.                                               
       Kuchlarning  x o’qidagi proeksiyalari: 
x
O
P
t
H
x
2
0

P
t
H
x
2
0


t
25-shakl 
A
Q

O 
F

x
M
26-shakl 
x
M
B
O
M
1
F

x
 
27-shakl 
F

 
g
m


 
182 
                    
                    
cx
F
X


1
,  
T
e
F
F



0
1
,  
.
0
)
(

X
g
m

 
  Nuqtaning harakat differensial tenglamasini tuzamiz:         
            
t
e
F
cx
x
m

0




   yoki   
.
0
2
t
e
m
F
x
K
x




                                               (a)  
(b)  tenglamaning umumiy yechimi  
,
2
1
X
X
X


  ya’ni  (a) tenglamaga mos bir 
jinsli tenglamaning umumiy  yechimi  va (a) tenglamaning birorta xususiy yechim-
lari  yig’indisidan  iborat. 
                           
,
1
BSinkt
ACoskt
x


                                                              (b)   
 bu yerda  
.
2
m
c
k 
  Xususiy yechimni quyidagi ko’rinishda axtaramiz: 
                        
.
2
2
2
t
t
Ce
x
Ce
x











 
 Buni (a) tenglamaga qo’yamiz: 
                    




.
2
2
0
0
2
2











k
m
F
C
e
m
F
e
K
C
t
t
 
 Natijada  
                    


.
2
2
0
2
t
e
k
m
F
x





 
(b) 
tenglamaning umumiy yechimi: 
                     


.
2
2
0
t
e
k
m
F
Sinkt
ACoskt
x








                                             (v) 
     Boshlang’ich shartlar:      
;
0

t
   
0
0

x
,  
0
0

x
    
                       
             


.
2
2
0
t
e
k
m
F
kCoskt
AkSinkt
x











                                              (g) 
    Boshlang’ich shartlarni (v)  va  (g) tenglamalarga qo’yib, 
A
 va 

 larni topamiz: 
                      


,
2
2
0




k
m
F
A
    


,
2
2
0





k
mk
F
 
 Natijada nuqtaning harakat tenglamasi quyidagicha bo’ladi:          
                    


).
(
2
2
0
Coskt
Sinkt
k
e
k
m
F
x
t








 
          10- masala. Massasi 
kg
m
4
,
0

bo’lgan yuk, bikirligi 
cm
H
C
6
,
19

 
bo’lgan  prujinaga  osilgan  bo’lib,  unga 


H
t
Sin
S
70
20

 kuch  ta’sir etadi. 
Boshlang’ich  paytda 
0
x
  sm
4
, 
s
sm
k
0
0


. Koordinata boshi yukning statik 
muvozanat holatida olingan. Yukning harakat tenglamasi topilsin. 
           Yechish. Yukning harakat defferensial tenglamasi.             
            
et
Sin
Cx
x
m
7
20





   yoki   
,
70
0
2
t
Sin
H
x
k
x




           
 bu yerda  
,
1
4900
4
,
0
6
,
19
2
2
c
kg
m
c
k
CM




     
2
0
50
4
,
0
20
s
m
kg
N
H


      

 
183 
        Demak xususiy tebranish chastotasi uyg’otuvchi kuch chastotasiga teng, ya’ni  
c
k
1
70



.  Bu  holda  (a)  tenglamaning  xususiy  yechimi  (12.13)  ko’rinishida 
olinadi,  ya’ni 
            


70
8
,
35
70
1
70
2
50
2
2
0
2
tCos
t
tCos
c
t
Cos
t
H
x
c
M








  
(a) 
tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi.                   
                   
,
70
8
,
35
t
tCos
Sinkt
ACoskt
x




 
Bundan 
           
.
70
8
,
35
70
2506
t
Cos
t
Sin
Coskt
k
kASinkt
x








   
Bularga  
c
M
x
sm
x
10
,
4
0
0


 boshlang’ich shartlarni qo’yib 
A
 va 

    
larni topamiz: 
                         
,
4cm
A 
     
.
65
,
0
C
SM
B 
 
 Natijada  
                          


.
70
8
,
35
70
65
,
0
70
4
SM
t
Cos
t
Sin
t
Cos
X



 
 
 
                                   
Nazorat savollari.
 
 
1.  Uyg`otuvchi kuch deb nimaga aytiladi? 
2.  Uyg`otuvchi kuchning chastotasi nima? 
3.  Xos tebranishlar deb nimaga aytiladi? 
4.  Xos tebranishlarning differensial tenglamasi qanday ko`rinishda yoziladi? 
5.  Majburiy tebranishlar nima? 
6.  Majburiy tebranishlar amplitudasi nimaga teng? 
7.  Rezonans hodisasi qaysi hollarda ro`y beradi? 
 
Xulosa 
 
 
Markaziy  qaytaruvchi  kuch  bilan  birgalikda  uyg`otuvchi  kuch  ta’siri 
natijasida moddiy nuqta majburiy tebranma harakatda bo`ladi. 
Majburiy tebranishlarning amplitudasi cheksiz o`sib boradi. 
 
Uyg`otuvchi  kuchning  chastotasi  xos  tebranishlar  chastotasiga  teng  bo`lib 
qolsa, rezonans hodisasi yuz beradi. 

 
184 
Rezonans  hodisasi radiotexnikada, akustikada, inshootlarning dinamik raschetdida 
muhim rol o`ynaydi. 
 
 

 
185 
 
1.1. Mavzuning texnologik modeli. 
 
1.2. “Moddiy nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati” mavzusining 
texnologik xaritasi. 
15- mavzu 
Nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati.  
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot 
shakli 
Ma’ruza (axborotli dars) 
Mavzu   rejasi 
 
1.  Yuzalar qonuni. Markaziy kuch ta’sirida 
harakatlanuvchi nuqtaning tezligi va harakat 
differensial tenglamalari. 
2.  Moddiy nuqtaning Nyuton tortish kuchi 
maydanidagi harakati. Trayektoriyani aniqlash.  
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi 
Moddiy nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati 
va kosmik parvozlar dinamikasi haqida tushuncha berish. 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Yuzalar qonuni va Bine formulalari 
haqida tushuncha berish. 
 Yuzalar qonuni mohiyati va Bine 
formulalarini eslab qoladilar. 
 Nuqtaning Nyuton tortish kuchi 
maydonidagi harakati haqida 
tushuncha berish. 
 Nyuton tortish kuchi maydonidagi harakat 
va  trayektoriyaning  ko`rinishlari    haqida 
yetarli bilimga ega. 
 Kosmik parvozlar dinamikasi haqida 
tushuncha berish. 
 Kosmik parvozlar dinamikasining asoslari 
haqida tasavvurga ega. 
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov,Pinbord texnikasi, aqliy hujum 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 

 
186 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
Mazmuni 
 
1-
Mavzuga 
kirish 
bosqich 
(20min) 
 
1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati natijalarini 
aytadi. 
1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga 
ko`ra tinglovchilarning nimalarda 
adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar 
beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
   
 
 
 
 Tinglaydilar  
                                                                                                                             
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Tinglaydilar. 
 
UMK ga qarydilar 
 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha 
va iboralarni muhokama 
qiladilar 
 
 
3- 
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
 
 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha 
olingan bilimlarni qayerda ishlatish 
mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar. 
 
 
 
 
15-Ma’ruza 
 

 
187 
Moddiy nuqtaning markaziy kuch maydonidagi harakati. 
Reja: 
   1.  Yuzalar qonuni. Markaziy kuch ta’sirida harakatlanuvchi nuqtaning 
tezligi va harakat differensial tenglamalari. 
   2.  Moddiy nuqtaning Nyuton tortish  kuchi maydonidagi harakati. 
Trayektoriyani aniqlash. 
 
 Adabiyotlar: [1],383-403 sah, [5], 380-393 sah.  
Tayanch iboralar: 
Markaziy kuch, tezlik, tezlanish, yuzalar integrali, trayektoriya, konus 
kesimlari, birinchi kosmik tezlik, ikkinchi kosmik tezlik, elliptik orbita. 
Belgilar: 
 
     MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
 
Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga – ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1. Markaziy kuch deb nimaga aytiladi?    
2. Radial tezlik deb nimaga aytiladi? 
3. Transversal tezlik deb nimaga aytiladi?  
4. Nyuton tortish kuchi maydoni qanaqa maydon? 
5. Konus kesimlari qanaqa egri chiziqlardan iborat? 
 
 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 

 
188 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
 Osmon jismlari. 
 
 
2 
 Yuzalar qonuni (integrali). 
 
 
3 
 Radial tezlik. 
 
 
4 
 Transversal tezlik. 
 
 
5 
 Bine formulalari. 
 
 
6 
 Nyuton tortish kuchi maydoni. 
 
 
7 
 Elliptik orbitalar. 
 
 
8 
 Birinchi kosmik tezlik. 
 
 
9 
 Ikkinchi kosmik tezlik. 
 
 
10 
 Ikki jism masalasi. 
 
11 
Kepler qonunlari. 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
    1. Yuzalar qonuni. Markaziy kuchlar ta`sirida 
harakatlanuvchi moddiy nuqtaning tezligi va harakat 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
 
+ - Yangi ma’lumot.  
 
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
 
? – tushunarsiz,  

 
189 
differensial tenglamalari 
 
 
Moddiy nuqta,  tezlik, tezlanish,  harakat miqdori momenti,  kuch 
momenti , trayektoriya  va  h .k  
 
         1.Yuzalar  qonuni.  Agar    moddiy  nuqtaga    ta`sir  etuvchi  kuch  markaziy 
bo`lsa, va  koordinatalar boshi kuch markazida olinsa, u holda   
.
0

 F
r


 U holda 
harakat miqdori momentining o`zgarishi haqidagi teorema 


F
r
m
r
dt
d








 
 q
uyidagi birinchi integralni beradi: 
                                        
.
t
Cons
c
r






                                                   (4.19.1) 
 
Bundan  shunday  xulosa  kelib  chiqadiki,  markaziy  kuch ta`sirida harakat-
lanuvchi  nuqtaning harakat trayektoriyasi tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, nuqta 
yuzalar qonuni asosida harakatlanadi,  ya`ni nuqtaning  radius-vektori teng vaqtlar 
oralig`ida teng yuzalar chizadi. 
 
(4.19.1) tenglikdan yuzalar qonunini quyidagicha ifodalash mumkin:  
                    
,
2
C
dt
d
r







                                                                       (4.19.2) 
Bu yerda  
dt
d

  nuqtaning  sektorial  tezligi,  

C
  o`zgarmasga  yuzalar  doimiysi 
deyiladi. 
C  ning qiymati boshlang`ich shartlardan topiladi. Boshlang`ich paytda 
0
r
r



   va 
0





 bo`lsa, u holda  
                      
 


.
,
0
0
0
0
0
0









r
Sin
r
mom
C
                                              (4.19.3)             
 
Moddiy nuqtaning  harakat trayektoriyasi tekis egri chiziqdan  iborat bo`l-
gani uchun qutb koordinatalari 
r

va 

 lardan foydalanish mumkin. 
 
Kinematika bo`limida biz ko`rgan ediki 
                                  
.
2
1
2
dt
d
r
dt
d



 
Bunga  asosan  yuzalar qonunini ifodalovchi (4.1.2) tenglama quyidagi ko`rinishga 
keladi: 
                                  
.
2
C
dt
d
r


                                                                     (4.19.4) 
 
2.  Markaziy    kuch    ta`sirida    harakatlanuvchi    moddiy    nuqtaning  
tezligi.  Bizga  ma`lumki  nuqtaning  tezligi  qutb  koordinatalarida  quyidagicha 
ifodalanadi: 
 
                      
.
2
2
2
2














dt
d
r
dt
dr


                                                            (4.19.5) 

 
190 
Nuqta tezligining qutb o`qlaridagi prayeksiyalari 
                        
dt
d
r
dt
dr
r






,
                                                      (4.19.6) 
larni  almashtiramiz.  Buning  uchun  (4. 19. 4)  tenglikdan  foydalanib  vaqt   t  ni  
yo`qotamiz: 
                       
.
,
2
r
C
dt
d
r
d
dr
r
C
dt
d
d
dr
dt
dr
p
r











 
Yangi o`zgaruvchi kiritamiz,  ya`ni 
                                 
.
1
r
u 
                                                                             (4.19.7) 
Bundan 
                          
.
1
2


d
dr
r
d
du


                                                                      (4.19.8) 
Natijada tezlikning proyeksiyalari quyidagi ko`rinishga keladi: 
                          
.
,
cu
d
du
r







                                                        (4.19.9) 
Shunday qilib nuqta tezligi uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz: 
                           
.
2
2
2
2
















u
d
du
C


                                                      (4.19.10)