Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

3. Nuqtaning qarshilik ko`rsatuvchi  muhitdagi erkin 
tebranishi  
17-shakl 
1
C
 
1
d
2
d
2
C
 
Q
a) 
1
F

F

 
2
F

 
O
1
d
 
2
d
 
2
P

x 
b)

 
160 
         Moddiy nuqtaning masofaga proporsional bo`lgan
F

 tiklovchi kuch va  nuqta 
tezligiga bog`liq bo`lgan qarshilik kuchlari ta`siridagi harakatini qaraymiz. 
Muhitning qarshilik kuchini nuqta tezligiga proporsional va tezlikka qarama-qarshi  
yo`nalgan  deb olamiz,  ya`ni   






R
   (18-shakl). 
 
Koordinatalar boshi  O  nuqtani yukning 
muvozanat holatida olib,   x   o`qini trayektoriya bo`ylab 
yo`naltiramiz.  
Tiklovchi kuchning dinamik qiymati: 
                  
.
x
c
F 
                                         
          Bu  holda  nuqtaning  harakat  differensial  tenglamasi  quyidagi  ko`rinishda 
bo`ladi: 
                        
,
x
cx
x
m







   yoki     
,
0
2
2



x
k
x
h
x



                            (11.1) 
  bu yerda  
                                 
,
2
m
h


            
.
2
m
c
k 
   
          (11.1)  tenglama  moddiy nuqtaning qarshilik va tiklovchi kuchlar ta`siridagi 
harakat differensial tenglamasini ifodalaydi. 
          (11.1) tenglamaning  xarakteristik  tenglamasi  va uning ildizlari 
quyidagicha bo`ladi: 
               
              
,
0
2
2
2



k
h


  
,
2
2
1
k
h
h





  
.
2
2
2
k
h
h





        (11.2) 
                
m
c
k 
  miqdor nuqtaning xususiy tebranish chastotasi muhitning 
qarshilik koerdisiendan katta bo`lsin,  ya`ni   
n
k  .  U holda   
,
0
2
2

 k
h
  
bo`ladi. 
            
2
2
2
1
h
k
k


 belgilashni kiritsak,  xarakteristik tenglamaning ildizlari.                         
,
1
1
ik
h 



        
1
2
ik
h 



 
  Ko`rinishda  bo`ladi. 
      Bu  holda  (11.1)  tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: 
                        


,
1
2
1
1
t
Sink
C
t
Cosk
C
e
x
ht



                                                   (11.3) 
  yoki 
                      


.
1




t
k
Sin
ae
x
ht
                                                                   (11.4)  
           
1
C
  va   
2
C
  yoki   
,
a
  va 

  integrallash  o`zgarmaslari  boshlang`ich 
shartlardan topiladi.  Boshlang`ich  shartlar                     
                
;
0

t
   
,
0
x
x 
   
0
0
x


                                                                     (11.5)  
  Ko`rinishda berilgan bo`lsin. 
      (11.4) dan vaqt  bo`yicha bir marta hosila olamiz:                                  
           



.
)
(
(
1
1
1








t
k
Cos
k
t
k
hSin
ea
x
ht
                                            (11.6) 
                 (11.5)  boshlang`ich   shartlarni   (11.4)  va  (11.6)   tenglamalarga 
qo`yamiz:    
 
O
M
F

x
x
18-shakl 
R



 

 
161 
              















,
1
2
0
0
2
0
1
0
0
k
hx
x
x
A
Cos
a
k
Sin
h
x
aSin
x





                        (11.7)                 
                    
.
0
0
1
0
hx
x
k
x
tg




 
  (11.8) 
          (11.4)  formuladan  ko`rinib  turibdiki moddiy nuqtaning harakati davriy tak-
rorlanuvchi harakat,  ya`ni tebranma harakatdan iborat bo`ladi.  Vaqtning  ixtiyoriy 
paytida 
                                
ht
ae
x


    
 tengsizlik   o`rinli,   ya`ni    x   koordinata   x   o`qiga   nisbatan  simmetrik  bo`lgan 
ht
ae
x


   va   
ht
ae
x



 egri chiziqlar orasida bo`lar ekan. 
  
ht
ae

  ga  tebranish  amplitudasi deyiladi. Tebranish amplitudasi vaqt o`tishi bilan 
cheksiz kamayadi.  
         Bunday  ko`rinishdagi  tebranishga  so`nuvchi tebranish deyiladi.  (19-shakl).  
                                
2
2
1
h
k
k


                                                                     (11.9) 
ga  so`nuvchi tebranish chastotasi deyiladi. 
        Nuqtaning bir tomonga qarab ketma-ket ikki marta og`ishlari orasidagi o`tgan 
davrga tebranish davri deyiladi. So`nuvchi tebranish davri 
                 
.
2
2
2
2
1
1
h
k
k
T





                                                               (11.10)  
 Buni boshqacha ko`rinishda ham tasvirlash mumkin:                
                      




,
/
1
/
1
2
2
2
1
k
h
T
k
h
k
T





                                             (11.11)  
  bu yerda   
k
T
/
2


  xususiy tebranish davri. 
 Moddiy nuqtaning muvozanat holatdan ketma-
ket og`ishlari ketma-ketligi  
 
i
A
 ni qaraymiz.  
                


,




i
hti
i
kt
Sin
ae
A
    
.
)
(
1
2
/
1
T
t
h
i
i
ae
A




 
               
.
2
/
1
)
2
/
1
(
1
hT
hti
i
i
e
ae
ae
A
A
T
i
t
h







        (11.12)   
i
i
A
A /
1

 nisbat o`zgarmas va birdan kichik 
bo`lgani uchun
 
i
A
 amplitudalar ketma-ketligi  
maxraj   
2
/
1
5
hT
e
d


  ga  teng  bo`lgan  kamatuvchi geometrik progressiyani tashkil 
qilar ekan. 
  
.
2
/
1
hT
e
d


  miqdorga tebranish dekrementi deyiladi.                     
2
/
1
ln
hT
d
D



 miqdorga logariflik dekrement deyiladi.   
           2- hol.  Muhitning  qarshilik  koeffisiyenti,  xususiy tebranish chastodasidan 
katta bo`lsin ya`ni   
k
h  .  Bu  holda  xarakteristik  tenglamaning ikkala ildizi ham 
haqiqiy manfiy bo`ladi, ya`ni 
 
x 
0
x
O
2
T
 
1
T
ht
ae
x


ht
ae
x



t
i
t
19-shakl

 
162 
             
,
2
2
1
k
h
h





       
,
2
2
2
k
h
h





  
         Bu holda (11.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko`rinishda bo`ladi.           
                             


,
*
*
t
k
t
k
ht
e
Ae
e
x





                                                        (11.13) 
  Bu  yerda  
,
2
2
*
k
h
k


             
   (11.13) yechishni boshqacha ko`rinishda yozish ham mumkin 
              
                 


,
*
2
*
1
t
Sink
C
t
Cosk
C
e
x
ht



                                (11.14) 
  bu yerda  
,
2
2
1
C
C
A


      
,
2
2
1
C
C
B


 
A
 va 
B
 larni quyidagi ko`rinishda                   
,

aSin
A 
        

aCos
B 
   
almashtirib  (11.14)  yechimni quyidagicha ko`rinishda ham tasvirlash mumkin:                         
                 






t
k
Sin
ae
x
ht
*
                                                                       (11.15) 
           (11.15) tenglamadan ko`rinib turibdiki bu holda nuqtaning harakati 
tebranma bo`lmaydi,  chunki giperbolik sinus davriy funksiya emas.  Boshlang`ich 
tezlikning yo`nalishiga qarab, nuqtaning harakati 20-rasmlarda tasvirlangan egri 
chiziqlarning bari  bo`yicha sodir bo`ladi. 
3-hol. Muhitning ishqalanish koeffisienti xususiy tebranish chastotasiga teng 
bo`lsin,  ya`ni   
k
h  .  Bu holda xarakteristik tenglamaning ildizlari.                                    
                                       
h



2
1


. 
  Bo`ladi. (11.1) tenglamaning umumiy yechimi                     
                                   


2
1
C
t
C
e
x
ht



                                                          (11.16) 
Ko`rinishda bo`ladi. 
          (11.16) dan nuqtaning tezligini topamiz:                
                                


1
2
1
C
e
C
t
C
he
x
ht
ht







                                            (11.17) 
          (11.15) boshlang`ich shartlarni (11.16)  va  (11.17) tenglamalarga qo`yib, 
1
C
 
va  
2
C
 larni topamiz, ya`ni               
                             
,
0
2
x
C 
                
.
0
0
1
hx
x
C

 
                                    
 
          Bularni  (11.16) ga qo`yib,  nuqtaning berilgan boshlang`ich shartlarni qano-
atlantiruvchi harakat tenglamasini topamiz:    
x
0
x
O
t
x

0


a)
x
0
x
O
x

0


Boshlangich 
tezlik yetarlicha 
katta bo’lgan hol
t
b)
x
0
x
 
O
t
Boshlang’ich 
tezlik kichik 
bo’lgan hol 
c
20-shakl 

 
163 
                            




.
0
0
0
t
hx
x
x
e
x
ht





                                                      (11.18)   
         (11.18) yechimdan ko`rinib turibdiki nuqtaning harakati bu holda ham davriy 
bo`lmaydi,  ya`ni  nuqta  o`zining  muvozanat holatiga asimptotik ravishda intiladi. 
Quyida moddiy nuqtaning so`nuvchi tebranma harakatiga doir bir nechta masalalar 
qaraymiz. 
         5- masala (I.V.Metcherskiy 32.66).
 Massasi 
kg
5
 bo`lgan jism bikirlik 
koeffisienti  
m
kH /
2
 ga teng  prujinaga osilgan. Muhitning qarshilik kuchi tezlikka 
proporsional. To`rt marta tebranishdan keyin amplituda 12-marta kichraydi. Yukni 
cho`zilmagan prujina uchiga ilib,  boshlang`ich  tezliksiz  qo`yib yuborilgan 
bo`lsa, jismning harakat tenglamasi topilsin. 
          Yechish. Masalaning shartiga ko`ra: 
.
12
0

b
T
T
  
          Maxraji   


hT
e
 ga  teng  bo`lgan geometrik propressiyaning   n - hadini topish 
formulasiga asosan: 
                    
8
2
0
8
2
0
8
hT
hT
e
A
e
A
A












      
  Bundan  
                     
,
12
8
2
8
2
8
0
0
8
Lu
A
A
Lu
hT
A
A
Lu
hT





   
  bundan  
                       



31
,
0
8
12
ln
2
hT
          
.
62
,
0
h
T
                                                  (a) 
   (11.10) formulaga asosan: 
2
2
2
h
k
T



                                                                                  (b) 
(a) 
va (b) formulalardan: 
           






,
62
,
0
4
62
,
0
4
62
,
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2







k
h
h
k
h
 
 
                               
,
1
400
5
/
2000
2
2
c
kg
M
m
c
k
H



            
.
44
,
39
4
2


 
Bularga asosan.  
                                    
.
1
97
,
1
2
c
h 
 
(a) 
formuladan tebranish davri. 
                
                                
.
315
,
0
c
T 
 

 
164 
Tebranishning logarifmik dekrementi: 
                                
.
31
,
0
2


hT
d
 
    Endi so`nuvchi tebranish chastotasini topamiz: 
                                      
.
1
9
,
19
82
,
3
400
2
2
1
c
h
k
k





   
          (11. 3)   formuladan  foydalanib,  so`nuvchi  tebranma  harakat  tenglamasini 
yozamiz: 
                


.
1
1
97
,
1
t
k
BSin
t
k
ACos
e
x
t




                                                             (b) 
  Koordinatalar  boshini yukning statik  muvozanat holatiga olamiz. U  holda bosh-
lang`ich shartlar quyidagicha bo`ladi:                   
                              
;
0

t
       
,
0
ct
x


         
.
0
0

x
 
                            
.
45
,
2
/
2000
/
8
,
9
5
2
cm
M
H
c
kg
c
mg
M
ct





                                           (g)                                                         
(b) dan vaqt bo`yicha hosila olamiz:            
       




.
97
,
1
1
1
1
1
97
,
1
1
1
97
,
1
t
k
Cos
B
k
t
k
Sin
A
k
e
t
k
BSin
t
k
ACos
e
x
t
t







        (d) 
(g) boshlang`ich shartlarni (v) va (d) tenglamalarga qo`yiib 
A
 va 
B
 larni  topamiz: 
                    
.
242
,
0
9
,
19
97
,
1
45
,
2
9
,
19
97
,
1
0
45
,
2
cm
A
B
cm
A
B
A
A
eM














 
          Bularni  (b) tenglamaga qo`yib, yukning harakat tenglamasini topamiz, ya`ni                    
                         


.
9
,
19
142
,
0
9
,
19
45
,
2
97
,
1
cm
t
Sin
t
Cos
e
X
t




           
  
6- masala  (I.V.Metcherskiy  32. 74).  Sharnir  bilan  O   nuqtaga biriktirilgan 
sterjen  uchidagi  og`ir   
A
 nuqta  kichik  tebranishlarining  differensial  tenglamasi 
tuzilsin, shuningdek so`nuvchi tebranishlar chastotasi topilsin.  Muhitning qarshilik 
kuchi  tezlikning birinchi darajasiga proporsional,  proporsionallik koefisiyenti  

. 
A
  nuqtaning  og`irligi  
P
  prujinaning  bikirlik  koefisiyenti    c ,   sterjen  uzunligi  
 
 ,  masofa  
.
b
OB 
  Sterjening massasi,  massasi  hisobga olinmasin.  Muvozanat 
holatida sterjen gorizontal  joylashgan, 

  koeffisientning qanday qiymatida operi-
odik bo`ladi  (21a-shakl). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Yechish.  Hisob sxemasi  21b -shaklda tasvirlangan.  
a)
y
b
F

R

B
J

A
x
A
y
 
B
y
 

y



b)
21-shakl

 
165 
21b-shakldan:    
,
A
B
A
B
y
b
y
b
y
y





     
,
A
B
y
b
y


 
  
  Elastiklik va qarshilik kuchlari:  
,
A
B
y
cb
cy
F



          
 
.
A
B
y
b
y
R







       
   O  nuqtaga nisbatan moment tenglamasini tuzamiz: 
            
,
0



bF
bR
J

    
y
g
p
y
m
J



 

 
 Natijada  
           
0
2
2



y
Cb
y
b
y
g
p





  yoki    
0
2
2
2
2



y
b
C
y
b
y
g
P






                     (a)  
(a) 
tenglamaning xarakteristik tenglamasi: 
       
0
2
2
2





Cb
C
b
g
p




    yoki   
.
0
2
2
2
2





P
b
g
C
P
b
g



              (b) 
Xususiy tebranish chastotasi va ishqalanish koeffisientlari: 
 
          
,
2
2
2

p
cgb
k 
          
.
2
2
2

p
cgb
h 
                                                                     (v)    
                                                          
So`nuvchi  tebranish chastotasi: 
 
     
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
1
2
4
















p
b
g
p
cg
b
p
b
g
p
cgb
h
k
k


 
           2  va  3  hollarga  asosan   
k
h 
  bo`lganda  harakat  perepodik  bo`ladi.  (b) 
formulalarga asosan: