Mavzu: "Funksiya"
Ketma- ketlik limitining geometrik ma`nosi
Download 1.26 Mb. Pdf ko'rish
|
15- amashgulot
|
Ketma- ketlik limitining geometrik ma`nosi.
|
| tengsizlik
tengsizlikka teng kuchlidir. Bu esa istalgan uchun shunday son topilsaki,
ketma-ketlikning dan boshlab barcha hadlari nuqtaning atrofiga tushsa, a son
ketma- ketlikning limiti deyiladi.
Ketma-ketlikni limitini hisoblashda funksiya limiti haqidagi teoremalar va aniqmasliklarni ochish qoidalaridan foydalaniladi. Misol 11.
- ketma-ketlik limitini toping. Yechish:
Misol 12. Quyidagi limitlarni hisoblang. a)
b)
c)
d)
√ √ Yechish: a)
b)
c)
=
d)
(√ √ )
(√ √ ) √ √ √ √
√ √
√ √
3. Auditoriya topshirig’i. 1.
,
- ketma-ketlikning 101-hadini yozing. J:
2.
ketma-ketlikning umumiy hadini yozing. J:
3. Ta`rifga ko’ra
,
- ketma-ketlikning limiti 0 ga teng ekanligini ko’rsating. 4. Quyidagi limitlarni hisoblang: a)
J: 0,001
b)
(
) J: 1
c)
(
) J:
x 0 𝑎 𝜀 𝑎 𝜀 𝑎
d)
(
) J:
4. Uy vazifasi .
1.
,
- ketma-ketlikning 54-hadini yozing. J:
2.
,
- ketma-ketlikning umumiy hadini yozing. J:
3. Ta`rifga ko’ra
- ketma-ketlikning limiti 0 ga teng ekanligini ko’rsating. 4. Quyidagi limitlarni hisoblang: a)
J:
b)
(
c)
J: 3
d)
J:
5. Mustaqil yechish uchun misollar 1.
{
} ketma-ketlikning 3- hadini yozing. J:
2.
,
- ketma-ketlikning umumiy hadini yozing. J:
3. Ta`rifga ko’ra
,
- ketma-ketlikning limiti 2 ga teng ekanligini ko’rsating. 4. Quyidagi limitlarni hisoblang: a)
b)
J: 1
c)
J: 0
d)
(
) J: 1,25
5.
O’z-o’zini tekshirish uchun savollar.
1. Sonli ketma-ketlik ta`rifini ayting. 2. Qanday ketma-ketliklar monoton o’suvchi(kamayuvchi) deb ataladi?
3. Ketma-ketlik limitining mavjudligi haqidagi teoremani bayon qiling. 4. Ketma-ketlik limitining geometrik ma`nosi nima?
15- mashg’ulot. Mavzu: “Funksiya limiti”. Reja:
1. Funksiya limiti. 2. Cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalar. 3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. 4. Bir tomonlama limitlar. 5. Auditoriya topshirig’i. 6. Uy vazifasi. 7. Mustaqil yechish uchun misollar. 8. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar.
1. Funksiya limiti. Ta`rif: soni funksiyaning dagi limiti deyiladi, agar istalgan uchun shunday son mavjud bo’lsaki, | | tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun | | tengsizlik bajarilsa va quyidagicha yoziladi:
Geometrik nuqtai nazardan barcha lar uchun bo’ladi. Misol.
ekanligini ko’rsating. Yechish: berilgan bo’lsin. son Topish mumkinki | | bo’lganda |
| bo’lishini ko’rsatish kerak. | | bo’lsa, | | | | | | . U holda |
| | | |
| bo’lishi uchun deb olish kifoya. Bundan
ni yechib √ ni hosil qilamiz. Shunday ni mavjudligini ko’rsatish kerak edi. 2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Ta`rif.
funksiya da cheksiz kichik deyiladi, agar
bo’lsa. Ta`rif:
funksiya da cheksiz katta deyiladi, agar
yoki
bo’lsa.
Ta`rif: funksiya da chegaralangan deyiladi, agar shunday son mavjud bo’lsaki, barcha lar uchun | | tengsizlik bajarilsa. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari: 1. Agar funksiya da cheksiz kichik bo’lsa, funksiya ham da cheksiz kichik bo’ladi. 2. Agar funksiyalar da cheksiz cheksiz kichik bo’lsa, u holda ham da cheksiz kichik bo’ladi. 𝐴 𝜀 𝐴 𝜀
𝐴 𝑎 𝛿
𝑎 𝛿 𝑎
3. Agar funksiya da cheksiz kichik, chegaralangan bo’lsa, u holda da ham cheksiz kichik bo’ladi. Cheksiz katta funksiyalarning xossalari: Aar
va
bo’lsa, u holda: 1.
[ ] 2.
Agar
va
bo’lsa,
Ikkita cheksiz katta funksiyalar ko’paytmasi yana cheksiz kattadir. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar orasidagi bog’lanish. 1. Agar funksiya da cheksiz katta bo’lsa,
cheksiz kichikdir, ya`ni
2. Teskarisi, ya`ni da cheksiz kichik funksiya bo’lsa,
cheksiz katta bo’ladi.
Misollar: 1.
2.
(
) 3.
4.
5.
3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Teorema. Agar da
bo’lsa, u holda: 1.
[ ]
2.
3.
4.
Misollar: 1.
2.
3.
4.
(
) (
)
4.Bir tomonlama limitlar. Agar
ga doim undan kichik bo’lib intilsa, u holda hisoblangan limit funksiyaning dagi chap limiti deyiladi va quyidagicha yoziladi
Xuddi shuningdek o’ng limiti aniqlanadi, ya`ni
Misollar: 1.
da
funksiyaning chap va o’ng limitlarini hisoblang. Yechish: a)
| |
b)
| |
2. da
Yechish: a)
(
) | |
(
) b)
(
) | |
(
)
5. Auditoriya topshirig’i. 1.
ekanligini ko’rsating.
ekanligini ko’rsating. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(√
) Javoblar: 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) √
6. Uy vazifasi. 1.
ekanligini ko’rsating.
ekanligini ko’rsating. 2.
(
)
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(
)
10.
Javoblar: 2) 3) 4) 5) 6)
8) 9) 10) 7. Mustaqil yechish uchun misollar. 1.
ekanligini ko’rsating.
ekanligini ko’rsating. 2.
3.
(
) 4.
5.
6. √
7.
8.
9.
Javoblar: 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 8. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar. 1. Funksiya limitini ta`riflang.
2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarga ta`rif bering va misol keltiring. 3. O’ng va chap limitlarni izohlab misol keltiring. 4. Limitlar haqidagi asosiy teoremalarni keltiring. 5. Cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalar o’zaro qanday bog’langan.
16- mashg’ulot. Mavzu:” Limitlarni hisoblash” Reja:
1.
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. 2.
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. 3. ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. 4. Auditoriya topshirig’i. 5. Uy vazifasi. 6. Mustaqil yechish uchun misollar. 7. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar.
1.
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. Limitlar haqidagi teoremalarni har doim qo’llab bo’lavermaydi. Masalan, kasr-ratsional
funksiyani surat va mahrajini da nolga aylansa, dagi limitni topish (
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish deyiladi) uchun surat va mahrajini ko’paytuvchilarga ajratib, nolga aylantiruvchi ko’paytuvchiga qisqartirib, so’ngra limitga o’tish kerak. Misol
Irrasional ifoda qatnashgan kasrni surat va mahraji da nolga aylansa, u holda kasrni dagi limitini hisoblash uchun irrasionallikni majrajidan suratga yoki suratidan mahrajga o’tkazib, so’ngra ilgarigi qoida bo’yicha aniqmaslikni ochish kerak. Misol 2.
√
(√
)(√ )
(√
)
√
√
√
√
Misol 3.
√ √
|
|
√
√
2.
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish.
kasrni dagi limiti izlanayotganda bir paytda surat va mahraji cheksizlikka intilsa bu kasr
ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi va uni ochish uchun kasrni surat va mahrajini ning eng yuqori darajasiga bo’lish kerak, so’ngra limitga o’tish kerak. Misol 4.
chunki,
Misol 5.
Misol 6.
3. ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. ko’rinishdagi aniqmasliklar
yoki
ko’rinishdagi aniqmasliklarga keltirib ochiladi. Misol 7.
(√
) [ ]
(√
)(√
)
(√
)
(
) (√ )
(√
)
=
√
Misol 8.
(
)
(
) [ ]
[
]
Misol 9.
(
) [ ] |
|
(
)
4. Auditoriya topshirig’i. Limitlarni hisoblang. 1.
2.
3.
√
4.
√
√
5.
6.
7.
8.
√ √ 9.
(
) 10.
√ √
11.
12.
√
√
)
13.
√
14.
√
Javoblar: 1)
2)
3)
4)
5) 6) 7) 8) 9)
√
11)
12) 13) √ 14)
5. Uy vazifasi. 1.
2.
3.
√
4.
√
√
5.
√
6.
7.
8.
√
9.
(
) 10.
√
11.
√ √
(
) 13.
Javoblar: 1)
2) 3)
5) 6) 7) 8)
9)
10)
11)
12) 13)
6. Mustaqil yechish uchun misollar. 1.
2.
3.
√ √
4.
√ √
5.
√ √ √ √ 6.
√ 7.
√
8.
√
9.
√
10.
(
) 11.
√ √
√ √
13.
√
√
14.
(
) Javoblar: 1)
2) 3)
5) 1 6) 7) 0 8) 0 9)
10) -1 11) 1 12)
13)
14)
7. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar. 1.
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish usulini bayon qiling. 2.
ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish qoidasini izohlang. 3. ko’rinishdagi aniqmaslik
ko’rinishdagi aniqmasliklarga keltirishni tushuntiring.
17- mashg’ulot. Mavzu:”Limitlarni hisoblash”. Reja: 1. Birinchi ajoyib limit. 2. Ikkinchi ajoyib limit. 3. Ekvivalent cheksiz kichik miqdorlar yordamida limitlarni hisoblash. 4. Auditoriya topshirig’i. 5. Uy vazifasi. 6. Mustaqil yechish uchun misollar. 7. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar. 1. Birinchi ajoyib limit. Ta`rif:
birinchi ajoyib limit deyiladi va trigonometrik funksiyalar ishtirok etgan
aniqmasliklarni ochishda qo’llaniladi. Shuningdek,
tenglik ham o’rinlidir. Trigonometrik funksiyalar ishtirok etgan ifodalarni limitini hisoblashda
tengliklar funksiyani aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgandagina o’rinli bo’lishini unitmaslik kerak. Misol 1.
(
) Misol 2.
(
)
Misol 3
Misol 4.
|
2. Ikkinchi ajoyib limit.
(
)
ikkinchi ajoyib limit deyiladi va ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda qo’llaniladi. Agar
yangi noma`lum kiritsak, da va
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda
Misol 5.
(
)
0(
)
1
Misol 6.
(
)
0(
)
1
Misol 7.
*
+
Misol 8.
(
)
(
)
Misol 9.
(
)
(
)
(
)
.
/
.
/
Misol 10.
(√
)
|
| desak,
[
]
√
3. Ekvivalent cheksiz kichik miqdorlar yordamida limitlarni hisoblash. Ta`rif: va cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deyiladi, agar
tenglik bajarilsa va deb yoziladi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent bo’lishi uchun ular ayirmasi har biriga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor bo’lishi zarur va etarli. Asosiy ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar jadvali:
[ ]
Teorema: Ikkita cheksiz kichik funksiyalar nisbatining limiti ularga ekvivalent funksiyalar nisbatining limitiga teng. Misol 11 .
Misol 12.
Misol 13.
4. Auditoriya topshirig’i. 1.
2.
√
3.
4.
(
)
6.
(
)
7.
8.
. 9.
10.
Javoblar: 1)
2) 8 3)
4) 5)
6)
7)
8)
9)
10) 1
5. Uy vazifasi Limitlarni hisoblang 1.
2.
√ √
3.
4.
5.
6.
(
)
7.
8.
9.
10.
Javoblar: 1) 1 2) √ 3) 1 4) 4 5)
6)
7)
8)
9)
6. Mustaqil yechish uchun misollar 1.
√
2.
3.
4.
[ ] 5.
6.
7.
(
)
8.
9.
10.
√
Javoblar: 1) √ 2)
3) 3 4) 3 5) 6) 7)
9)
10) -1
7. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar. 1. Birinchi ajoyib limit tengliklarini yozing. 2. Ikkinchi ajoyib limitni izohlang. 3. Ekvivalent cheksiz kichik miqdorlarni limit hisoblashga tatbiqi haqidagi teoremani bayon qiling.
18-mashg’ulot. Mavzu: “Egri chiziqning asimtotalari” Reja: 1. Asimptota ta`rifi. 2. Vertikal asimtota. 3. Og’ma asimptota. 4. Gorizontal asimptota. 5. Auditoriya topshirig’i. 6. Uy vazifasi. 7. Mustaqil yechish uchun masalalar. 8. O’z-o’zini tekshirish uchun savollar. 1. Asimtota ta`rifi. Ta`rif: Agar funksiya grafigining o’zgaruvchi nuqtasi cheksiz uzoqlashganda undan biror to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofa nolga intilsa bu to’g’ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi, ya`ni
2. Vertikal asimptota ( o’qiga parallel asimptota)
bo’lsa, vertikl asimptota bo’ladi, ya`ni vertikal asimptotani topish uchun funksiya cheksizlikka aylanadigan qiymatni topish kerak. U holda vertikal asimptota tenglamasi bo’ladi. Misol 1.
funksiyalar grafiklarining vertikal asimptotalarini toping. Yechish:
(
) demak, vertikal asimptota b)
demak, vertikal asimptota 3. Og’ma asimptota . ( o’qiga parallel bo’lmagan asimptotalar). Uning tenglamasi bo’lib,
[ ] formulalar yordamida topiladi. Misol 2.
funksiyalar grafiklarining asimptotalarini toping. Yechish:
demak, vertikal asimptota
Download 1.26 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|