Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

nuqtalarining tezlik va tezlanishlari 
 
Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi jism nuqtalari markazlari aylanish o’qida bo’lgan 
aylanalar bo’ylab harakatlanadi, shuning uchun ixtiyoriy N-nuqtasining tezligi aylana bo’ylab 
harakatlanuvchi nuqtaning tezligi kabi topiladi, ya’ni 




N
O
N
0
,  
 
 
 
(7.19.9) 
bu yerda 
N
O
0
-jismning aylanish o’qidan N-nuqtagacha bo’lgan eng qisqa masofa (161-shakl). 
Jism nuqtalarining tezliklari trayektoriyalarining (aylanalarining) urinmalari bo’ylab yo’nalgan 
bo’ladi va demak aylanish radiusiga perpendikulyar bo’ladi. 
 
Ko’rsatish mumkinki, tezlik vektorining moduli va yo’nalishi 
r
N







  
 
   
 
(7.19.10) 
vektorning moduli va yo’nalishi bilan bir xil bo’ladi. 
Haqiqatdan ham 
N


 vektor ham, 
r




 vektor ham 


 va 
r

 
vektorlar tekisligiga perpendikulyar va nuqta 
trayektoriyasining urinmasi bo’ylab aylanish tomoniga qarab 
yo’nalagan bo’ladi.  
)
,
sin(
r
r
r










, 
161-shaklga asosan: 
N
O
r
r
0
)
,
sin(




. 
Bunga asosan:  





N
O
r
0


. 
Bunga asosan 
N


 va 
r




vektorlarining modullari ham teng. 
 
O nuqta aylanish o’qining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin va 
N
O
r



. U holda 
r
r
ON
NO
mom
N
N

























)
(
 
yoki 
r
N







 
 
 
 
 
 
 (7.19.11) 
 
(7.19.11) formulaga Eyler formulasi deyiladi.  
Demak, 
r




moduli va yo’nalishi bo’yicha N nuqta tezligini to’la aniqlaydi. 
 
O nuqtani 
Oxyz
koordinatalar sistemasini boshi deb olib, Z o’qini aylanish o’qi bo’ylab 
yo’naltiramiz (161-shakl). U holda 
0


y
x


, 

 
z
 va (7.19.11) formulani quyidagi 
ko’rinishda yozish mumkin: 
 
 
z
y
x
o
o
j
i
r













. 
 
 
 
 (7.19.12) 
z 


 
O 
y 
N


 
r

 
0
O
 
x 
N 
O 
161-shakl 

 
97
Bundan 
 
 
y
x




,       
x
y



,   
0

z

.  
 
 
 
 
(7.19.13) 
(7.19.13) formulalar jism nuqtalari tezliklarining koordinatalarini  topish  formulalarini 
ifodalaydi. (7.19.13) formulalarning ko’rinishi 
Oxyz
 
koordinatalar sistemasi qo’zg’almas 
bo’lganda ham, jismga mahkamlangan bo’lganda ham o’zgarmaydi. Demak, tezlikning 
proyeksiyalari qo’zg’almas koordinatalar sistemasidan qo’zg’aluvchi koodinatalar sistemasiga 
o’tishiga nisbatan kovariant bo’lar ekan. 
 
(7.19.11) formulaning  ikkala tomonini vaqt bo’yicha differensiallaymiz:  
dt
r
d
r
dt
d
r
dt
d
dt
d
W



















)
(
. 
;





dt
d
 




dt
r
d
 larni e’tiborga olib, quyidagi formulani hosil qilamiz: 











r
W
.  
 
 
 
 (7.19.14) 
 
(7.19.14) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi 
qo’shiluvchining moduli 


h
r
r
r











,
sin
 
ga teng, bu esa aylana bo’ylab harakatlanuvchi nuqta urinma 
tezlanishining moduli bilan bir xil. 
r




vektorning 
yo’nalishi ham urinma tezlanishining yo’nalishi bilan bir xil 
(161-shakl). Demak, 
r




vektor N nuqtaning urinma 
tezlanishini ifodalaydi, ya’ni 
r
W







 
 
 
  (7.19.15) 
(7.19.14) tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchini qaraymiz: 











,
sin


. 


 va 


vektorlar o’zaro perpendikulyar va 


h

 bo’lgani uchun yuqoridagi tenglikni 
quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: 
2



h




. 





 vektorning yo’nalishi normal tezlanishni yo’nalishiga parallel va N nuqtadan aylanish 
o’qiga qarab yo’nalgan, shuning uchun 
 
2

h
W
n



, 
 
 
 
 
(7.19.16) 
bu yerda  h

vektor aylanish o’qidan N nuqtaga tomon yo’nalagan. Demak, (7.19.14) formula 
nuqtaning to’la tezlanishini ifodalaydi. 
z 
n
W

 

W

 


N 
r

 
y 
x 
O 

 

 
0
O
 
h

 
162- shakl  

 
98
 
Urinma va normal tezlanishlarning modullari quyidagicha hisoblanadi: 
 


h
W 
,   
 
2

h
W
n

. 
 
 
(7.19.17) 
Tanlangan sanoq sistemasiga nisbatan (162-shakl)  
0


y
x


, 

 
r
 (

-algebraik burchak 
tezlanish) va 
N
O
W
n
0
2




 deb olsak  (7.19.15) va (7.19.16) formulalarga asosan: 
N
O
z
y
x
o
o
k
j
i
N
O
r
W
0
2
0
2















.   
 
 
(7.19.18) 
Bundan tezlanishning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz: 
 
x
y
W
x
2





, 
 
y
x
W
y
2




, 
 
 
0

z
W
. 
 
 
(7.19.19) 
Bu formulalar ham qo’zg’almas koordinatalar sistemasidan o’zg’aluvchi koordinatalar 
sistemasiga o’tishga nisbatan kovariant.  
 
           
                                           Nazorat savollari 
 
1.Qattiq jismning qanday harakatiga ilgarilanma harakat deyiladi? 
2.Ilgarilanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining tezlik tezlanishlari qanday bo`ladi? 
3.Qattiq jismning qanday harakatiga qo`zg`almas o`q atrofida aylanma harakat deyiladi? 
4.Aylanma harakatdagi qattiq jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi deganda     nimani tushunasiz? 
5.Burchak tezlik va burchak tezlanish vektorlari qanday yo`nalgan bo`ladi? 
6.Qattiq jism nuqtasing tezligi qanday topiladi? 
7.Qattiq jism nuqtasining tezlanishi nimaga teng? 
8.Qattiq jism nuqtasining urinma, normal va to`la tezlanish vektorlari qanday yo`nalgan?   
 
Xulosa 
 
 
Mazkur ma’ruzada qattiq jismning eng oddiy harakatlaridan bo`lgan ilgarilanma a o`q atrofidagi  
aylanma harakatlari haqida to`la  ma’lumot berildi; Bunday mexanik harakatlarni hayotimizda ko`p uchratamiz: 
mashina va mexanizmlar, osmon jismlarning harakatlarida va hokazo.Qo`zg`almas o`q atrofida aylanuvchi jism 
harakatini boshqa jismlarga uzatish (tishli g`ildirak, tasmalar yordamida) katta amaliy ahamiyatga ega.Shuning 
uchun ham ma’ruzada bayon qilingan nazariya mexanikaning ko`pgina amaliy masalalarini echishga imkon beradi. 
 
 

 
99
 
 
 
 
 

 
100 
 
1.2 “ Qattiq jismning tekis-parallel harakati ” mavzusining texnologik modeli. 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot shakli  Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Mavzu   rejasi 
 
7.  Asosiy tushunchalar va teoremalar. 
8.  Tekis shakl nuqtalarining tezliklari. 
9.  Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari. 
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi 
Qattiq jismning tekis-parallel harakati  haqida to`liq 
tushuncha berish. 
 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Qattiq jismning eng oddiy harakatlari 
tushunchasini takrorlash. 
Qattiq jismning eng oddiy harakatlarini 
tushunadi va ta’riflarni aytib beraoladi. 
Asosiy tushunchalar bilan tanishtirish 
hamda Shal va Dalamber teoremalarini 
isbotlash. 
Asosiy tushunchalarni biladi  va 
teoremalarni isbotlab beraoladi. 
Tekis shakl nuqtasi tezligini topish 
bo`yicha tushuncha berish. 
Tekis shakl nuqtasi tezligini topishni 
biladi va amalda qo`llayoladi. 
Tekis shakl nuqtasining tezlanishini 
topish haqida mufassal ma’lumot 
berish. 
Tekis shakl nuqta tezlanishini topaoladi 
va masalalar yechishda tadbiq etaoladi. 
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 
 
 
9- mavzu 
 
Qattiq jismning tekis-parallel harakati 
 

 
101 
1.2. “Qattiq jismning tekis-parallel harakati” mavzusining texnologik xaritasi. 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
mazmuni 
 
1-
bosqich 
(20min) 
 
1.9 O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati 
natijalarini aytadi. 
1.10  Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.11  Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida 
natijasiga ko`ra tinglovchilarning 
nimalarda adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.12   Mavzuni jonlashtirish uchun 
savollar beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
   
 
 
 
 Tinglaydilar  
                                                                                                                             
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
Tinglaydilar. 
UMK ga qarydilar 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhakama 
qiladilar. 
3-
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan 
bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi 
ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar. 
 
9-Ma’ruza 

 
102 
Qattiq jismning tekis-parallel harakati. 
Reja: 
   1.  Asosiy tushunchalar va teoremalar. 
   2. Tekis shakl nuqtalarining tezliklari. 
   3. Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari 
   
    Adabiyotlar: [1],100-132 sah, [5], 160-188 sah,[7], 107-121 sah. 
Tayanch iboralar: 
Absolyut qattiq jism (a.q.j),ilgarilanma harakat, aylanma harakat, oniy 
aylanish markazi, tekis shakl, qutb, tekis shakl nuqtasining tezligi va tezlanishi. 
Belgilar: 
 
     MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
 
Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga – ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1. Absolyut qattiq jism deb nimaga aytiladi? 
2. Ilgarilanma harakat deb qanaqa harakatga aytiladi? 
3. Aylanma harakat deb qanaqa harakatga aytiladi? 
4. Aylanma harakatdagi nuqtaning tezligi nimaga teng? 
5. Normal va urinma tezlanishlar nima? 
6. Oniy aylanish markazi qanday topiladi? 
 
 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 

 
103 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
Absolyut qattiq jism (a.q.j.). 
 
 
2 
A.Q.J.-ning ilgarilanma harakati. 
 
 
3 
A.Q.J.-ning aylanma harakati. 
 
 
4 
Tekis shakl. 
 
 
5 
Qutb. 
 
 
6 
Oniy aylanish markazi. 
 
 
7 
Tezliklarning oniy markazi. 
 
 
8 
Tezlanishlarning oniy markazi. 
 
 
9 
Tekis shakl nuqtasining tezligi. 
 
 
10  Tekis shakl nuqtasining tezlanishi. 
 
11  Tezlanishlarning oniy markazi. 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
 
+ - Yangi ma’lumot.  
 
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
 
? – tushunarsiz,  
 
 
                                                                                                          
1. Asosiy tushunchalar.  

 
104 
 
 
Qattiq  jism  nuqtalari  biror  qo’zg’almas  tekislikka  parallel  tekisliklarda  harakatlansa,  uning  bunday 
harakatiga tekis parallel harakat deyiladi. Bu ta’rifdan shunday xulosa qilish mumkinki, qattiq jismga qo’zg’almas 
tekislikka perpendikulyar qilib mahkamlangan ixtiyoriy to’g’ri chiziq kesmasi ilgarilanma harakat qiladi, ya’ni o’z-
o’ziga parallel kuchadi. Haqiqatdan ham, qattiq jismning qo’zg’almas tekislikka perpendikulyar AB kesmasi biror 
t

 vaqt oralig’ida 
B
A


 holatga o’tsin. Qattiq jismning ta’rifiga asosan 
A
A
B
A
AB




,
 va 
B
B 
 ko’chishlar 
esa  qo’zg’almas  tekislikka  parallel  bo’lishi  kerak,  bundan 
A
B
AB


shakl  parallelogramm  ekani  kelib  chiqadi. 
Demak, 
B
A
ABII


 (168-shakl). 
 
Bundan   shunday  xulosa  qilish mumkinki,  qattiq  jismning asosiy  tekislikka  perpendikulyar  to’g’ri  chiziqda 
yotuvchi nuqtalarining harakati uning bitta nuqtasining harakati bilan 
aniqlanadi.  Butun  jismning  harakati  qattiq  jismni  qo’zg’almas 
tekislikka parallel tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan S kesimning 
o’z  tekisligidagi  harakati  bilan  aniqlandi.  Shunday  qilib,  qattiq 
jismning  tekis  parallel  harakati  tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi 
harakatiga keltiriladi. 
 
O’zgarmas  tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi  holati  uning  ikkita 
nuqtasining  holati  bilan  yoki  ikkita  nuqtasini  tutashtiruvchi 
kesmaning holati bilan to’liq aniqlanadi. 
 
Tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi  harakati  ilgarilanma  va 
aylanma harakatlardan iborat bo’ladi. 
 
Tekis  shaklning  ilgarilanma  harakati  deb  shunday  harakatga  aytiladiki,  uning  harakat  tekisligida  yotgan 
ixtiyoriy to’g’ri chiziq kesmasi o’z-o’ziga parallel ko’chadi. 
 
Tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi  harakati  davomida  uning  aylanish  markazi  deb  ataluvchi  bitta  nuqtasi 
qo’zg’almasdan  qolsa,  bunday  harakatga  aylanma  harakat  deyiladi.  Qattiq  jismning  bunday  harakati  davomida 
nuqtalarining  trayektoriyalari  markazi  qo’zg’almas  nuqtada  bo’lgan  konsentrik  aylanalardan  iborat  bo’ladi. 
Nuqtalarining tezlik va tezlanishlari aylanish markazigacha bo’lgan masofalarga proporsional bo’ladi, ya’ni 



 OQ
Q
,   
 
 
 
 
(8.21.1) 
4
2

 

 OQ
W
Q
,  
 
 
 
(8.21.2) 
bu  yerda 

  va 


lar  aylanish  burchak  tezligi  va  burchak  tezlanishi.  Qattiq  jismning  aylanma  harakatida 
nuqtalarning tezlanishlari OQ aylanish radiusidan 

burchakka og’gan bo’ladi. Bu burchak hamma nuqtalar uchun 
bir xil qiymatga ega. U faqat 

 va 

larga bog’liq, ya’ni 
2






n
W
W
tg
. 
 
 
 
 
(8.21.3) 
 
1-teorema. Qattiq jismning o’z tekisligidagi har qanday chekli ko’chishini bir ilgarilanma ko’chish va ixtiyoriy 
markaz (qutb) atrofida bir marta burish bilan hosil qilish mumkin. 
 
Isbot.  Tekis  shaklning 
1
1
B
A
  va 
2
2
B
A
kesmalar  bilan aniqlangan  ixtiyoriy  ikkita 
1
П
  va 
2
П
  holati  berilgan 
bo’lsin (AB kesma 
П
tekis shaklga mahkamlangan) (169-shakl). 
 
Ilgarilanma  harakat  bilan  tekis  shakl 
1
П
  holatdan 
3
П
  holatga  o’tsin,  bu  holda  AB  kesma 
1
1
B
A
  holatdan 
2
3
B
A
 holatga o’tadi va bu ko’chish 
2
1
B
B
 vektor bilan aniqlanadi (169-shakl). 
B 
B
 
S 
A 
A
 
168-shakl 

 
105 
 
Ilgarilanma harakat ta’rifiga asosan 
1
1
2
3
B
IIA
B
A
. Endi 
tekis  shaklni 
2
B
  markaz  atrofiga 
2
2
3
A
B
A




 
burchakka  buramiz,  natijada 
2
3
B
A
  kesma 
2
2
B
A
holatga 
o’tadi  va 
П
shakl 
3
П
  holatdan 
2
П
  holatga  o’tadi.  Biz 
ixtiyoriy  markaz  sifatida 
2
B
  nuqtani  tanladik.  Bu  holda 
shaklning  ilgarilanma  ko’chishi 
2
1
B
B
  vektor  bilan, 
aylanma  ko’chishi  esa 
2
2
3
A
B
A




  burchak  bilan  aniqlanadi.  Agar  qutb  sifatida  A  nuqta  olinganda  edi 
shaklning ilgarilanma ko’chishi 
2
1
A
A
 vektor bilan, aylanma ko’chishi 
2
2
3
B
A
B





 burchak bilan aniqlanar 
edi. Osonlik bilan ko’rish mumkinki, 
2
1
2
1
A
A
B
B

, ya’ni ilgarilanma ko’chish qutbni o’zgartirishi bilan o’zgaradi, 
lekin 






chunki bu burchaklar parallel kesmalardan tashkil topgan. Demak, figuraning aylanma ko’chishi 
qutbni  tanlanishiga  bog’liq  emas.  Shunday  qilib,  ilgarilanma  ko’chishi  qutbni  tanlanishi  bilan  o’zgarar  ekan,  uni 
tanlash yo’li bilan ilgarilanma ko’chishni yo’qotish ham mumkin.