Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

 
 
 
10-Ma’ruza 
Nuqta dinamikasi.  Nuqta harakatining differensial tenglamalari. Nuqta 
dinamikasining asosiy masalalari. 

 
113 
 
Reja: 
   1. Dimamika fani. Dinamika rivojlanishining qisqacha ta’rifi.  
   2.  Mexanikaning asosiy qonunlari. 
   3.  Mexanik kattaliklar sistemasi. 
   4.  Moddiy nuqtaning harakat differensial  tenglamalari. 
   5.  Nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi. 
 
    Adabiyotlar: [1],319-324 sah, [5], 254-274 sah. 
Tayanch iboralar: 
Moddiy nuqta, Dinamika, harakat, kuch, tezlanish, massa, differensial 
tenglama, harakat integrallari, boshlang`ich shartlar , absolyut qattiq jism. 
Belgilar: 
 
     MS-muommoli savol,                       MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,               MM- muommoli masala  
 
Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga – ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1.  Moddiy nuqta deb nimaga aytiladi? 
2.  Kuch deb nimaga aytiladi? 
3.  Tezlanish deb nimaga aytiladi? 
4. Massa deb nimaga aytiladi? 
5. Nyutonning uchta qonunlarini ta’riflang? 
 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring 

 
114 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
 Kuch va uning birliklari. 
 
 
2 
 Moddiy nuqta, absolyut qattiq jism. 
 
 
3 
 Dinamikaning asosiy qonunlari. 
 
 
4 
 Differensial tenglama. 
 
 
5 
 Harakat integrallari, boshlahg`ich shartlar. 
 
 
6 
 Massa, uning o`lchov birligi. Og`irlik kuchi. 
 
 
7 
  Absolyut qattiq jism. 
 
 
8 
 Nuqta dinamikasining birinchi masalasi. 
 
 
9 
 Nuqta dinamikasining ikkinchi masalasi. 
 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
 
 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
 
+ - Yangi ma’lumot.  
 
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
 
? – tushunarsiz,  
 
 
            1.   Dinamika fani. Dinamika rivojlanishining
 
qisqacha tarixi. 
 

 
115 
  Dinamika  mexanikaning  bo’limi  bo’lib,  unda  moddiy  jismlarning  harakati  unga 
ta`sir etuvchi kuchlarga bog’lab o’rganiladi. 
Dinamika  mexanikaning  ko’pgina  amaliy  masalalarini  yechishda  muhim 
ahamiyatga ega bo’lgan umumiy bo’limi hisoblanadi. 
Buyuk      Italian  olimi  Goliley  (1564-1642)  dinamikaning    asoschisi 
hisoblanadi.  U  moddiy  nuqtaning  to’g’ri  chiziqli  noteks  harakati  uchun  tezlik  va 
tezlanish  tushunchalarini  kiritdi  hamda  jismlarning  bo’shliqda  erkin  tushish 
qonunlarini yaratdi. Galiley dinamikning birinchi qonuni - inersiya  qonuniga ta`rif 
berdi  gorizontga  burchak  ostida  otilgan  jismlarning  bo`shliqda  parabola  bo`ylab 
harakatlanishini aniqladi. 
Gollandiyalik olim Gyuygeus (1629-1695) inersiya momenti – tushunchasini 
kiritgan, tebrangichlar  nazariyasini  va soatni  yaratgan. U egri chiziqli  harakatdagi 
nuqta  uchun  tezlanishning  momenti  tushunchasini  umumlashtirib,  markazdan 
qochma kuchni kiritgan. 
Buyuk ingliz olimi, Nyuton (1643-1727) Galileyning dinamikaning yaratish  
sohasidagi  ishlarini  davom  ettirdi.  O`zining  buyuk  asari    “philosophniae  naturalis 
principia  mathematika”  da  klassik  mexanikaning  qonunlariga  ta`rif  bergan  va  bu 
qonunlar  asosida    dinamikaning  sistemali  bayonini  berdi.  Nyuton  butun  olam 
tortilish qonunini yaratgan. 
Moddiy  nuqta  dinamikasidan  mexanik  sistema  dinamikasiga  o`tishni  
ta’minlovchi  Nyuton  tomonidan  yaratilgan  ta’sir  va  ansta’sir  qonuni  katta 
ahamiyatga ega. 
Dekartning  harakat  miqdorini  saqlanishi  haqidagi  fikrini  rivojlantirib, 
Nyuton  harakat  miqdorining  o`zgarishini  ta’sir  etuvchi  kuchga  bog’liqligini 
aniqladi. 
XX asrning boshlarida  nemes  fizigi  Albert Eynshteyn tomonidan  yaratilgan 
relyativistik mexanika (nisbiylik nazariyasi) fazo, vaqt, massa va energiya haqidagi 
tasavvurkarni  butunlay  o’zgartirib  yubordi.  Lekin  yorug’lik  tezligidan  kichik 
tezliklar  uchun  klassik  mexanika  qonunlari  asosida  olingan  natijalar,  relyativistik 
mexanika  qonunlari  bilan  olingan  natijalar  bilan  mos  keladi.  Galiley-Nyuton 
qonunlari  yordamida  hozirgi  zamon  nazariya  mexanikasining  asosini  tashkil 
etuvchi teoremalar isbotlandi va mexanika prinsiplari asoslandi. 
Kinetik energiyaning o’zgarish qonuni   Ivan  Bernulli   (1667-1748)  va 
 Daniil    Bernulli  (1300-1782)  lar  tomonidan  ta’riflangan.    Harakat  miqdorining 
o’zgarishi  haqidagi  teorema  deyarli  bir  vaqtning  o’zida  (1746)  Eyler  va  Daniil 
Bernulli  tomonidan tariflangan. 
 
1716  yil  Peterbur  fanlar  akademiyasi  akademigi  Ya.  German  dinamika 
tenglamalarini    statika  tenglamalari  ko’rinishiga  keltiruvchi,  umumiy  metod, 
mexanika  (kinetostatika metodi)ni kiritgan. 
 
1737y  Eyler  (1707-1783)  bu  prinsipni  umumlashtirdi  va  egiluvchi 
jismlarning tebranishiga qo’lladi. 
 
1743y  Dalamber  (1717-1783)  German  Eyler  prinsipini  qo’llanilish  sohasini 
kengaytirdi,  yani  bu  prinsipni  bog’langan  jismlardan  tashkil  topgan  murakkab 
sistemalarga    qo’lladi.  Bu  prinsip  Dalamber  prinsipi  (yoki  nachala  Dalambera) 
nomi bilan yuritiladi. 

 
116 
 
Lagranj  (1736-1813)  German  –  Eyler  -  Dalamberprinsipini  statikaning  
umumiy prinsipini  mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi bilan birlashtirib, amaliyotda 
qo’lash  uchun  qulay  bo’lgan  ko’rinishga  keltirdi.  Mumkin  bo’lgan  ko’chish 
prinsipi birinchi Stevin  (1548-1620) tomonidan kiritilgan 
 
Galiley  Stevinning  og’ma  tekislikdagi  mulohazalarini  davom  etkazib 
mexanikaning oltin qoidasiga ta’rif bergan: kuchdan yutilsa tezlikdan yutqaziladi. 
 
Akademik  M.V  Ostrogradskiy  (1548-1862)  mumkin  bo’lgan  ko’chish 
prinsipini umumlashtirib, mexanikaning yangi masalalarini yechishga qo’llagan. 
 
Mexanik  sistemaning  umumlashgan  koordinatalardagi  tenglamalarini  
Lagranj  tomonidan  keltirib  chiqarilgan.  Lagranj  tenglamalari  mexanik  sistema 
harakatini  umumiy  ko’rinishda  ifodalaydi.  Bu  tenglamalar  mexanik  sistemaning 
amaliyotda  muhim  ahamiyatga  ega  bo’lgan  kichik  tebranishlarini  o’rganishda 
qo’llaniladi. 
 
XX asrda mexanikaning rivojlanishida katta hissa  qo’shgan o’zbek olimlari: 
M . T . O’razboyev,  X. A. Raxmatulin, X. X. Usmonxodjayev, T. R. Rashidov,… 
 
                           
2.Mexanikaning asosiy qonunlari. 
(Galiley N`yuton qonunlari) 
 
 
 
Dinamika  kinetikaning  bir  qismi  bo`lib,  unda  moddiy  jismlarning  (yoki 
mexanik  sistemaning)  harakatini unga  ta`sir  etuvchi kuchga bog`lab o`rganiladi. 
Moddiy jismlarning  harakati  uni tashkil etuvchi nuqtalar (zarachalar)ning harakati 
bilan aniqlanadi.  Bizga  ma`lumki moddiy  nuqta  deganda  o`lchamlari  yetarlicha 
kichik  va  uni  tashkil  etuvchi  zarralarning  harakati  bir – biridan   deyarli  farq 
qilmaydigan moddiy jism tushuniladi. 
 
Dinamikaning  asosida  N`yuton  tomonidan  birinchi  bo`lib  tartibga  solingan 
qonunlar yotadi. 
 
1-Irersiya  qonuni.  Moddiy  nuqtaga  (moddiy  jismga)  tashqaridan  hech 
qanday  ta`sir  bo`lmasa,  u  o`zining  tinch  holatini  yoki  to`g`ri  chiziqli  tekis 
harakatini saqlaydi. 
Bu qonun Galiley tomonidan ta’riflangan bo`lib unga asosan har qanday jism agar 
unga  hech  qanday    tashqi  ta`sir  bo`lmasa,  u  o`zining  tinch  holatida  turadi  yoki 
to`g`ri  chiziqli  tekis  harakatini  (o`zgarmas  tezlikli  harakatini)  davom  etirishini 
xarakterlaydi. Jismlarning  bu xosasiga uning intertligi deyiladi. 
 
2-kuch  va  tezlanishning  proporsionallik  qonuni.  Moddiy  nuqtaning 
tezlanishi unga ta`sir etuvchi kuch bilan bir xil  yo`nalgan bo`ladi. 
 Ikkinchi  qonunni  boshqacha  ko`inishga  ham  ta`riflash  mumkin:  moddiy  nuqta 
harakat    miqdorining  o`zgarishi  unga  ta`sir  etuvchi  kuchga  proporsional  bo`lib, 
yo`nalishi ta`sir etuvchi kuch yo`nalishida sodir bo`ladi. 
 
N`yutonning  ta`rifiga  ko`ra  harakat  miqdori  nuqta  massasi  bilan  tezligi 
ko`paymasiga teng. Natijada harakat  miqdorining o`zgarishini  harakat  miqdoridan 
vaqt  bo`yicha  olingan  birinchi  tartibli  hosilaga  teng,  yani   


dt
m
d

  deb  olish 

 
117 
mumkin. Proporsionallik koeffitsientini  birga teng deb olib,  ikkinchi 
qonunni 
quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:  
 
 
 
                            


F
dt
m
d



   
 yoki massani o`zgarmas deb olsak, 
                                                   
F
dt
d
m


                                                         (2.1) 
formulaga kelamiz.    
W
dt
d



 
 
 
 Nuqtaning tezlanishi      bo’lgani uchun (2.1) formuladan 
                                  
W
m
F



                                                                             (2.2) 
formulaga kelamiz. 
 
Moddiy  nuqta  massasi,  tezlanishi  va  unga  ta`sir  etuvchi  kuchlar  orasidagi 
bo`g`lanishni ifodalovchi  (2.2) tenglama klassik mexanikada katta ahamiyatga ega 
va unga dinamikaning asosiy tenglamasi deyiladi. 
 
3.  Ta`sir  va  aksta`sir  qonuni.  Har  qanday  ta`sirga  miqdor  jihatidan  teng  va 
qarama – qarshi tomonga yo`nalgan aksta`sir mos keladi.  
 
Jismlarning  massasi  ularning  inertligini  ifodalovchi  o`lchov  birligi 
hisoblanadi,  yani  jismlarning  tashqi  ta`sirga  beriluvchanligini  harakatlovchi 
kattalik. 
 
(2.2) formuladan massani quyidagi formula bilan aniqlash mumkin: 
                                     
.
N
F
m 
                                                                            (2.3) 
  
(2.3) formulani og`irligi  G ga teng bo`lgan erkin tushayotgan moddiy nuqta 
uchun qo`llaymiz. 
 
 
 
 
      
,
g
G
m 
 
                                                   ( 2.4) 
 g-erkin  tushish  tezlanishi.  Bundan  moddiy  nuqta  massasining  miqdori  uning 
og`irligini erkin tushish  tezlanishiga nisbatiga teng. 
 
 
 
 
    
.
mg
G 
 
                                                      (2.5)
 
 
 
Yer  sharining  har  xil  nuqtalarida  erkin  tushish  tezlanishi  har  xil  bo`lgani 
uchun jismlarning og`irligi ularning massasidan shu bilan farq qiladiki og`irlik yer 
shari nuqtalarining  joylashishga qarab o`zgaradi. 
 
4.  Kuchlar  tag`irining  o`zaro  bog`liqmaslik  qonuni.  Moddiy  nuqtaga  bir 
vaqtning  o`zida  bir  nechta  kuch  ta`sir  etayotgan  bo`lsa,  nuqtaning  har  bir  kuch 
ta`siridan    erishadigan  tizlanishi  qolgan  kuchlarning  ta`siridan  bog`liq  bo`lmaydi 
va nuqtaning to`la tezlanishi alohida kuchlar ta`siridan erishilgan tezlanishlarining 
geometrik  yig`indisiga teng. 
 
Moddiy  nuqtaga 
,
1
F

   
n
F
F ,...,
2

  kuchlar  sistemasi  ta`sir  etayotgan  bo`lsin.  U 
holda  bu  qonunga  asosan  har  bir  kuch  ta`siridan  erishiladigan  tezlanishlar  (2.2) 
tenglamaga asosan quyidagicha topiladi. 
 
                     

 
118 
                              
,
1
1
F
w
m

   
.
,...,
2
2
n
n
F
w
m
F
w
m





                                     (2.6) 
 
 Hamma  kuch  bir  vaqtda  ta`sir  etsa,  bu  kuchlar  ta`siridan  erishiladigan  to`la 
tezlanish  alohida  kuchlar  ta`siridan  erishiladigan  tezlanishlar  yig`indisiga  teng, 
ya`ni 
          
                      
n
n
in
F
w




                                                                     (2.7)    
    (2.6)  tengliklarni  hadma  –  had  qo`shib,  (2.7)  tenglikka  asosan  quyidagi 
tenglamani hosil qilamiz: 
                           


i
n
i
n
F
w
m
w
w
w
m











1
2
1
...
                                              (2.8)                                         
  
Kuchlar  ta`sirining  o`zaro  bog`liqmasligi  degani  bir  nuqtaga  qo`yilgan 
kuchlaning  o`zaro  bog`liqmasligi  degani  emas.  Masalan  ta`sir  etuvchi  kuchlar 
orasida  bog`lanish  reaksiyalari  ham  bo`lsa,  bu  kuchlar  hamma  vaqt  aktiv 
kuchlardan  bog`liq. 
 
 
3. Mexanik kattaliklarning birliklar sistemasi. 
  
 Mexanik  kattaliklarni  o`lchashda  ikkita  birliklar  sistemasi  qo`laniladi!  Fizik  va 
texnik birliklar sistemasi. 
 
Fizik  fiziklar  sistemasida  asosiy  birliklar  sifatida  uzunlik  birligi,  massa  va 
vaqt  birliklari  qabul  qilingan,  kuch  birligi  hosilviy  birlik  sifatida  topiladi. 
Dinamikaning asosiy tenglamasidan: 
 
 
                 
tezlanish
massa
Kuch


       
  
 
 
        
tezlanish
massa
Kuch


 
bundan  
 




.
2
2
1
1
vaqt
massa
Uzunlik
T
M
L
F




  olinadi.               
 
Bunday  o`lchov  birliklar  sistemasiga  SI  xalqaro  olchov  birliklari:  metr, 
kilogramm massa va sekund. Kuchning o`lchov birligi 
  
                        
.
/
1
/
1
1
1
2
2
sek
kgm
sek
m
kg
N



  
 Ikkinchi birliklar sistemasida asosiy birliklar sifatida  uzunlik, kuch  va  vaqt qabul 
qilingan,  massa  hosilaviy  birlik  sifatida  topiladi.  Bunday  birliklar  sistemasiga 
texnikada  ko`p  tarqalgan    MKGS  (texnik  birliklar  sistemasi)  sistemasi  kiradi. 
Bunda asosiy birliklar: 
metr,  kilogram  kuch  va  sekund.  Bu  sistemada  massaning  o`lchov  birligi  
,
,
1
2
m
sek
kg
   yani  1kg kuch ta`siridan  
2
/
1
sek
m
 tezlanish oladigan massa  
    SI va MKGS sistemalarida kuch birliklari orasida quyidagi munosabatlar o`rinli: 
 
                       
                         
N
massa
kg
81
,
9
,
1

    yoki      
.
,
102
,
0
1
massa
kg
N 
 
 

 
119 
z 
)
;
;
(
z
y
x
M
n
F

W

 
2
F

1
F

F

z
O 
y
x
y
x
1-shakl
  Chekli  yoki  cheksiz  sondagi  moddiy  nuqtalar  to`plamiga  moddiy  nuqtalar 
sistemasi deyiladi. Moddiy nuqtalar sistemasi har bir nuqtasining  harakati qolgan 
nuqtalarining  holati  va  harakatiga  bog`liq  bo`lsa,  bunday  sistemaga  mexanik 
sistema deyiladi. Qandaydir usul bilan o`zaro bog`langan moddiy jismlar to`plami 
ham mexanik sistemani hosil qiladi. 
 
Moddiy  nuqtalar  sistemasi  nuqtalarining  o`zaro  joylashishi  hamma  vaqt 
o`zgarishsiz qolsa, bunday sistemaga absolyut qattiq jism deyiladi. 
 
Mexanik  sistema  yoki  qatiq  jism  chekli  yoki  cheksiz  sondagi  moddiy 
nuqtalardan  zarrachalardan  tashkil  topganligi  uchun  dinamikani  o`rganishni 
moddiy nuqta dinamikasini o’rganishdan boshlash kerak bo’ladi.                 
 
 
4. Moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari.
 
 
 
Moddiy nuqta, massa, kuch, radius, vektor, trayektoriya, tezlik va tezlashish. 
 
 
Moddiy  nuqtaning  fazodagi    holati  biror  koordinatalar  sistemasida  o’zining 
radius-  vektori 
r

  bilan  aniqlanadi.  Nuqtaga  ta’sir  etuvchi 
F

  kuch  nuqtaning 
holatiga,  tezligiga  va  vaqtga  bog’liq  bo’lishi  mumkin.  Moddiy  nuqtaga  bir 
vaqtning  o’zida  bir  necha  kuchlar  sistemasi 


n
F
F
F
,...,
,
2
1
  ta’sir  etayotgan  bo’lsa, 
kuchlar ta’sirining bog’liqmaslik qonuniga asosan harakatni kuchlar sistemasining 
geometrik  yig’indisi 
i
F
F



  kuch  ta’siridan  hosil  bo’ladigan  harakat  deb  qarash 
mumkin. (1-shakl). Shunday qilib, umumiy holda dinamikaning asosiy  
tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: 
                 







t
dt
r
d
r
F
dt
r
d
m
,
,
2
2




                                              (4.1) 
 
Nuqta  massasi,  radius-vektori  va  ta`sir  etuvchi 
kuchlar  orasidagi  bog`lanishni  ifodalovchi  bu  tenglama 
nuqta  harakat  differensial  tenglamasining  vektor 
ko’rinishini ifodalaydi.                               
  (4.1)  tenglama    uchta    skalyar  tenglamalar  
sistemasiga    ekvivalent    bo`ladi.  Koordinatalar 
sistemasini 
tanlab 
(4.1) 
tenglamani 
tanlangan 
koordinatalar  sistemasi  o`qlariga  proyesiyalab,  har  xil 
ko`rinishdagi skalyar tenglamalar sistemasinihosil qilish 
mumkin.  
 
Masalan  (4.1)  tenglamani qo’zg’almas dekarat 
koordinatalar sistemasi  o`q-lariga  proyeksiyalaymiz: 
                     
,
x
F
x
m 

      
,
y
F
y
m 

          
,
z
F
z
m 

                                   (4.2) 
Bu yerda  
z
y
x






,
,
-lar tezlanishning koordinata o`qlaridagi proyeksiyalari, 
z
y
x
F
F
F
,
,
 
-lar  ta`sir etuvchi kuchni o`sha o`qlardagi proyeksiyalari.  
 
Agar  moddiy  nuqtaning  harakati  tabiiy  koordinatalar sistemasiga nisbatan 
qaralayotgan bo’lsa,  (4.1) tenglamani  tabiiy koordinatalar sistemasi o`qlariga pro-
yeksiyalaymiz: 

 
120 
 
             
,


 F
mw
   
,
n
n
F
mw 
   
,
b
b
F
mw 
                                          (4.3) 
Bu yerda   
b
n
F
F
F
,
,

 -lar  kuchning urinma,  bosh narmal va benormaldagi proyek-
siyalari. 
 
 
Kinematikadan bizga ma’lumki:  
,
2
2
dt
s
d
w 

    
,
1
2
2








dt
ds
w
n



       
.
0

b
w
  

 ularni (4.3) tenglamamalarga qo`yamiz u holda  
                             
,
2
2

F
dt
S
d
m

     
,
2
n
F
dt
dS
m








  
b
F

0
                                  (4.4)   
 Bu erda 

 -traektoriyaning berilgan nuqtasidagi egrilik radiusi.  
(4.4) tenglamalarning oxirgisidan ko’rish mumkinki,   F  -kuch urinma tekis-
likda yotadi. 
 
Agar  nuqtaning  harakati  tekislikda  qaralayotgan  bo`lsa,  qutb  koordinata-
laridan foydalanish mumkin. Buning uchun  (4.1) tenglamani qutb koordinatalariga  
proyeksiyalaymiz: 
                      


,
2
r
F
r
r
m






      




F
r
dt
d
r
m



2
                                            (4.5) 
         Bu yerda

F
F
r
,
-lar kuchning radius-vektor yo`nalishi va ungaper pendikulyar 
yo`nalishlardagi proeksiyalari. 
 
(4.1)  tenglamani  ixtiyoriy   egri c hiziqli  koordinatalar sistemasi (silindirik, 
sferik va h.k ) o`qlariga proyeksiyalash ham mumkin.