Mavzu: "Funksiya"

2.  Uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar. 

Agar 

     va      funksiyalar  

 

  nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda: 

1) 

                                                  

    

    

            lar ham  

 

  nuqtada uzluksizdir. 

 

3.  Uzilish nuqtalari va ularning turlari. 

Ma`lumki, 

      funksiya uchun  

   

 

          

 

          

 

  

tenglik  bajarilsa, 

 

 

    nuqta 

      funksiyani  uzluksizlik  nuqtasi  deyiladi,  aks  holda  uzilish  nuqtasi 

deyiladi. Funksiya o’zi uzlukli funksiya deyiladi. 

Uzilish nuqtalari uch turli bo’ladi: 

1.  Chetlatiladigan uzilish nuqtasi. 

          funksiya   

 

  nuqtada  aniqlanmagan,  biroq  chap  va  o’ng  limitlari  mavjud  va  o’zaro  teng, 

ya`ni 

   

 

          

 

     bo’lsa,   

 

  nuqta chetlatiladigan uzilish nuqtasi deyiladi. 

   

 

          

 

          

 

  deb qabul qilish natijasida uzilish chetlatiladi. 

Misol. 

      

    

 

  funksiya uchun 

 

 

     nuqta uzilish nuqtasidir, biroq 

Yechish: 

   

    

    

 

     

   

         

   

     

   

     

 

             

   

    

    

 

     

   

         

   

     

   

     

 

             

Ya`ni 

                 . Agar                           deb olsak,  

 

 nuqtasi uzilish nuqtasi 

bo’lmay uzluksizlik nuqtasi bo’lib qoladi. 

2.  Birinchi tur uzilish nuqtasi. 

Agar 

     funksiya  

 

 nuqtada aniqlangan yoki aniqlanmagan, lekin bir tomonlama limitlar mavjud 

va o’zaro teng bo’lmasa, ya`ni    

 

          

 

     bu nuqta birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi va 

       

 

          

 

     soni funksiyaning   

 

  nuqtadagi sakrashi deyiladi. 

 

 

 

 

Misol. 

      

| |

 

  funksiya 

      da aniqlanmagan. 

𝑓 𝑥

   

  

𝑓 𝑥

 

     

y 

x 

𝑥

 

 

---

              

     

| |

 

     

   

|   |

   

      

              

     

| |

 

     

   

|   |

   

                               

Demak, 

       nuqta birinchi tur uzilish nuqtasidir.                  

3.  Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. 

Agar  

 

 

  nuqtada bir tomonlama limitlardan kamida bittasi mavjud bo’lmasa yoki cheksizlikka teng 

bo’lsa,  

 

 nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.. 

Misol. 

        

 

   

   

      nuqtada aniqlanmagan. 

Yechish: 

              

     

 

 

   

     

   

 

 

     

     

   

 

 

 

 

    

              

     

 

 

   

     

   

 

 

     

     

   

 

 

 

     

Demak, 

      nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasidir. 

 

4.  Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari. 

1.  Agar 

          funksiya  [    ]  da  uzluksiz  bo’lsa,  u  shu  kesmada  chegaralangandir,  ya`ni 

shunday chekli 

  va   sonlar mavjudki barcha     [    ] lar uchun              tengsizlik 

o’rinli. 

Misol. 

              [     ]  da chegaralangandir, ya`ni                                      

2.  Agar 

         funksiya  [    ] da uzluksiz bo’lsa, bu kesmada o’zining eng kichik   va eng 

katta 

   qiymatlariga erishadi, ya`ni shunday  

 

   

 

  [    ] lar mavjudki barcha     [    ] lar 

uchun 

   

 

         va    

 

          bo’ladi. 

  

 

 

 

 

 

3.  Agar 

         funksiya [    ] da uzluksiz bo’lib, bu kesmada o’zining eng kichik    va eng 

katta 

     qiymatlari  bo’lsa,  u  holda  funksiya  shu  kesmada       va     orasidagi  barcha  oraliq 

qiymatlarni  qabul  qiladi,  ya`ni 

           shartni  qanoatlantiradigan  istalgan     son  uchun 

kamida bitta shunday nuqta topildiki, uning uchun 

         tenglik to’g’ri bo’ladi. 

                                                                                                         

 

                                                                                                         

   

 

      

                                                                                                        

               

                                                                                                        

   

 

           

𝑓 𝑥

 

  

𝑓 𝑥

 

  

𝑥

 

 

𝑥

 

 

b 

a 

y 

x 

m 

𝜇 

M 

y 

---

                                                                                                         

          

 

 

 

 

 

 

4.  Agar 

          funksiya  [    ]  da  uzluksiz  bo’lib,  kesmaning  oxirlarida  turli  ishorali 

qiymatlarni  qabul  qilsa,  u  holda 

[    ]  kesmada  kamida  bitta  shunday  nuqta  mavjudki,  bu 

nuqtada funksiyaning qiymati nolga teng. 

 

 

 

 

 

 

 

 

                              

 

       

 

       

 

      

5.  Auditoriya topshirig’i. 

1. 

     

 

 funksiyani aniqlanish sohasida uzluksizligini 1- ta`rif bo’yicha tekshiring. 

2. 

    √ 

 

          funksiyani aniqlanish sohasida uzluksizligini 2- ta`rif bo’yicha tekshiring. 

3.  Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalari turini aniqlang va chizmada tasvirlang. 

a) 

         

 

 

 

b) 

    {

    

 

             | |    

                   

              | |    

 

c) 

   

 

 

  

   

 

Javoblar: a)  

       II tur  b)             I tur  c)           yo’qotiladigan uzilish nuqtasi