Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

3-Ma’ruza 
Parallel kuchlar sistemasi. 
Reja: 
   1. Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`yish. 
   2. Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`yish. 
   3.Parallel kuchlar sistemasi. 
   
    Adabiyotlar: [1], 204-211 sah; [5], 27-29, 97-99 sah; [7], 40-43,68-73 sah. 
Tayanch iboralar: 
 
Parallel va antiparallel kuchlar, t.t.e. kuch, t.t.e.-ning moduli va yo`nalishi , 
kuchning ta`sir chizig`i,kuch yelkasi 
Belgilar: 
 
     MS-muommoli savol,                                             MV- muommoli vaziyat, 
     MT- muommoli topshiriq,                                     MM- muommoli masala  
 
Baholash mezoni : 
 
  Har bir savol javobiga –  ball  
  Har bir qo’shimcha fikrga –  ball 
  Har bir javobni to’ldirishga – ball 
 
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari: 
1.  Teng ta’sir etuvchi (t.t.e.)deb nimaga aytiladi? 
2.  Bir nuqtaga qo`yilgan ikkita kuch nolga ekvivalent bo`ladimi? 
3.  T.T.E.-ning  qo`yilgan nuqtasi qanday aniqlanadi? 
4.  Parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi deb qaysi nuqtaga 
aytiladi? 
 
 

 
25
 
 
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring  
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
 
1 
Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasi. 
 
 
2 
Qarama-qarshi  tominlarga  yo`nalgan  ikkita  parallel  kuchlar 
sistemasi.  
 
 
3 
Bir  tomonga  yo`nalgan  ikkita  parallel  kuchlar  sistemasining 
T.T.E. 
 
 
4 
Qarama-qarshi  tomonlarga  yo`nalgan  parallel  kuchlar 
sistemasining t.t.e. 
 
 
5 
Teng ta’sir etuvchining nuqtasi. 
 
 
6 
Ikkita parallel kuchlar t.t.e.-ning moduli 
 
 
7 
Ikkita antiparallel kuchlar t.t.e.-ning moduli 
 
 
8 
Parallel va antiparallel kuchlar t.t.e.-ning yo`nalishi. 
 
 
9 
Parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi. 
 
 
 
Insert jadvali qoidasi. 
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - Yangi ma’lumot.  
– - olgan bilimiga qarama-qarshi. 
? – tushunarsiz,  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
26
 
 
1.1“ Parallel kuchlar sistemai ” mavzuning texnologik modeli. 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni: 50 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Mavzu   rejasi 
1.  Bir  tomonga  yo`nalgan  ikkita  parallel  kuchlarni 
qo`shish. 
2. Qarama-qarshi tomonga yo`nalgan ikkita parallel 
kuchlani qo`shish. 
3. Parallel kuchlar sistmasi. 
O’quv 
mashg’ulotining 
maqsadi 
Parallel va antiparellel kuchlar sistemasi haqida 
tushuncha berish. 
Pedagagik vazifalari: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Kuch haqida 
tushunchalarni takrorlash 
Mavzuning ahamiyati va mohiyatini tushunadi. 
Parallel va antiparallel 
kuchlarni qo`shish 
qoidalarini tushuntiradi. 
Parallel kuchlarni qo`shish qoidalarini yodlaydi va 
eslab qoladi. 
Parallel kuchlar sistemasi 
t.t.e., qo`yilgan nuqtasi, 
yo`nalishini aniqlash 
Parallel kuchlar sistemasini amaliyotda qo`llashga 
ko`nikma hosil qiladi. 
O’qitish vositari 
O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska 
O’qitish usullari 
Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert 
O’qitish shakllari 
Frontal,kollektiv ish. 
O’qitish  sharoiti 
Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda ishlash usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya 
Monitoging va 
baholash 
Og’zaki savollar,blis-so’rov 
 
3 mavzu 
 
 
Parallel kuchlar sistemasi 
 

 
27
 
1.2. “ Parallel kuchlar sistemasi ” mavzusining texnalogik xaritasi. 
 
Ish 
bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tingloichi faoliyatining 
mazmuni 
 
1-
bosqich 
(20min) 
 
1.1. O’quv mashg’uloti savollarni                       
tahlil qiladi va o’qo’v faoliyati 
natijalarini aytadi.                               
1.2. Tinglovchilarning mashg’ulotdagi   
faoliyatini baholash ko’rsatgichlari va 
mezonlari bilan tanishtiradi          (1-
ilova). 
1.3. Mavzu  bo’yicha   tayyorlangan 
topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova).    
1.4. Savollar berib suhbat tarzida   
tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi 
Tinglaydilar.                    
 
Tinglaydilar  
    
Topshiriqlar      bilan      
tanishadilar 
   
 
 
 Javob beradilar 
                                                                                                                             
2-
bosqich 
Asosiy 
bo’lim. 
(50min) 
2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda 
ishlashni tashkil etadi. 
Yechimini tekshiradi va baholaydi.(3-
ilova). 
2.2. Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi 
va bajarish bo’yicha maslahatlar beradi. 
2  ta mini guruxga 
ajraladilar. 
 
 
Topshiriqda keltirilgan 
savvollarga 1-2 javob 
tayorlaydi. 
 
3-
bosqich 
Yakun 
lovchi 
(10min) 
3.1. Mavzu  bo’yicha  yakunlovchi  
xulosalar qiladi. 
3.2.  Mavzu maqsadiga erishishdagi 
tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va 
baholanadi. 
3.3. Mavzu   bo’yicha   bilimlarni  
 chuqurlashtirish   uchun  adabiyotlar     
beradi. 
Savollar beradilar 
 
UMKga qaraydilar. 
 
 
Mustaqil ish topshiqlari va 
uy vazifalarini yozib 
oladilar. 
 
 
 
                                                       

 
28
√ 
3-Mavzu 
 
 
 
1.  Bir  tоmоngа  yo`nаlgаn  ikkitа  pаrаlеl  kuchlаr  sistеmаsi.  Absolyut  qattiq 
jismning  ikkita  har  xil  nuqtalariga  qo’yilgan  ikkita 
P

  va 
Q

  pаrаllеl  kuchlar 
sistemasini  qaraymiz  (41-shakl).  Kuchlar  qo’yilgan  nuqtalarni  A  va  B  bilan 
belgilaymiz.  A  va  B  nuqtalarga  miqdorlari  teng  hamda  AB  to’g’ri  chiziq  bo’ylab 
qarama-qarshi  tomonga  yo’nalgan 
S

  va 
S

  kuchlarni  qo’yamiz.  Bunday  ikkita 
kuch muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi, ya’ni 


0
~
'
, S
S


. 
A  va  B  nuqtalarga  qo’yilgan 
S
P


,
  va 
'
, S
Q


  kuchlarni  qo’shib,  ularning  teng  ta’sir 
etuvchilari 
1
R

 va 
2
R

 larni hosil qilamiz. Ikkinchi aksiomaga asosan 

 

'
,
,
,
~
,
S
S
Q
P
Q
P






 
va demak 

 

2
1
,
~
,
R
R
Q
P




. 
 
1
R

  va 
2
R

  kuchlarni  ta’sir  chiziqlari  bo’ylab  ularni  O  kesishish  nuqtasiga 
ko’chiramiz (41-shakl).        
 
 
                                      
S

             O      
S

 
 
                                                     
Q

 
                                                         
2
R

 
 
                           
S

       
1
R

        
P

 
 
                                     A               C 
                                                                           B       
S

 
                                                                  
                                 
1
R

                                      
Q

 
                                          
P

        
R

                      
2
R

 
 
             
 41-shakl 
Keyin 
1
R

 va 
2
R

 kuchlarini AB to’g’ri chiziq va 
P

,
Q

 kuchlarga parallel 
P

 va 
S

, 
Q

 
va 
'
S

  tuzuvchilarga  ajratamiz.  Shunday  qilib,  bitta  nuqtaga  qo’yilgan  kuchlar 
sistemasiga  ega  bo’lamiz. 


'
, S
S


  muvozanatlashgan  kuchlar  sistemasini  tashkil 
qiladi, shuning uchun  

 

Q
P
S
S
Q
P






,
~
'
,
,
,
. 
P

  va 
Q

  kuchlar 
P

  va 
Q

  kuchlarga  parallel  to’g’ri  chiziq  bo’ylab  bir  tоmоngа 
yo`nаlgаni  uchun  ularning  tеng  tа’sir  etuvchisi 
Q
P
R





  bo’ladi.  Demak,  uning 
mоduli berilgan kuchlar modullari yig’indisigа tеng, ya’ni 
Q
P
R


.                                  (2.3.1) 
Tеng  tа’sir  etuvchining  yo’nalishi  bеrilgаn  kuchlаrga  paralleldir.  Mos 
uchburchaklarning o’xshashligidan 
SB
S
OC
Q
AC
S
OC
P
'
,


. 

 
29
Bu proporsiyalarni birinchisini ikkinchisiga bo’lib, quyidagini hosil qilamiz: 
AC
CB
Q
P

,   bundan   
AC
Q
CB
P

. 
Oxirgi proporsiyadan quyidagi hosilaviy proporsiyaga kelamiz: 
AC
Q
CB
P
CB
AC
Q
P




, 
R
Q
P


 va 
AB
CB
AC


 bo’lgani uchun 
AB
R
AC
Q
CB
P


.                      (2.3.2) 
 
Shunday qilib, bir tоmоngа yo`nаlgаn ikkita parallel kuch teng ta’sir etuvchiga 
ega  bo’lib,  teng  ta’sir  etuvchining  mоduli  berilgan  kuchlar  modullari  yig’indisigа 
tеng, yo’nalishi bеrilgаn kuchlаrga parallel va ular bilan bir xil bo’ladi. Teng ta’sir 
etuvchining  ta’sir chizig’i  AB kesmani berilgan kuchlarning  modullariga  nisbatan 
ichki ravishda teskari proportsional bo’laklarga ajratadi. 
 
Endi berilgan 
R

 kuchni ikkita parallel tuzuvchiga ajratish masalasini qaraymiz. 
Bu  masalani  cheksiz  ko’p  usullar  bilan  echish  mumkin,  ya’ni  masala  umumiy 
holda aniqmas masala hisoblanadi. 
 
Masala aniq masala bo’lishi  
uchun tuzuvchi kuchlardan                     A           C        B 
bittasini moduli va qo’yilish  
nuqtasi yoki ikkala tuzuvchining     
P

                 
Q

 
ham qo’yilish nuqtasi berilishi                 
R

 
kerak. Masalan, C nuqtaga                            42-shakl 
qo’yilgan 
R

  kuchni  unga  parallel  shunday  ikkita  tuzuvchiga  ajratilganki,  ulardan 
biri  A  nuqtaga  qo’yilgan  bo’lib,  moduli  P  ga  teng.  Ikkinchi  qo’shiluvchining 
moduli Q va qo’yilish nuqtasi B quyidagi munosabatlardan topiladi (42-shakl): 
Q
P
R


, 
AC
Q
CB
P

, 
bulardan 
AC
Q
P
CB
P
R
Q



,
. 
 
Endi 
R

  kuchni  A  va  B  nuqtalarga  qo’yilgan  ikkita  parallel  tuzuvchilarga 
ajratish  talab  etilsin.  Tuzuvchi  kuchlarning  modullari  quyidagi  munosabatlardan 
topiladi: 
AB
AC
R
Q
AB
CB
R
P




,
. 
 
2.  Qаrаmа-qаrshi  tоmоngа  yo`nаlgаn  ikkitа  pаrаllеl  kuchlar  sistemasi. 
Qаrаmа-qаrshi  tоmоngа  yo`nаlgаn  ikkitа  pаrаllеl  kuchga  antiparallel  kuchlar 
deyiladi. A va B nuqtalarga qo’yilgan miqdorlari teng bo’lmagan ikkita antiparallel 
kuchlar berilgan bo’lsin (43-shakl).  
 
Moduli katta bo’lgan 
P

                                      
Q

 
kuchni ikkita 
R

 va 
'
Q

 tuzuv-          C              A        B 
chiga shunday ajratamizki, bu           
R

                     
Q

 
kuchlardan bittasi 
'
Q

 ning                      
P

 
moduli 
Q

 ning moduliga                            43-shakl 
teng  va 
Q

 kuch bilan bir to’g’ri chiziq bo’ylab qаrаmа-qаrshi  tоmоngа  yo`nаlgаn 
bo’lsin, ya’ni 
'
,
'
Q
Q
Q
Q





. U holda 
Q

 va 
'
Q

 kuchlar nol sistemani hosil qiladi, 

 
30
ya’ni 


0
~
'
, Q
Q


. 
R

  kuchning  moduli  va  qo’yilish  nuqtasi  (2.3.1)  va  (2.3.2) 
formulalardan topiladi, ya’ni 
Q
P
R


.                                 (2.3.3) 
AB
R
AC
Q
BC
P


.                             (2.3.4) 
R

 kuch 
Q
P


,
 antiparallel kuchlarining teng ta’sir etuvchisi bo’ladi, ya’ni 

 

R
Q
Q
R
Q
P






~
'
,
,
~
,
. 
 
Shunday  qilib,  ikkita  antiparallel  kuchlar  sistemasi  teng  ta’sir  etuvchiga  ega 
bo’lib,  uning  moduli  berilgan  kuchlar  modullari  ayirmasiga  teng,  yo’nalishi 
berilgan  kuchlarga  parallel  va  katta  kuch  bilan  bir  xil  bo’ladi.  Teng  ta’sir 
etuvchining  qo’yilish  nuqtasi  AB  kesmaning  davomidagi  C  nuqtada  bo’lib,  AB 
kesmani  tashqi  ravishda  kuchlar  modullariga  nisbatan  teskari  proportsional 
bo’laklarga ajratadi. MS:R=0 bo`lishi mumkinmi? 
 
c 
 
 
 

 
31
√ 
3. Parallel kuchlar markazi 
 
 
 
Teng  ta’sir  etuvchiga  keltiriladigan  parallel  kuchlar  sistemasining  markazi 
tushunchasini  kiritaylik.  Qattiq  jismning 
n
A
A
A
,...,
,
2
1
  nuqtalarga  qo’yilgan 


n
F
F
F



,...,
,
2
1
  parallel  kuchlar  sistemasi  berilgan  bo’lsin.  Avval  bir  tomonga 
yo’nalgan  parallel  kuchlarni  qaraymiz  (62-shakl). 
1
F

  va 
2
F

  ikkita  kuchni 
qo’shamiz. 
1
A
  va 
2
A
  nuqtalarning  koordinatalarini  mos  ravishda 


1
2
1
1
,
,
z
y
x
A
  va 


1
2
1
2
,
,
z
y
x
A
 bilan radius-vektorlarini esa 
1
r

 va 
2
r

 bilan belgilaymiz (62-shakl). 
1
F

 va 
2
F

  kuchlarning  teng  ta’sir  etuvchisini 
2
R

  bilan  belgilaymiz.  U  holda 
2
R

  kuchning 
moduli 
2
1
2
P
P
R


. 
2
R

 kuchning qo’yilishi nuqtasini topamiz. 62-shaklga asosan 
2
2
2
2
2
1
2
1
,
c
c
r
r
A
C
r
r
C
A








           (2.7.1) 
 
                          
 z 
                           A
2 
                                                             C
2
         
 
                                    A
1
                                                                                                          
                                           
1
F

        
2
r

             
2
F

            A
n 
                                                            
2
R

        C
3
 
                                
1
r

   
2
C
r

       
3
C
r

                        A
3
        
n
F

 
                                                       
3
r

               
3
R

 
                                                                               
3
F

     
                          O                                                             y                                                              
                  x                                                                    
                                                    62-shakl 
 
Ikkinchi  tomondan  1-§  dagi  (2.1.2)  formulaga  asosan  C
2
  nuqtaning  holati 
quyidagi munosabatdan topiladi: 
1
2
2
2
2
1
P
A
C
P
C
A

. 
2
2
2
1
,
A
C
C
A
 va 
2
1
A
A
 vektorlar kolleniarligidan  
1
2
2
2
2
1
P
A
C
P
C
A

 
yoki (2.7.1) munosabatlarga asosan 
1
2
2
2
2
2
P
r
r
P
r
r
c
c







, 
bundan 
2
1
2
2
1
1
2
P
P
r
P
r
P
r
c






.                        (2.7.2) 
 
Endi 
2
R

  va 
3
F

  yoki 
3
2
1
,
,
F
F
F



  kuchlarni  teng  ta’sir  etuvchisini  qo’yilish 
nuqtalarini topamiz 


3
2
, F
R


~


n
F
F
F



,...,
,
2
1
~
3
R

 
 
2
R

 va 
3
F

 bir tomonga  yo’nalgan  parallel kuchlar bo’lgani  uchun  ularning  teng 
ta’sir etuvchisi 
3
R

 ham shu yo’nalishga ega va uning moduli quyidagicha topiladi: 
3
2
1
3
2
3
F
F
F
F
R
R





. 
 
Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi 

 
32
2
2
3
3
2
2
3
F
R
r
F
r
R
r
c
c






 
formuladan topiladi. (2.7.2) formulaga asosan 
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
F
F
F
r
F
r
F
r
F
r
c









.                      (2.7.3) 
 
Endi  to’la  induksiya  metodidan  foydalanib,  (2.7.3)  formulani  n  ta  kuch  uchun 
ham o’rinli ekanligini isbot qilish mumkin. Buning uchun (2.7.3) formula k ta kuch 
uchun  o’rinli  deb  k+1  ta  kuch  uchun  ham  o’rinli  bo’lishini  ko’ramiz.  Faraz 
qilaylik, (2.7.3) formula k ta kuch uchun o’rinli, ya’ni  












k
i
i
k
i
i
i
k
k
k
c
F
r
F
F
F
F
r
F
r
F
r
F
r
k
1
1
2
1
2
2
1
1
...
...





           (2.7.4) 
bo’lsin. 
k
F
F
F



,...,
,
2
1
  kuchlarining  teng  ta’sir  etuvchisi 
k
R

  shu  kuchlar  bilan  bir  xil 
yo’nalgan bo’lib, uning moduli quyidagiga teng 







k
i
i
k
k
F
F
F
F
R
1
2
1
...
. 
 
Endi 
k
R

  va 
1

k
F

  kuchlarini  teng  ta’sir  etuvchisini  topamiz. 
k
R

  va 
1

k
F

  bir 
tomonga  yo’nalgan parallel kuchlar ekanligidan teng ta’sir etuvchisi  ular bilan bir 
xil yo’nalgan, moduli esa quyidagicha topiladi: 
1
2
1
1
1
...









k
k
k
k
F
F
F
F
R
R
. 
1

k
R

 kuchning qo’yilish nuqtasi (2.7.2) ko’ra 
1
1
1
1
1








k
k
k
k
c
F
R
F
R
r
k



 
bo’ladi. (2.7.4) formulga asosan esa 


















1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
...
...
1
k
i
i
k
i
i
i
k
k
k
c
F
r
F
F
F
F
r
F
r
F
r
F
r
k





. 
 
Shunday  qilib,  bir  tomonga  yo’nalgan 


n
F
F
F



,...,
,
2
1
  parallel  kuchlar 
sistemasining teng  ta’sir etuvchisining  yo’nalaishi berilgan kuchlarning  yo’nalishi 
bilan bir xil, moduli esa modullari yig’indisisga teng, ya’ni 



n
i
i
F
R
1
. 
 
Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi 





n
i
i
n
i
i
i
c
F
r
F
r
1
1


.                               (2.7.5) 
formula bilan topiladi. 
 
(2.7.5)  tenglikning  ikkala  tomonini  koordinatalar  sistemasi  o’qlariga 
proeksiyalab, parallel kuchlar markazining koordinatalarini topamiz 

 
33















n
i
i
n
i
i
i
c
n
i
i
n
i
i
i
c
n
i
i
n
i
i
i
c
F
z
F
z
F
y
F
y
F
x
F
x
1
1
1
1
1
1
,
,
,   (2.7.6) 
bu erda 
i
i
i
z
y
x
,
,
-lar 
i
F

 kuch qo’yilgan nuqtasining koordinatalari. 
 
Berilgan  kuchlarni  qo’yilish  nuqtalari  atrofida  bir  xil  burchakka  burganda 
ularning  teng  ta’sir  etuvchisi  ham  xuddi  shunday  burchakka  o’sha  yo’nalishda 
buriladi,  ammo  uning  qo’yilish  nuqtasi  o’zgarmaydi.  Demak,  teng  ta’sir  etuvchi 
qo’yilish nuqtasining holati parallel kuchlar yo’nalishiga bog’liq bo’lmas ekan. Bu 
nuqtaning  holati  berilgan  kuchlarning  modullariga  va  qo’yilish  nuqtalarining 
holatiga bog’liqdir. 
 
Agar  bizga  qarama-qarshi  tomonga  yo’nalgan  parallel    kuchlar  sistemasi 
berilgan  bo’lsa,  ularni  qarama-qarshi  tomonga  yo’nalgan  ikkita  parallel  kuchlar 
sistemasiga ajratamiz.  Hosil bo’lgan kuchlar sistemalarini teng ta’sir etuvchilarini 
topamiz.  Natijada 


R
R



,
  antiparallel  kuchlar  sistemasiga  kelamiz.  Bu  ikki  kuchni 
ham  bitta  teng  ta’sir  etuvchiga  keltirish  mumkin.  Uning  moduli  va  qo’yilish 
nuqtasi  (2.1.3)  va  (2.1.4)  formulalar  bilan  topiladi.  Yuqorida  keltirilgan 
formulalardan  foydalanishda  bir  tomonga  yo’nalgan  kuchlarning  modullari  oldiga 
(+)  ishorasini,  ikkinchi  tomonga  yo’nalgan  kuchlarning  modullari  oldiga  (-) 
ishorasini qo’yish lozim.  
 
(2.7.5)  formuladagi 


n
i
i
i
r
F
1

  ifodaga  parallel  kuchlar  sistemasining  O  nuqtaga 
nisbatan  statik  momenti  deyiladi. 






n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
z
F
y
F
x
F
1
1
1
,
,
  miqdorlarga  parallel 
kuchlar  sistemasining  mos  ravishda  (yz),(zx)  va  (xy)  tekisliklarga  nisbatan  statik 
momentlari deyiladi. 
 
(2.7.5) va (2.7.6) lardan 





n
i
i
c
n
i
i
i
F
r
r
F
1
1


, 
c
n
i
i
i
n
i
c
i
i
n
i
c
i
i
z
z
F
y
y
F
x
x
F









1
1
1
,
,
. 
munosabatlar kelib chiqadi.