Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

2-teorema.  Tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi  ilgarilanma  bo’lmagan  har  qanday  chekli  ko’chishini  chekli 
aylanish markazi deb ataluvchi markaz atrofida bir marta burish bilan hosil qilish mumkin.  
 
Isbot.  Tekis  shaklning  ixtiyoriy  ikkita 
1
1
B
A
  va 
2
2
B
A
  kesmalar  bilan  aniqlangan 
1
П
  va 
2
П
  holatlari 
berilgan bo’lsin (170-shakl). 
 
Agar  O  chekli  aylanish  markazi  mavjud  bo’lsa,  bu 
shunday nuqta bo’ladiki, bu nuqta 
1
A
 va 
2
A
 nuqtalardan 
bir  xil  uzoqlashgan  bo’ladi,  xudi  shunday 
1
B
va 
2
B
 
nuqtalardan ham  bir xil uzoqlashgan bo’ladi (170-shakl), 
ya’ni 
;
2
1
OA
OA 
2
1
OB
OB 
.  
Demak,  O  aylanish  markazi 
2
1
A
A
va 
2
1
B
B
  kesmalar  o’rtalaridan  chiqarilgan  perpendikulyarning  kesishish 
nuqtasi  bo’lar  ekan.  O nuqta  aylanish markazi  ekanini  ko’rsatamiz.  Haqiqatdan ham, 
O
A
O
A
2
1

,
O
B
O
B
2
1

, 
2
2
1
1
B
A
B
A

  bo’lgani  uchun 
2
1
2
1
OB
B
OA
A



.  Demak, 
1
1
B
A
  kesmasi  O  markaz  atrofida 
2
1
2
1
OB
B
OA
A






  burchakka  burish  bilan  tekis 
2
2
B
A
  holatga  va  demak  shaklni 
1
П
  holatdan 
2
П
 
holatga o’tkazishi mumkin. 
 
Shuni aytish kerakki 


 burchak 
1
1
B
A
 va 
2
2
B
A
 kesmalar orasidagi burchakka teng va bu burchak 1-
teoremaga asosan qutbni tanlanishiga bog’liq emas. 
 
Isbotlangan  ikkita  teoremadan  tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi  harakati  haqida  quyidagi  xulosaga  kelish 
mumkin: 
1)  1-teoremaga asosan tekis shaklning o’z tekisligidagi har qanday harakatini qutb deb ataluvchi nuqta bilan 
birgalikdaga chekli ilgarilanma ko’chishlari va qutb atrofidagi chekli burishlarining uzluksiz ketma-ketligidan iborat 
deb qarash mumkin. 
1
П
 
1
В
 
1
A
 
2
A
 
2
П
 
2
B
 
3
П
 
3
A
 


 
169-shakl 
1
П
 
1
В
 
2
A
 
2
П
 
2
B
 
1
A
 


 
O 
170-shakl 

 
106 
2)  2-teoremaga  asosan  tekis  shaklning  har  qanday  ilgarilanma  bo’lmagan  elementar  ko’chishini  oniy 
aylanish  markazi  deb  ataluvchi  markaz  atrofida  bir  marta  elementar  burchakka  burish  bilan  hosil  qilish  mumkin. 
Bundan  quyidagicha  xulosa  qilish  mumkin:  tekis  shaklning  o’z  tekisligidagi  ixtiyoriy  ilgarilanma  bo’lmagan 
harakatini oniy aylanish markazlari atrofidagi elementar burishlar ketma-ketligidan iborat deb qarash mumkin. 
 
Tekis shaklning harakati davomida oniy aylanish markazining holati qo’zg’almas tekislikda ham,  shaklga 
mahkamlanga tekislikda ham uzluksiz o’zgarib boradi. 
 
Oniy  aylanish  markazi  atrofidagi  aylanma  harakat  burchak  tezligi 

ga  oniy  burchak  tezlik,  burchak 
tezlanishi 

ga oniy burchak tezlanish deyiladi. 
 
Tezlik  vektori  aylanish  radiuslariga  perpendikulyar  bo’ladi  (aylanish  radiusi  nuqtadan  aylanish 
markazigacha bo’lgan masofa) (171-shakl). Tekis shaklning oniy aylanish markazi P nuqtaning qaralayotgan ondagi 
tezligi nolga teng bo’ladi. 
 
Tekis  shaklning  oniy  aylanish markazini  topish  uchun  uning  ikkita  nuqtasi  tezligining  yo’nalishini  bilish 
yetarli. Bu nuqtalar tezliklaridan chiqarilgan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi oniy aylanish markazi bo’ladi. 
Oniy  aylanish  markazining  qo’zg’almas  tekislikda  qoldirgan  iziga  qo’zg’almas  sentroida,  shaklga 
mahkamlangan  tekislikda  qoldirgan  iziga  qo’zg’aluvchi  sentroida  deyiladi  (172-shakl). 
  bilan  qo’zg’almas 
sentroida, 
 bilan qo’zg’aluvchi sentroidani belgilaymiz, oniy aylanish markazini 
 bilan belgilaymiz. 
Qaralayotgan  onda  oniy  aylanish  markazining  qo’zg’almas  tekislikdagi  o’rni 
  bilan  qo’zg’aluvchi 
tekislikdagi  o’rni 
  oniy  aylanish  markazi 
  bilan  ustma-ust  tushadi  (172-shakl).  Cheksiz  kichik 
t

vaqtdan 
keyin  oniy  aylanish  markazi  boshqa  nuqtaga  o’tadi, 
  va 
  nuqtalar  ajraladi. 
Qo’zg’almas  sentorida  qo’zg’almas 

O
  tekisligiga  nisbatan  qo’zg’amas  egri  chiziq 
bo’ladi. Qo’zg’aluvchi sentroida shaklga mahkamlangan tekislikka nisbatan qo’zg’almas,

O
  tekislikka  nisbatan  qo’zg’aluvchi  tekislik  bilan  birgalikda  qo’zg’aluvchi  yegri 
chiziq  bo’ladi.  Qo’zg’aluvchi  va  qo’zg’almas  sentroidalarning  urunish  nuqtasi  qaralayotgna  onda  oniy  aylanish 
markazi bo’ladi. 
Tekis  shaklning  harakati  vaqtida  qo’zg’aluvchi  sentroida  qo’zg’almas  sentroida  ustida  sirpanmasdan 
yumalaydi va ularning urunish nuqtasi qaralayotgan onda oniy aylanish markazi bo’ladi. Masalan, D disk d to’g’ri 
chiziq  bo’ylab  sirpanmasdan  yumalayotgan  bo’lsa,  d  to’g’ri  chiziq  qo’zg’almas  sentroida,  D  disk  aylanasi 
qo’zg’aluvchi sentroida bo’ladi, ularning urunish nuqtasi oniy aylanish markazi bo’ladi. 
2. Tekis shakl nuqtalarining tezliklari 
2 
1 
P 
2 
1 
P 
2 
1 
D 
d 
173-shakl 
1


 
2


 
1
A
 
2
A
 
3
A
 
3


 
n
A
 
z

 
n


 
P 
171-shakl 
2 
P 
1 

 
O  

 
172-
shakl 

 
107 
174-shakl 

M 
r
 
P 
M

P


A 
Tekis  shaklning  harakatini 

A
  qo’zg’almas  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  qaraymiz.  Shaklning 
qutb  nuqtasi  P  va  ixtiyoriy  nuqtasi  M  ning 

A
  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  holati 
P


  va 
M


  radius-
vektorlar bilan aniqlansin (174-shakl). U holda 
P


, 
M


va 
r

vektorlar orasida quyidagi munosabat o’rinli: 
r
p
M







  . 
 
 
(8.22.1) 
Bu tenglikning ikala tomonini vaqt bo’yicha diferensiallaymiz: 
dt
r
d
dt
d
dt
d
p
M







.        
 
 
(8.22.2) 
const
r
PM


  bo’lgani  uchun 
r

vektor  shaklining  harakati  vaqtida  faqat 
yo’nalishi  bo’yicha  o’zgaradli.  Eyler  formulasiga  asosan 
r
dt
r
d






,  bundan 
tashqari 
P
P
M
M
dt
d
dt
d










,
.  Natijada  (8.22.2)  tenglikdan  quyidagi 
formulaga kelamiz: 
r
P
M










     
 
yoki  
 
MP
P
M








.     
 
  (8.22.3) 
Tezliklarni  qo’shish  teoremasiga  asosan  tekis  shakl  ixtiyoriy  M  nuqtasining  tezligi  qutb  nuqtasining 
p


 
tezligi,  ya’ni  ilgarilanma  harakat  tezligi  bilan  qutb  atrofidagi  aylanma  harakat 
r
MP







  tezliklarining 
yig’indisiga teng. 
MP


  vektor 
MP
kesmaga  perpendikulyar  bo’lib,  shaklning  aylanish tomoniga  qarab  yo’nalgan 
bo’ladi (175-shakl) va moduli 
PM
MP




 ga teng. 
Demak, tekis shakl birorta P nuqtasining tezligi va bu nuqta atrofida aylanma harakat burchak tezligi 

 
berilgan bo’lsa, uning ixtiyoriy nuqtasining tezligini topish mumkin (175-shakl). 
Tezliklarni topishning boshqa usuli quyidagi teoremadan kelib chiqadi. 
1-teorema. Agar tekis shakl bitta nuqtasining tezligi va boshqa bitta nuqtasi tezligining yo’nalishi berilgan 
bo’lsa, oniy aylanish markazidan foydalanib, tekis shakl ixtiyoriy nuqtasining tezligini topish mumkin. 
Isbot.  Tekis  shakl  bitta  A  nuqtasining  tezligi  va  boshqa  bitta  B  nuqtasi  tezligining  yo’nalishi  berilgan 
bo’lsin  (176-shakl).  A  va  B  nuqtalardan  ularning  tezliklariga  perpendikuliar to’g’ri  chiziqlar  chizamiz.  Bu  to’g’ri 
chiziqlarning kesishish nuqtasi P shaklning oniy aylanish markazi bo’ladi. P nuqtaga nisbatan A nuqtaning tezligi 
quyidagicha bo’ladi (176-shakl):  
PA
A




. 
Bundan, oniy burchak tezlik 

 ni topamiz: 
P


 
M


 
M 
p


 
90
MP


 

  p 
175-shakl
M
M


A 
A


 
B

 
P
176-shakl 

 
108 
PA
A



. 
 
 
 
 
(8.22.4) 
Endi ixtiyoriy M nuqtaning tezligini topamiz: 
 
PA
PM
PM
A
M







. 
 
 
 
(8.22.5) 
M


 tezlikning yo’nalishi 
PM
 vektorga perpendikulyar bo’ladi. 
(8.22.5)  tenglikdan  ko’rinib  turibdiki,  tekis  shakl  nuqtalarining  ixtiyoriy  paytdagi  tezligi  oniy  aylanish 
markazidan nuqtagacha bo’lgan masofaga proporsional bo’lar ekan. 
Agar  tekis  shakl  berilgan  nuqtalarning  tezliklari 
A


  va 
B


  lar  parallel  bo’lsa,  yuqoridagi  teorema 
ma’nosini yo’qotadi. Bunday holda quyidagi ikkita holdan bittasi o’rinli bo’ladi. 
1) 
B
A




II
  bo’lib,  A  va  B  nuqtalar  bitta  umumiy  perpendikulyarda  yotmasin  (177-shakl).  Shakldan 
ko’rinib turibdiki bu holda oniy aylanish markazi cheksizlikda bo’ladi va (8.22.4) tenglikdan 
0


. Demak, shakl 
bu holda oniy ilgarilanma harakatda bo’lar ekan. 
2) 
B
A




II
 bo’lib, A va B nuqtalar bitta umumiy AB perpendikulyarda yotsin (178-shakl). Bu holda oniy 
aylanish  markazini  topish  uchun 
A


  va 
B


tezliklarning  modullarini  ham  bilish  kerak  bo’ladi. 
A


  va 
B


 
vektorlarning uchlari orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq bilan AB to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasi 
oniy aylanish markazi bo’ladi (178-shakl). (8.22.5) formuladan: 
PB
B



PA
A
. 
 
Demak,  bu  holda  tekis  shakl  ixtiyoriy    nuqtasining  tezligini  topish  uchun  ikkala  A  va  B  nuqtalar 
tezliklarining ham yo’nalishi, ham moduli berilgan bo’lishi kerak. 
 
Agar 
B
A





 bo’lsa, bu holda yana tekis shakl oniy ilgarianma harakatda bo’ladi. 
 
2-teorema.  Tekis  shakl  o’zgarmas  kesmasi  uchlarining  tezliklarini  kesma  yo’nalishidagi  proeksiyalari 
o’zaro teng. 
 
Isbot.  AB  kesma  uchlarining  tezliklari 
A


  va 
B


bo’lsin  (179-shakl).  A  va  B  nuqtalardan  ularning 
tezliklariga perpendikulyarchiziqlar chizamiz, ularning kesishish nuqtasi P oniy aylanish markazi bo’ladi. Agar AB 
kesmaning  oniy  aylanish  burchak  tezligi 

  bo’lsa,  A  va  B  nuqtalarning  tezliklari 
PB
PA
B
A








,
 
bo’ladi. 
Ularning AB kesmadagi proyeksiyalari quyidagicha bo’ladi:  
B
A
A

177-
shakl 
A 
A


B


B 

 
p 
178-shakl 

 
109 
,
cos
cos
)
(
,
cos
cos
)
(
h
PB
B
B
h
PA
A
A
B
AB
B
A
AB
A




























 
bu  yerda  h  179-shakldan  ko’rinib  turibdiki  P  nuqtadan  AB  kesmagacha  bo’lgan 
masofa. Demak, 
AB
B
AB
A
)
(
)
(





. 
 
3. Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlari 
 
 
Tekis  shakl  ixtiyoriy  M  nuqtasining  tezligi  (8.22.3)  formulaga  asosan 
quyidagicha topiladi: 
r
P
M










, 
bu yerda 
M
PM
r



 nuqtaning P nuqtaga nisbatan radius-vektori (174-shakl). Bu tenglikning ikkala tomonini 
vaqt bo’yicha differensiallaymiz: 
)
(
)
(
dt
r
d
r
dt
d
dt
d
dt
d
P
M















. 
 
 
 
 
(8.23.1) 





dt
d
 miqdor shaklning burchak tezlanish vektori bo’lib, bu vektor shakl tekisligiga perpendikulyar yo’nalgan 
bo’ladi. 
r
dt
r
d






 Eyler formulasi, 
r




 va 
0

 r



larni e’tiborga olib, quyidagini hosil qilamiz: 
r
r
r
r
dt
r
d












2
)
(
)
(
)
(


















. 
Natijada (8.23.1) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: 
r
r
W
W
P
M





2
)
(






. 
 
 
 
 
(8.23.2) 
r
x
W
MP






)
(
    
va  
r
W
n
MP


2
)
(



   
 
 
 
(8.23.3) 
miqdorlar  shaklning  P nuqta atrofidagi  aylanma harakatining  urinma  va  markazga intilma  (normal) tezlanishlarini 
ifodalaydi. Shunday qilib, (8.23.2) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: 
)
(
)
(
n
MP
MP
P
M
W
W
W
W








 
 
 
 
 
(8.23.4) 
yoki  
MP
P
M
W
W
W





, 
 
 
 
 
(8.23.5) 
bu yerda 
)
(
)
(
n
MP
MP
MP
W
W
W






.  
 
Shunday  qilib,  tekis  shakl  ixtiyoriy  nuqtasining  tezlanishi  qutb  nuqtasining  tezlanishi  bilan  qutb  nuqtasi 
atrofidagi aylanma harakatlari tezlanishlarining geometrik yig’indisiga teng.
r




 va 
PM
r 

 bo’lgani uchun  
,
)
(



 MP
W
MP

      
,
2
)
(


 PM
W
n
MP

     
4
2




 PM
W
MA
  
 
 (8.23.6)  
bo’ladi. 
MP
W

 vektor bilan PM radius orasidagi 

burchak quiydagicha topiladi: 
2
)
(
)
(






n
MP
MP
W
W
tg
 . 
 
 
(8.23.7) 
 
P
A

h
B 

 
B


 
A


B
 
A
 
179-shakl 

 
110 
 
 
 
 
 
 
 
Nazorat savollari 
 
1.Qattiq jismning tekis-parallel harakati deb qanday harakatga aytiladi? 
2.Aylanma harakatdagi nuqtaning tezligi nimaga teng? 
3.Normal va urinma tezlanishlar qanday yo`naladi va ularning modullari 
nimaga teng? 
4.A.Q.J. deb qanaqa jismga aytiladi? 
5.Dalamber teoremasi nima haqda? 
6.Shal  teoremasi nima deydi? 
7.Oniy aylanish markazi qaysi nuqtada joylashgan? 
8.Tezliklarning oniy markazi qanday topiladi? 
9.Tezlanishlarning oniy markazi qayerda joylashgan? 
10.Tekis shakl nuqtasining tezligi nimaga teng?  
 
 
  
 
                                          Xulosa 
 
 
Qattiq  jismning  tekis-parallel  harakati  mexanik  harakatlarning  bir  turi 
bo`lib,  amaliy  masalalarda,  fizik  va  texnikada  ko`p  uchraydi.Bunday  harakat 
murakkab  harakatlar  qatoriga  kiradi  va  uning  kinematik  xarakteristikalarini 
o`rganish  amaliyotda  o`ta  muhim  rol  o`ynaydi.O`zgarmas  tekis  shaklning 
harakatini  kinematik  nuqtai  nazardan  qaraganda    qo`zg`aluvchan  tekislikning 
qo`zg`almas  tekislikka  nisbatan  harakatini  o`rganish  kerak  boladi.Bu  masala 
nazariy  mexanikaning asosiy  masalalridan biri bo`lib, amaliyotga  bevosita aloqasi 
mavjud.  
 
 
 
 
 
 
 
 
10-Mavzu 
Nuqta dinamikasi. Asosiy tushunchalar. Nuqta harakatining 
differensiyal tenglamalari.Nuqta dinamikasining asosiy 

 
111 
masalalari. 
1.1.Mavzuning texnologik modeli. 
1.2. “Nuqta dinamikasi.  Nuqta harakatining differensial tenglamalari. Nuqta 
dinamikasining asosiy masalalari ” mavzusining texnologik xaritasi. 
Ish 
 
Tingloichi faoliyatining 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot shakl 
Ma’ruza (axborotli dars) 
Mavzu   rejasi 
 
1.  Dinamika fani. Dinamika rivojlanishining qisqacha tarixi. 
2.  Mexanikaning asosiy qonunlari. 
3.  Mexanik kattaliklar sistemasi. 
4.  Moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari. 
5. 
Nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi
. 
O`quv mashg`ulotning 
 maqsadi 
Nuqta dinamikasining asosiy qonunlari va ikkita 
asosiy masalasi haqida, nuqta harakatining differensial 
tenglamalari haqida tushuncha berish. 
 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
 Nuqta dinamikasining asosiy 
qonunlari haqida tushuncha berish. 
Nuqta dinamikasining asosiy qonunlari 
haqida tushunchaga ega.  
 Nuqta harakatining differensial 
tenglamalari haqida ma’lumot berish. 
 Nuqta harakatining differensial 
tenglamalarini eslab qoladi va 
amaliyotga qo`llay oladi. 
 Nuqta dinemikasining asosiy 
masalalari haqida tushuncha berish. 
 Nuqta dinamikasining asosiy 
masalalarini yoddan biladi. 
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord texnikasi,aqliy 
hujum. 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 

 
112 
bosqich-
lari 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
mazmuni 
 
1-
bosqich 
(20min) 
 
1.1 O`quv mashg`uloti mavzusi, 
savollarni va o`quv faoliyati 
natijalarini aytadi. 
1.2 Baholash me’zonlari (2-ilova) 
1.3 Pinbord usulida mavzu bo`yicha 
ma’lum bo`lgan tushunchalarni 
faollashtiradi. Pinbord usulida 
natijasiga ko`ra tinglovchilarning 
nimalarda adashishlari, xato qilishlari 
mumkinligining tashxizini amalga 
oshiradi (1-ilova). 
1.4  Mavzuni jonlashtirish uchun savollar 
beradi. (3-ilova). 
 
   Tinglaydilar.                    
 
    
   
 
 
 
 Tinglaydilar  
                                                                                                                                     
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
 
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 
2.2 Ma’ruza rejasining hamma savollar 
bo`yicha  tushuncha beradi (4-ilova). 
2.3 Ma’ruzada berilgan savollar 
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa 
beradi. (5-ilva). 
2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 
2.5 Talabalar ishtirokida ular yana bir 
bor takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
Tinglaydilar. 
UMK ga qarydilar 
UMK ga qarydilar 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhakama 
qiladilar. 
 
 
3- 
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
 
 
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi 
xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha olingan 
bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi 
ma’lum qiladi. 
3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni 
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 
ro`yxatini beradi. 
3.3 Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
UMK ga qarydilar 
 
Vazifalarni yozib oladilar.