Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

7 - masala  (I. V. Metcherskiy  32. 68).
  
H
9
,
4
 kuch  bilan  
sm
10
  ga 
cho`ziladigan  prujinaga  osilgan  va  massasi   
kg
96
,
1
 bo`lgan jism harakat vaqtida 
tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo`lgan qarshilikka uchraydi va  bu qar-
shilik  
c
M /
1
  tezlikda  
H
6
,
9
/
1
 ga  teng.  Boshlang`ich  paytda  prujina muvozanat 
holatidan   cm
5
  ga  cho`zilgan  va jism boshlang`ich tezliksiz harakatga 
keltirilgan. 
           Jismning harakat qonuni aniqlansin. 
           Yechish.  
H
9
,
4
 kuch prujinani  
sm
10
  ga cho`zsa,   sm
1
 cho`zish uchun                     
,
49
,
0
10
9
,
4
cm
H
cm
H

  ya’ni   
.
49
M
H
c 
 
    
,


R
    
c
M /
1


  bo’lganda  
H
R
96
,
1

 
          
;
6
,
9
/
1
/
1
6
,
9
/
1
2
M
C
C
M
kg
c
M
H







             
c
kg
6
,
9
/
1


 
 Jismning harakat differensial tenglamasi 

 
166 
                 
         
,
2
2
1
k
h
h





     
.
2
2
2
k
h
h





 
             
,
1
25
6
,
19
2
6
,
19
c
kg
gm
h
c
kg





               
.
5
,
25
96
,
1
,
49
2




k
kg
m
C
k
M
H
  
 Xarakteristik tenglamaning ikkala ildizi ham bir xil  va  
.
5
2
,
1


x
 U  holda  nuqta-
ning harakat tenglamasi quyidagicha bo`ladi:                               
                 


.
2
1
5
C
t
C
e
x
t



                                                                                   (a)  
    
                


.
5
5
2
1
5
t
t
ae
C
t
C
e
x







                                                                    (b) 
 Boshlang`ich shartlar:  
;
0

t
  
,
5
0
cm
x 
  
.
04
0

x
 Bularni   (a)  va  (b)  tenglama-
larga qo`yamiz:          
             
.
25
5
;
5
5
0
;
5
2
1
2
1
2
2
cm
C
C
cm
C
C
C
C











 
  Natijada  
              




.
1
5
5
5
25
5
5
cm
t
e
cm
t
e
x
t
t







  
  Harakat davriy bo`lmas ekan. 
 
            
4.  Moddiy   nuqtaning qarshiliksiz muhitdagi 
 
                          majburiy  tebranma harakati.  
 
   Massa, kuch, bikirlik, tezlik, tezlanish, ampletuda, tebranish chastotasi, tebranish 
davri, tebranish fazasi, rezonans, bieniya. 
          Moddiy  nuqtaning  tiklovchi  kuch  va  uyg`otuvchi kuchlar ta`siridagi hara-
katini qaraymiz.  Uyg`otuvchi  kuch  umumiy  holda  vaqtning  ixtiyoriy funksiyasi 
bo`lishi  mumkin. Bu  paragrafda  uyg`otuvchi kuchning praktikada muhim ahami-
yatga  ega  bo`lgan  oddiy  holini  qarash  bilan chegaralanamiz.  Uyg`otuvchi kuch 
vaqtning  garmonik  funksiyasi  ko`rinishida  berilgan  bo`lsin, ya`ni 




pt
HSin
. 
Uyg`otuvchi kuch amplitudasi, 

- uyg`otuvchi kuch chastotasi,  


 boshlang`ich   
fazasi.    
  
,
Cx
F
x


                





t
p
Sin
H
Q
x
. 
  
Nuqtaning 
harakat 
differensial 
tenglamasi 
quyidagi ko`rinishda bo`ladi: 
        







t
p
Sin
H
cx
x
m

 
 yoki                                                  
 


,
0
2




pt
Sin
H
x
k
x

                                                                                   (12.1) 
 bu yerda  
O 
M
F

x
x
22-shakl
Q


 
167 
   
,
2
m
c
k 
       
.
0
M
H
H 
 
 12.1) tenglamaning umumiy yechimi unga mos 
                       
0
2


x
k
x

                                                                                  (12.2) 
 Birjenili  tenglamaning  umumiy  yechimi va  (12.1)  tenglamaning birorta xususiy 
yechimlari  yig`indisiga teng.  (12.2)  tenglamaning  umumiy  yechimi quyidagicha 
bo`ladi: 
                     


,
1



kt
aSin
x
                                                                          (12.3) 
 bu yerda   a  va 

 lar integrallash o’zgarmaslari. 
     (12.1) tenglamaning xususiy yechimini 
                     





pt
ASin
x
2
       
 ko’rinishda axtaramiz. 
A
 noma’lum son. 
2
x
 va 
2
x
  larni   (12.1) tenglamag qo’yib,  
A
 ni topamiz: 
                















pt
Sin
H
pt
Sin
Ak
pt
Sin
Ap
0
2
2
  
 yoki 
                  












pt
Sin
H
pt
ASin
p
k
0
2
2
.     
 Bundan  
                     
2
2
0
p
k
H
A


. 
 Natijada xususiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi:                                
                      


.
2
2
0
2




pt
Sin
p
k
H
x
 
                                                     (12.4) 
          Shunday  qilib,  (12.1)  tenglamaning  umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda 
tasvirlanadi: 
                       




.
2
2
0







pt
Sin
p
k
H
kt
aSin
x
 
                                (12.5)                        
          (12.5) tenglama ikkita garmonik tebranma yig’indisini ifodalaydi: 
k  xususiy  chastotali  garmonik tebranma harakat  va  chastotasi uyg’otuvchi  kuch 
chastotasiga teng bo’lgan garmonik  tebranma harakatlar.   a  va 

 lar boshlang’ich  
shartlardan topiladigan shartlar. 
        Majburiy tebranish amplitudasi quyidagiga teng:                           
                            
.
2
2
0
p
k
H
A


                                         (12.6) 
 Ikkita hol uchun  (12.4)  formulani  (12.6)  dan foydalanib, yozamiz: 
          
p
k 
 - xususiy  tebranish  chastotasi  uyg’otuvchi  kuch  chastotasidan katta 
bo’lgan holda 
                          


.
2



pt
ASin
x
     (
p
k 
) 
         
p
k 
 - xususiy tebranish  chastotasi  uyg’otuvchi  kuch  chastotasidan kichik 
bo’lgan holda        
                          




.
2








pt
ASin
pt
ASin
x
   
p
k 
                     
Bulardan  quyidagi  xulosa  kelib  chiqadi:   
k
p    bo’lgan   holda  majburiy 

 
168 
tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasi bilan bir xil bo’ladi,  
k
p    bo’lgan holda 
majburiy tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasida   

 masofaga siljigan bo’ladi: 
          (12.6)  formulani  
k
p /


 almashtirib olib, quyidagi ko’rinishga keltiramiz:                          
                          
,
1
1
1
2
2
2
2
0









sT
x
c
H
k
H
A
                                       (12.7)  
 bu yerda  
cT
x
c
m 
 -nuqtaning muvozanat holatdan statik og’ishi, ya’ni nuqtaning 
uyg’otuvchi  kuch  eng katta qiymatga ega bo’lgan paytdagi og’ishi quyidagi belgi-
lashni kiritamiz: 
                                       
.
1
1
2





sT
x
A
 
  

 - miqdorga dinamikning koeffisienti deyiladi. 
         

 miqdor tebranish amplitudasining statik og’ishidan necha marta kattaligini 
aniqlaydi. 23-shaklda 

 ning 

ga bog’liqlik grafigi tasvirlangan. 
  Grafikdan ko’rinib turibdiki,  
1


k
p

  bo’lganda  dinamiklik  koeffisiyenti tez 
o’sib ketadi.  
      (12.5) ning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha hosila olamiz: 
                              




.
2
2
0








pt
Cos
p
k
H
kt
akCos
x
                            (12.8)  
  Boshlang’ich shartlar 
                                
;
0

t
       
,
0
x
x 
        
.
0
x
x

 
    
 ko’rinishda berilgan bo’lsin. 
        Berilgan boshlang’ich  shartlarni  (12.5)  va  (12.8) tenglamalarga qo’yamiz: 
        














Sin
k
k
H
k
x
aSin
Sin
k
H
x
aSin
Sin
k
H
aSin
x
Sin
k
H
aSin
x
)
(
.
2
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
0
















               (12.9)   
   (12.5) yechimni quyidagi ko’rinishda yozamiz:              


.
2
2
0
2
2
0
0
0


















pt
Sin
p
k
H
Sinkt
Cos
k
Coskt
Sin
p
k
H
Sinkt
k
x
Coskt
x
x

 
 
 
 
 
 
 
 
  

 
1
0
1
k
P /


23-shakl 
x
0
P

2
)
(
* t
A
 
t
k
P 

2
24-shakl

 
169 
(12.10)  yechimdagi   
.
2
2
0









kt
Sin
Cos
k
kt
Cos
Sin
p
k
H



 qo`shiluvchi  xususiy 
chastotali tebranishni ifodalaydi, demak hat 
0
0

x
  
.
0
0

x
 boshlang`ich shartlarda 
ham nuqta xususiy chastotali tebranishda ishtirok etar ekan. Bu tebranishlar ampli-
tudasi  boshlang`ich  shartlardan  bog`liq  emas. 
        Endi uyg`otuvchi kuch chastotasi xususiy chastotaga juda yaqin bo`lgan holni 
qaraymiz  (
k


). U holda  
0
0

x
 va 
.
0
0

x
 boshlang`ich shartlar uchun  (12.10) 
yechimni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin  (
,
1
/ 
k

  lekin   
0
2
2



k
): 
              













kt
Sin
pt
Sin
k
H
x
2
2
0
  
yoki 
 
            
,
2
2
2
2
2
0















t
k
tCos
k
Sin
k
H
x
    










2
k
                 (12.11) 
  
   (12.11) yechimda  
;
0

t
   
,
2
k



 
,
4
k



…   bo`lganda   
0
0

x
.  Bo`ladi,   
ya`ni 
,
2
k



 davr bilan nuqta o`zining muvozanat holatiga qaytadi. Uzunligi  
,
2
k



 ga teng bo`lgan vaqt oralig`ida tebranish o`sib kamayadi  (24-shakl). 
Bunday harakat--ga  biyeniya  hodisasi  deyiladi. Biyeniya holida tebranish 
uyg`otuvchi kuch chas-totasi bilan sodir bo`ladi.  Tebranish amplitudasi                
 
t
k
Sin
k
H
t
A
2
2
2
2
0
*





 
 davriy ravishda sekin o`zgaradi (24-shakl). 
         Endi xususiy tebranish chastotasi uyg`otuvchi kuch chastotasiga teng bo`lgan 
holni qaraymiz,  ya`ni  
k


.  Bu  holda  (12.1)  tenglamaning  xususiy  yechimini  
                     





pt
AtSin
X
                                         (12.12)  
ko`rinishda axtaramiz. (12.12) yechimni (12.1) tenglamaga qo`yib, quyidagi muno-
sabatni hosil qilamiz: 
                     










pt
Sin
H
pt
Cos
A
0
2
  
  Quyidagicha belgilash kiritamiz:  
,










t
p
t
 natijada  
                  




,
2
0








Sin
H
Cos
A
            
 yoki 
                  




.
2
0
0












Sin
Cos
H
Cos
Sin
H
Cos
A
    
    Bu tenglik 
                        


,
0
0




Cos
H
     





A
Sin
H
2
0


             
      

 
170 
   shartlarda ayniyatga aylanadi. Bunda  


,
0




Cos
   


1




Sin
 demak                      
                   
,
2
/
0

H
A 
                  
.
2





              
  Shunday qilib  
                      


.
2
0
2





pt
Cos
t
H
x
                                                              (12.13) 
   (12.1) tenglamaning umumiy yechimi 
                             
                         











pt
Cos
t
H
t
p
Sin
a
X
2
0
                                     (12.14) 
(12.13)  majburiy  tebranma  harakat  amplitudasi  
vaqtga  nisbatan  chiziqli qonun bilan cheksiz o`sadi (25-
shakl). 
       Bunday hodisaga rezonais hodisasi deyiladi. 
 Quyida nuqtaning majburiy tebranishiga doir 
Masalalar qaraymiz.                                                                               
  
8- masala. Massasi  m ga teng bo`lgan yuk bikirligi 
C ga teng bo`lgan prujinaning quyi 
B
 uchiga ilingan,  
prujinaning yuqori  uchi  
t
aSin
A


 qonuniga asosan 
ko`chadi  (26-shakl).   
kg
m
4
,
0

, 
,
/
2
,
39
m
H
C 
 
,
7
1

 c

  
cm
a
2

 deb olib, yukning majburiy tebranishi aniqlansin. 
          Yechish. Koordinatalar boshini yukning statik muvozanat holatiga olamiz. U 
holda prujinaning dinamik defarmatsiyasi  
t
aSin
x


ga  teng bo`ladi. Prujinaning 
elastiklik kuchi quyidagiga teng bo`ladi: 
                     


.
Sinpt
x
c
F
X



     
Statik muvozanat holatida prujinaning elastiklik kuchi yukning 
og`irlik kuchi bilan muvozanatlashadi, ya`ni 
                           
,
0



mg
c
cT

    
  
cT
 -prujinaning statik defarmatsiyasi. 
t
CaSin
Q
X



  
Yukning harakat differensial tenglamasi quyidagi 
ko`rinishda bo`ladi:                   
             
t
caSin
cx
x
m






  
  yoki                  
              
,
0
2
t
Sin
H
x
k
x





 
   (12.4) formulaga asosan yukning majburiy tebranishi quyidagicha bo`ladi:        
    
,
2
2
0
t
Sin
k
H
x




                      
.
0


 
 Bunga berilganlarni qo`yamiz:   
x
O
P
t
H
x
2
0

P
t
H
x
2
0


t
25-shakl 
A
Q

O 
F

x
M
26-shakl 
x
M
B

 
171 
  
,
4
1
)
49
98
(
4
,
0
2
2
,
39
)
(
)
(
2
2
2
2
2
0
cm
c
kg
cm
k
m
ca
k
m
H
M
H









    
c
kg
m
c
k
M
H
1
98
4
,
0
2
,
39
2



 
 Natijada                  
.
7
4
tcm
Sin
x 
 
    9-masala  (I.V.Metcherskiy 32.8).  
cx
Q


 tiklovchi kuch  va  
T
e
F
F



0
  kuch 
ta`sir  etayotgan    m  massasi  nuqtaning  to`g`ri  chiziqli  harakatini,  boshlang`ich 
paytda  nuqta  uzining  muvozanat  holatida  teng  turgan  deb  toping. 
        Yechish. Nuqtaga ta`sir  etayotgan kuchlar: 
1
F

 
elastiklik kuchi,
T
e
F
F



0

 uyg'otuvchi kuch,  mg - 
og`irlik kuchi.                                               
       Kuchlarning  x o’qidagi proeksiyalari:                    
                    
cx
F
X


1
,  
T
e
F
F



0
1
,  
.
0
)
(

X
g
m

 
  Nuqtaning harakat differensial tenglamasini tuzamiz:         
            
t
e
F
cx
x
m

0




   yoki   
.
0
2
t
e
m
F
x
K
x




                                               (a)  
(a)  tenglamaning umumiy yechimi  
,
2
1
X
X
X


  ya’ni  (a) tenglamaga mos bir 
jinsli tenglamaning umumiy  yechimi  va (a) tenglamaning birorta xususiy yechim-
lari  yig’indisidan  iborat. 
                           
,
1
BSinkt
ACoskt
x


                                                              (b)   
 bu yerda  
.
2
m
c
k 
  Xususiy yechimni quyidagi ko’rinishda axtaramiz: 
                        
.
2
2
2
t
t
Ce
x
Ce
x











 
 Buni (a) tenglamaga qo’yamiz: 
                    




.
2
2
0
0
2
2











k
m
F
C
e
m
F
e
K
C
t
t
 
 Natijada  
                    


.
2
2
0
2
t
e
k
m
F
x





 
(a) 
tenglamaning umumiy yechimi: 
                     


.
2
2
0
t
e
k
m
F
Sinkt
ACoskt
x








                                             (v) 
     Boshlang’ich shartlar:      
;
0

t
   
0
0

x
,  
0
0

x
    
                       
             


.
2
2
0
t
e
k
m
F
kCoskt
AkSinkt
x










