Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

5. Nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi.
 
 
 
   Nuqta  dinamikasi  masalalarini  nuqtaning  harakat differensial tenglamalari yor-
damida yechiladi. 
1.  Nuqta dinamikasi birinchi masalasining yechimi.
  
Nuqta dinamikasining birinchi masalasi nuqtaning massasi  va harakat  teng-
lamalarini bilgan holda unga  ta’sir  etuvchi  kuchni  topishdan  iborat. 
     Nuqtaning harakat tenglamalari dekarat koordinatalar sistemasida. 
                        
 
,
1
t
f
x 
         
 
t
f
y
2

       
 
t
f
z
3

                                       (5.1) 
 
  Ko`rinishda berilgan bo`lsin. 
 
(5.1)  tenglamalardan  vaqt bo`yicha  ikki  marta hosila olib,  (4.2) tenglama-
larga qo`yamiz va nuqtaga ta`sir etuvchi kuchning proeksiyalarini topamiz ya`ni. 
                              
,
x
m
F
X



   
,
y
m
F
Y



  
,
z
m
F
Z



                                             (5.2) 
 
 Kuchning moduli      
                              
2
2
2
z
y
x
m
F









                                                              (5.3) 
 

 
121 
formuladan topiladi.  
Nuqtaga ta`sir etuvchi kuchning yo`nalishi. 
 
                     


,
,
2
2
2
^
z
y
x
x
F
F
x
F
Cos
X













                                               (5.4)                      


,
,
2
2
2
^
z
y
x
y
F
F
y
F
Cos
y













        


,
,
2
2
2
^
z
y
x
z
F
F
z
F
Cos
z













                                                      
 formulalardan topiladi. 
 
2. Nuqta dinamikasining ikkinchi masalasi moddiy nuqtaga ta`sir etuvchi 
F

 
kuch, nuqtaning massasi   m  shuningdek nuqtaning boshlang`ich holati va boshlan-
g`ich tezligi berilganda uning harakat qonunini topishdan iborat. 
 
Bu  masalani  to`g`ri  burchakli  dekarat  koordinatalar  sistemasiga  yechamiz. 
Ushbu  holda  nuqtaga  ta`sir etuvchi kuch nuqtaning  holatiga, tezligiga, vaqtga va 
h.k. ga bog`liq bo`lishi mumkin. Biz kuchni nuqtaning holatiga, tezligiga va vaqtga 
bog`liq  holi bilan chegaralanamiz.  Bu  holda nuqta harakat differensial  tenglama-
lari  (4.2) quyidagi ko`rinishda bo`ladi: 
                           
                         


















z
y
x
z
y
x
t
F
dt
z
d
m
z
y
x
z
y
x
t
F
dt
y
d
m
z
y
x
z
y
x
t
F
dt
x
d
m
X
X
X









,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
2
2
2
2
2
2
                                                      (5.5)  
 (5.2) tenglamalar   
 
 
 
t
z
z
t
y
y
t
x
x



,
,
 noma`lum  funksiyalarga nisbatan   
ikkinchi  tartibli differensial tenglamalar sistemasini  ifodalaydi.  Bu  tenglamalarni 
integrallaganda  har  bittasida ikkitadan, oltita integrallash o`zgarmalari qatnashadi, 
ya`ni                                                                                                                                                                             
                        














.
,...
,
,
;
,
,...
,
,
;
,
,...
,
,
;
6
3
2
1
6
3
2
1
6
3
2
1
C
C
C
C
t
z
z
C
C
C
C
t
y
y
C
C
C
C
t
x
x
                                                             (5.6) 
                                                                     
 
(5.3)  Tenglamalardagi 


6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

i
C
i
 larning har bir qiymatiga  bitta egri 
chiziq  mos  keladi  ya`ni  bu tenglamalar cheksiz ko`p egri chiziqlar oilasini ifoda- 
laydi.  Buning  mexanik  ma’nosi  shundan  iboratki  nuqta  bir  vaqtning o`zida bir 
nechta egri chiziq bo`ylab harakatlanishi keak. Bunday bo`lishi mumkin emas.  Bu 
aniqmaslikning  ochish  uchun  nuqtaning  boshlang`ich  holati  va  boshlang`ich 
tezligini bilish kerak. Koshi masalasi yechimining mavjudligi  va yagonaligi  teore- 
masiga  asosan nuqtaning berilgan boshlang`ich  tezlik bilan sodir bo`ladigan hara-
katga yagona egri chiziq mos keladi. 
 
Boshlang`ich  
0
t
t 
  paytda nuqtaning koordinatalari  va tezlikning boshlan-
g`ich  proyeksiyalari berilgan bo`lsin, ya`ni 

 
122 
            
,
0
t
t 
   
,
0
x
x 
  
,
0
y
y 
 
,
0
z
z 
 
,
0
x
x

 
  
0
y
y

 
 
,
0
z
z

 
             (5.7)                                                                                                          
(5.7)  Munosabatlarga boshlang’ich shartlar deyiladi.  
 
(5.6)  tenglamalarning  ikkala  tomonlaridan  vaqt  bo’yicha bir  marta hosila 
olamiz: 














.
,...
,
;
,
,...
,
;
,
,...
,
;
6
2
1
6
2
1
6
2
1
C
C
C
t
z
z
C
C
C
t
y
y
C
C
C
t
x
x






                                                        (5.8)         
(5.7)  boshlang`ich  shartlari   (5.6)  va  (5.8)  tenglamalarga  qo`ysak 


6
,...,
2
,
1

i
C
i
  o`zgarmaslarga  nisbatan  oltita  algebraik  tenglamalar  sistemasini 
hosil qilamiz.  Bu tenglamalar sistemasini yechib,  


6
,...,
2
,
1

i
C
i
 larning qiymatini 
topamiz ya`ni. 
                   


0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
z
y
x
z
y
x
f
C
i
i




    


6
,...,
2
,
1

i
C
i
                                    (5.9)    
 
  O`zgarmaslarning topilgan qiymatlarini  (5.6) umumiy yechimga qo`yib, masala-
ning berilgan boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz ya`ni. 
                        






;
.
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
;
,
,
,
,
,
;
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1








z
y
x
z
y
x
t
z
z
y
x
z
y
x
t
y
z
y
x
z
y
x
t
x












                                                   (5.10)         
 
(5.10)  tenglamalar  nuqtaning berilgan boshlang`ich holatdan berilgan bosh-
lang`ich tezlik bilan sodir bo`ladigan harakat tenglamalarini ifodalaydi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
123 
Nazorat savollari. 
 
 
1.Dinamikaning asosiy qonunlari qanday ta’riflanadi? 
2.Kuch va massa nima? Ularning o`lchov birliklarini aytib bering. 
3.Nuqta harakatining differensial tenglamalari qanday tuziladi? 
4.Tezlanish nima? Uning o`lchov birligi qanday ifodalanadi? 
5.Nuqta dinamikasining birinchi masalasi nima deydi? 
6.Nuqta dinamikasining ikkinchi masalasini ta’riflang.    
 
 
Xulosa 
 
 
 
Dinamika  nazariy  mexanikaning  eng  asosiy  qismi  bo`lib,  moddiy 
jismlarning (umuman mexanik sistemaning ) harakatini o`rganadi; 
           Dinamikaning asosiy qonuni Nyutonning ikkinchi qonuni hisoblanadi; 
           Nuqta dinamikasining ikkita asosiy masalalari bor; 
           Nuqta  harakatining  differensial  tenglamalari  harakatdagi  nuqtaning 
koordinatalarini ta`sir etuvchi kuch bilan bog`laydi. 
           Harakatning  birinchi  integrallarini  aniqlash  masalasi  mexanikaning  asosiy 
masalalaridan biridir. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
124 
 
                          1.1. Mavzuning texnologik modeli. 
 
1.2. “ Erkin moddiy nuqta dinamikasi ” mavzusining texnologik xaritasi. 
 
11- mavzu 
Erkin moddiy nuqta dinamikasi. 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot shakli  Ma’ruza (axborotli dars) 
Mavzu   rejasi 
 
1.  Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati . 
2.  Gorizontga burchak ostida otilgan jismning 
qarshiliksiz muhitdagi harakati. 
3.  Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi 
muhitdagi harakati. 
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi 
 Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli va egri chiziqli 
harakati haqida tushuncha berish. 
 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati 
haqida tushuncha berish. 
To`g`ri chiziqli harakat va uning dinamik 
xarakteristikasi haqidagi tushunchaga ega.  
 Gorizontga qiya qilib otilgan jismning 
harakati haqida tushuncha berish. 
  Gorizontga qiya otilgan jismning 
harakati haqida bilimga ega, uni 
amaliyotga qo`llay oladi. 
 Nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi 
muhitdagi erkin harakati  to`g`risida 
tushuncha berish. 
 Jismning bir jinsli og`irlik maydonidagi 
erkin harakati  haqida tushunchaga ega. 
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord texnikasi, aqliy hujum. 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 

 
125 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
Mazmuni 
 
1-
bosqich 
Mavzuga 
kirish 
(20min) 
 
1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati natijalarini 
aytadi. 
1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.3.Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga 
ko`ra tinglovchilarning nimalarda 
adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar 
beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
   
 
 
 
 Tinglaydilar  
                                                                                                                             
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
Tinglaydilar. 
UMK ga qarydilar 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha 
va iboralarni muhakama 
qiladilar. 
 
 
3- 
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
 
 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha 
olingan bilimlarni qayerda ishlatish 
mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar. 
 
 
 

 
126 
11-Ma’ruza 
Erkin moddiy nuqta dinamikasi. 
 
Reja: 
   1. Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati.  
   2.  Gorizontga burchak  ostida otilgan jismning harakati. 
   3.  Moddiy nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi muhitdagi harakati. 
  
 Adabiyotlar: [1],350-367 sah, [7], 3-17 sah, [8], 2-14 sah. 
Tayanch iboralar: 
Moddiy nuqta, absolyut qattiq jism, massa, og`irlik, to`g`ri chiziqli harakat, 
egri chiziqli harakat, trayektoriya muhit qarshiligi, parabolik trayektoriya, 
xavfsizlik trayektoriyasi.  
Belgilar: 
 
     MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
 
Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga – ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1. Moddiy nuqta deb nimaga aytiladi?    
2. A.Q.J. deb nimaga aytiladi?   
3.   Massa nima? Og`irlik nima? Ular orasida qanday 
bog`lanish bor? 
4.  Trayektoriya deb nimaga aytildi? 
5.  Dinamikaning asosiy qonuni qanday ta’riflanadi? 
 

 
127 
 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
 Moddiy nuqta. 
 
 
2 
 Absolyut qattiq jism (a.q.j.). 
 
 
3 
 Massa. 
 
 
4 
 Og`irlik. 
 
 
5 
 Erkin tushish tezlanishi. 
 
 
6 
 Trayektoriya, parabolik trayektoriya. 
 
 
7 
 Xavfsizlik parabolasi. 
 
 
8 
 Dinamikaning asosiy tenglamasi. 
 
 
9 
 Nuqta harakatining differensial tenglamalari. 
 
 
10 
To`g`ri chiziqli harakat. 
 
 
11 
Egri chiziqli harakat. 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
 
+ - Yangi ma’lumot.  
 
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
 
? – tushunarsiz,  
 

 
128 
              1. Moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli harakati. 
 
 
Faraz  qilaylik  moddiy  nuqta  to`g`ri  chiziq  bo`ylab  harakatlansin.  Nuqta 
harakatlanuvchi  to`giri  chiziqni    x   o`qi  deb  olamiz,  u  holda  nuqtaning  butun 
harakati davomida  
0

 z
y
   bo`ladi.  (4.2) tenglamaga asosan kuchning  y  va  
z
 
o`qlaridgi proyeksiyalari aynan nolga teng bo`ladi, ya`ni  
                       
,
0

y
F
      
.
0

z
F
                                                               (6.1)  
 
Demak  nuqta  to`g`ri chiziqli harakatda bo`lsa, unga ta`sir etuvchi kuchning 
ta`sir  chizig`i hamma  vaqt  harakat to`g`ri chizig`i bilan ustma-ust tushadi.  Lekin 
(6.1) shart  harakatning to`g`ri chiziqli  bo`lishi uchun yetarli emas.  Masalan nuqta 
bir  jinsli  og`irlik  kuchlari  maydonida  harakatlaganda,  unga  ta`sir  etuvchi kuch 
hamma  vaqt  vertikal  yo`nalishga  ega,  ya`ni  
0
,
0


z
x
F
F
 lekin  nuqta parabola 
bo`ylab harakatlanadi. 
 Erkin  moddiy  nuqtaning  harakati to`g`ri chiziqli bo`lishi uchun unga ta`sir 
etuvchi kuchning yo`nalishi o`zgarmas  va uning boshlang`ich tezligi kuch bo`ylab 
yo`nalgan yoki nolga teng bo`lishi zarur va etarli 
Faraz qilaylik nuqta   x  o`qi bo`ylab harakatlansin, u holda. 
 
                        
0

 z
y
  va     
0

 z
y




 
Demak nuqtaning tezligi hamma  vaqt   x   o`qi  bo`ylab  yo`nalgan va nuqta-
ning  boshlang`ich  tezligi  ham   x  o`qi  bo`ylab bo`ladi   
0

 z
y




 bo`lgani uchun      
(4.2)  tenglamalardan  
,
0


z
y
F
F
  demak  nuqtaga  ta`sir  etuvchi  kuch    x  o`qi 
bo`ylab yo`nalgan. Endi etarliligini isbotlaymiz. 
Faraz qilaylik nuqtaga ta`sir etuvchi kuch   x   o`qi bo`ylab yo`nalgan bo`lsin. 
U  holda  harakat  tenglamalaridan    
0
,
0


z
y




  bundan  
,
1
c
y 

 
2
c
z 

. 
Agar  nuqtaning  boshlang`ich  tezligi     x   o`qi  bo`ylab  yo`nalgan  bo`lsa,      
.
0
,
0
0
1
0





z
c
y


    natijada    
,
0

y
  
.
0

z
 bundan   
,
3
c
y 
   
4
c
z 
   agar 
boshlang`ich paytda nuqta   x   o`qining ustida bo`lsa,  
0
3
0

 c
y
    
0
4
0

 c
z
  va 
demak     
0
,
0


z
y
  bundan    esa    nuqtaning    proyektoriyasi    x o`qi  bo`lmish 
kelib chiqadi. 
1. Moddiy  nuqtaning  faqat  vaqtdan  bog`liq  bo’lgan kuch ta`siridan to`g`ri 
chiziqli harakati.  Bu  holda  nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha 
bo`ladi                          
                
 
t
F
x
m
X


                                                      
   
    yoki                                                                                                                 (6.2) 
                          
dt
x
d
X


 
  (6.2) tenglamani bir marta integrallaymiz: 
                                      
 
1
1
C
dt
t
F
m
x
x
S




. 

 
129 
  Bu tenglamani ya`na bir marta integrallab,  nuqtaning  harakat  tenglamasini topa-
miz,  ya`ni                     
                                  
 


2
1
1
C
t
C
dt
dt
t
SF
m
x
x
S



,                                         (6.3)  
   Bu yerda 
2
1
,C
C
 lar boshlang`ich shartlardan topiladi.