Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

1. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar
 
                               va   tebranma harakat turlari 
 
Nuqtaga  ta’sir  etuvchi  kuchlardan  muhim ahamiyatga  ega  bo’lgan  kuch  
bu nuqtaning hamma vaqt  muvozanat holatiga  qaytaruvchi  kuch  hisoblanadi. Bu 
kuchga tiklovchi kuch deyiladi.  Elastalik  kuchlari bunga  misol bo’ladi. Tiklovchi 
kuch  nuqtaning  muvozanat  holatdan  og’ishiga bog’liq,  ya’ni  nuqtaning 
holatiga bog’liq  va  hamma vaqt muvozanatni  aniqlovchi nuqtaga qarab 
yo’nalgan bo’ladi. 
 
Nuqtaga  ta’sir  etuvchi  kuchlardan  yana  bir  turi,  nuqtaning  tezligiga  bog’liq 
bo’lgan  kuch,  bu  kuchga  qarshilik  kuchi  deyiladi.  Bunday  kuchlarga  havoning 
qarshilik kuchi, sirtning ishqalanish kuchi va h.k. lar kiradi. Yana bir tur kuchlarga 
nuqtaga  tashqaridan  ta’sir  etuvchi    va  vaqtning  funksiyasi  bo’lgan  kuchlar  kiradi. 
Bu  kuch  nuqtani  muvozanat  holatdan  chiqarishga  harakat  qiladi,  shuning  uchin 
ham bu kuchga uyg’otuvchi kuch yoki majburlovchi kuch deyiladi. 
 
Bu bobda  yuqorida  bayon qilingan kuchlar yoki  ularning  birgalikdagi  ta’sir 
natijasida hosil bo’ladigan tebranishlar o’rganiladi. 
 
     Agar  nuqtaning  tebranishi  faqat  tiklovchi  kuch  ta’siridan  sodir  bo’lsa, 
bunday tebranishga erkin tebranish deyiladi. 
 
Nuqtaning tebranishi  tiklovchi  va qarshilik kuchlari ta’sieridan hosil bo’lsa, 
bunday tebranishga erkin so’ruvchi tebranish deyiladi. 
Nuqtaning  tebranishi  tiklovchi  va  uyg’otuvchi  kuchlar  tasiridan  hosil  bo’lsa, 
bunday  tebranishga  qarshiliksiz  muhitdagi  majburiy  tebranish  deyiladi.  Agar 
nuqtaga  tilovchi  va  uyg’otuvchi  kuchlar  bilan  birga  qarshilik  kuchi  ham  ta’ir 
etayotgan  bo’lsa,  nuqtaning  bundy  holdagi  harkatiga  qarshilik  ko’rsatuvchi 
muhitdagi majburiy tebranish deyiladi. 
2. Nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi 
erkin tebralishi.   
 
Moddiy  nuqta  faqat  tiklovchi  kuch  ta`siridan  
harakatlansa, uning bunday harakatiga erkin (garmonik) 
tebranma harakat deyiladi  (12-shakl).Biz tiklovchi 
kuchning  masofaning  chiziqli  funksiyasi,    ya`ni 
masofaga  propersional  bo’lgan  holini    qarash  bilan 
chegaralanamiz. 
 Tiklovchi  kuchning    x  o’qidagi  proeksiyasi  quyidagicha  bo’ladi. 
,
CX
F
x


                                                                (11.1 
  
Bu  yerda  c -propersionallik  koeffisienti.  Nuqtaning  harakat  differensial 
tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:  
                         
cx
x
m




  
O 
M 
x
x
12-shakl
F


 
155 
2
/
k
m
C

  belgilashni kiritib, yuqoridagi tenglamni quyidagi ko’rinishda yozamiz:                             
                        
0
2


x
k
x

                              
 
 
            (11.2) 
 
(11.2)  tenglama  moddiy  nuqtaning  tiklovchi   kuch  ta’siridagi harakat dif-
ferensial  tenglamasini  yoki  erkin  tebranma  harakat  differensial  tenglamasini 
ifodalaydi. 
   (11.2)  tenglamaning umumiy yechimi. 
                    
Sinkt
C
Coskt
C
x
2
1


                          
 
            (11.3) 
Ko’rinishda  bo’ladi.   

 k
 (11.2)  tenglamaning 
0
2
2

 k

 xarakteristik tengla- 
masining ildizlari. 
,
1
C
 
,
2
C
  lar integrallash o’zgarmaslari.  
 
(11.3) yechimni  boshqacha   ko’rinishda  ham  ta’svirlash  mumkin:                           
                      
),
(



kt
aSin
X
                                                              (11.4)  
Bu yerda: 
             
,
2
2
2
1
C
C
a


      
.
2
1
C
C
tg


                                                    (11.5) 
a   va  

  yoki  integrallash o`zgarmaslari nuqtaning boshlang`ich holati  va  bosh-
lang`ich tezligi,  ya`ni boshlang`ich shartlardan topiladi. 
 
(11.4)  tenglamadan  ko`rinib  turibdiki  nuqtaning  tiklovchi kuch ta`siridagi 
sinus   oida  da  (yoki kosinus   oida  ) qonuni bilan sodir bo`lar ekan.  Bunday hara-
katga erkin tebranma harakat, yoki  garmonil tebranma harakat deyiladi. 
 


kt
  argumentga  tebranish   fazasi,  

  ga  boshlang`ich faza deyiladi.  k  
nuqtaning 

2 davrdagi  tebranishlar sonini ifodalaydi, unga tebranishning doiraviy  
chastotasi  deyiladi.  k  tebranish chastotasi boshlang`ich  shartlardan  bog`liq emas. 
Faqat sistema parametlari bilan aniqlanadi. Shu bois bazan  k  ga sistemaning xusu-
siy chastotasi ham deyiladi. 
Tebranish  amplitudasi  va  boshlang`ich  fazasi  boshlang`ich  shartlardan topiladi.                        
Nuqtaning boshlang`ich  paytdagi  holati va  boshlang`ich  tezligi  berilgan bo`lsin, 
ya`ni  
                         
,
0

t
   
,
0
x
x 
     
,
0
x
x

 
                                                          (11.6)    
(11.4) dan nuqtaning tezligini topamiz:                       
               
)
(



kt
akCos
x
                                                                     (11.7) 
  (11.6) boshlang`ich shartlarni  (11.5)  va  (11.7)  tenglamalarga qo`yamiz:                    
   

aSin
x 
0
         

akCos
x 
0

   
Bulardan: 
                  
,
2
2
0
2
0
k
x
x
a



          
0
0
X
kx
tg



                                           (11.8) 
  Sinus 

2  davrli davriy funksiya bo’lgani uchun (11.4) dan. 


.
2
2
2
c
m
k
T
t
kt
T
t
k












            (11.9) 
  
T
  ga tebranish davri  deyiladi.  Demak  tebranish davri  
boshlang`ich shartlardan bog`liq  ekan.  Tebranishning  bu  
xossasiga  izoxron  izoxronlik  xodisasi deyiladi. 
    Quyida bir nechta masalalar qaraymiz: 
T 
x
a
0
x
a 
t
13shakl

 
156 
 
1- masala.  Massasi  
m  bo`lgan  yuk vertikal  prujinaga  osilgan  (14-
shakl).  Yukning  og`irlik  kuchi  va  tiklovchi  kuch  (prujinaning  elastnlik  kuchi)lari 
ta`siridan hosil bo`ladigan harakat differensial tenglamasi tuzilsin.  
 
Yechish. Yuk osilgan prujinaning uzunligini  
0
l
 bilan belgilaymiz. Prujinaga 
yukni    osib    sekin  qo`ysak  prujina  ma`lum  masofaga  cho’zilib  to`xtaydi,  bu 
cho`zilishga    prujinaning    statik    cho`zilishi    yoki    yukning    sitatik    ta`siridan  
cho`zilishi deyiladi.  Bu  deformatsiyani   
ct

   bilan. Yukning   bu  holatiga  uning 
muvozanat  holati  deyiladi.    Koordinatalar  boshini  yukning    muvozanat  holatida 
olib,    x  o’qini vertikal  pastga  yo`naltiramiz. Guk qonuniga asosan uncha 
 katta bo`lmagan ko’chishlar  uchun elastiklik kuchi prujinaning  
defermatsiyasi  
/
/
x
ct


 ga  teng deb olish mumkin, shuning 
uchun. 
/,
/
x
C
F
ct



 
 bu yerda  
ct

 - statik deformatsiya,  x -dinamik ta`sir tufayli hosil 
bo`ladigan  deformatsiya.  c   propersionallik  koeffiensiyenti,  unga  
prujinaning    bikirligi,  deyiladi.    Elastiklik    kuchining    x   o`qidagi   
proyeksiyasi       


x
c
F
ct
x




      ga    teng.    Yukning  harakat 
differensial tenglamasi quyidagicha bo`ladi. 
                 
                              
.
H
ct
F
F
mg
x
m






  
  
ct
F

-elastiklik kuchining statik deformatsiya holatidagi qiymati  
g
m

- og`irlik kuch muvozanatlashadi,  ya`ni   
,
0


ct
F
mg
  
.
cx
F
H


  Natijada yuqoridagi tenglama quyidagi ko`rinishga 
keladi:                     
                                
cx
x
m




  yoki   
,
0
2


x
k
x

   
bu yerda   
m
s
k
/
2

              
         Agar koordinatalar boshini 
1
O
  nuqtani olsak   
cx
F
x


 bo`ladi va nuqtaning 
harakat difererensial tenglamasi. 
                     
cx
mg
x
m




  yoki   
,
2
g
x
k
x




  
  ko’rinishda bo’ladi. 
          Agar  koordinatalar  boshini  qo`zg`almas  
A
  nuqtada olsak  
)
(
0
l
x
c
F
x



 
bo’ladi  va  nuqtaning harakat differensial tenglamasi.                  
                    


0
l
x
c
mg
x
m





   yoki  
0
2
2
l
k
g
x
k
x





  
          Koordinatalar sistemasini qulay qilib  tanlash  masalaning yechilishini ancha 
osonlashtiradi. 
        2-Masala. Massasi 
kg
2
 bo`lgan jism silliq gorizontal tekislikda harakatlanadi.  
Prujinaning  bir  uchi qo`zg`almas qilib mahxamlangan.  Boshlang`ich  paytda jism 
muvozanat holatdan   sm
2
  ga  o`ng tomonga  siljitib   
c
sm /
30
  boshlang`ich tezlik 
bilan qoyib yuborilgan. Prujinaning bikirlik koeferisienti  
sm
H
2
.  Prujina  massasini 
hisobga olmay,  jismning keyingi harakat tenglamasi topilsin. 
A
1
O
O
0

 
F

x
g
m

 
x
14-shakl 

 
157 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Yechish.  Koordinatalar  boshini  yukni  muvozanat  holati  O   nuqtada  olib,  
x   o’qini  gorizont  bo`ylab  o`ng  tomonga  yo`naltiramiz.  U  holda  boshlang`ich 
shartlar quyidagicha bo`ladi.                              
                                 
,
0

t
    
,
2
0
sm
x 
    
c
sm
x
/
30
0


                                         (a) 
 
Nuqtaga  ta`sir  etuvchi  kuchlar:  
F

- elastiklik  kuchi,  
g
m
 - og`irlik  kuchi,  
N

 tekislikning normal reaksiyasi. Tekislik gorizontal bo`lgani uchun  
.
0


g
m
N


 
Elastiklik kuchning    x  o`qidagi  proeksiyasi   
.
cx
F
x


  Nuqtaning  harakat diffe-
rensial tenglamasi quyidagicha bo`ladi: 
                                   
cx
x
m




  yoki  
,
0
2


x
k
x

   
.
2
m
c
k 
                               (b)           
(b) tenglamaning umumiy yechimi 
                        
.
2
1
Sinkt
C
Coskt
C
x


 
    Bu tenglamadan:               
                          
.
2
1
Coskt
kC
Sinkt
kC
x




  
                    
.
1
10
1
100
2
2
c
c
kg
m
c
k
CM
M




                                            (g) 
(a) boshlang`ich  shartlarni (b) va (g) tenglamalarga qo`yib, 
,
1
C
 va 
,
2
C
larni 
topamiz : 
                 
,
2
1
C
sm 
       
,
2
30
1
2
sm
C
kC
c
sm



   
sm
C
3
2

  
 Bularni  (b)  tenglamaga  qo`yib  nuqtaning  harakat  tenglamasini  topamiz:                    
                 


.
10
13
10
3
10
2





t
Sin
Sin
t
Cos
x
  
 Tebranish amplitudasi   
,
6
,
3
13
sm
a


  
 Tebranishning boshlang`ich  fazasi    
.
0
3
33
3
2




tg


           
           3-masala.    Massasi 
kg
5
bo`lgan  jism  vertikal  bilan 

30


li  burchak 
tashkil  qiluvchi    qiya  tekislikda  turgan  jismga  bekirligi 
M
H
C
/
98

bo`lgan 
prujina  birik-tirilgan.    Prujina  tekislikka  paralel.    Boshlang`ich  paytda  jism 
cho`zilmagan prujina uchiga ulanib unga qiya  tekislik bo`ylab  pastga  yo`nalgan  
a)
x
b)
x
O
N
 
M
g
m

x
F

 
15-shakl

 
158 
s
m /
2
,
6
0


  boshlan-g`ich  tezlik  berilgan  bo`lsa,  jismning  harakat  tenglamasi 
topilsin. 
          Koordinatalar boshi  yukning  statik  muvozanat  holatida olinsin  (16-shakl).  
Qiya tekislik silliq  deb olinsin,  ya`ni  ishqalanish kuchi hisobga olinmasin. 
 
          Yechish.  Koordinatalar  sistemasi  va  nuqtaga  ta`sir  etuvchi  kuchlar  16b-
shaklda  tasvirlangan.  16b-shaklga  hisob  sixemasi  deyiladi.  16b -shaklda  
tasvir-langan  N

 va  
P

  kuchlar muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi,  
ya`ni 
0
1

 P
N


.  Natijada qolgan kuchlarning   x  o`qidagi proyeksiyalari: 
                    
             
,
2

mgSin
P
P
x


   
,
cx
cl
F
ct
x



   
.
0


ct
x
cl
P
   
     
  Nuqtaning harakat differensial tenglamasi: 
  
               
cx
x
m




   yoki   
,
0
2


x
k
x

                                                                 (a)  
 Bu yerda: 
              
,
1
5
,
19
5
/
98
2
2
c
kg
M
H
m
c
k



     
.
1
42
,
4
c
k 
                                             (b) 
 Boshlang`ich shartlar:                          
             
;
0

t
     
,
5
,
0
0
M
l
x
ct




     
s
m
x
/
2
,
6
0


                                             (v)   
  (a) tenglamaning umumiy yechimi: 
                              
,
BSinkt
ACoskt
x


                                       
                      
.
BkCoskt
kASinkt
x




                                                        (g) 
   
  (v)  boshlang`ich shartlarni  (g) tenglamalatga qo`yib,  A  va  B larni topamiz: 
               
.
44
,
1
1
42
,
4
/
2
,
6
2
,
6
5
/
2
,
6
5
/
M
c
c
M
k
B
M
A
Bk
c
M
A
c
M












 
          A  va  B larni  topilgan qiymatlarini  (g) tenglamalarning birinchisiga qo’yib, 
nuqtaning harakat tenglamasinini topamiz: 
 

 
W

a) 
N

2
P

 
M 
F

 
0


O 

 
x 
1
P

 
P

 
b) 
16-shakl 

 
159 
            






.
42
,
4
5
42
,
4
44
,
1
M
t
Cos
t
Sin
X


 
        
          
4-masala  (I.V.Metcherskiy 32.4). 
Bir -biriga paralel qo`shilgan ikkita 
prujinaga  osilgan   m   massali  yukning  erkin tebranishlari davri va bu  ikkala pru-
jinaga  envivalent  bo`lgan  prujinaning  bikirleng  koedisienti  topilsin.  
Yuk shunday joylashganki, bikirlik koefunsientlar  
1
c
  va 
2
c
 bo`lgan ikkala prujina 
ham bir xil uzunlikka cho`zildi   (17-shakl). 
Yechish.  Yuk  ta`sir  etuvchi  kuchlar:  prujinalarning  elastcheklik  kuchlari  
2
1
,
F
F


  va  og`irlik  kuchi   .
P

 
 
 
 
 
 
 
 
         
 
 
 
Koordinatalar  boshini  yukning  statik  muvozanat  holatida  olib,    x   o`qini 
vertikal  pastga  yo`naltiramiz.  Hisob sxemasi   17b - shaklda ta`svirlangan.  Ikkita 
prujinaga  ekvavalent  prujinaning  bikirligni    c   bilan  belgilaymiz  va  ekastiklik 
kuchini  
F

 bilan belgilaymiz. U holda                        
                      
,
2
1
F
F
F





    
.
0


ct
F
P


       
.
ct
ct
Cl
F

 
          Ikkala prujina ham bir xil masofaga cho`zilgani uchun 
             


ct
ct
ct
l
c
c
L
c
F
2
1
1



 
  ikkinchi tomondan 
                         
ct
ct
Cl
F

              
Bullardan  
              
.
2
1
c
c
c


 
           Ikki parallel  kuchning teng ta`sir etuvchisini qo`yilish nuqtasi quyidagi pro-
porsiyadan topiladi:          
                      
.
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
d
d
c
c
d
l
c
d
l
c
d
F
d
F
ct
ct





 
   Xususiy tebranish chastotasi:      
 
,
2
1
m
c
c
k


 tebranish davri 
,
2
2
1
c
c
m
T



 
  Ekvivalent prujinaning bikirligi  
.
2
1
c
c
c

