Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

r • F


(10.1)


Куч моментининг модули куйидагига тенг


От •^р и


= M , = F,


r sm а


(10.2)


Учта Г, ^F_i, ^M_i векторлар унг парма коидасига буйсунгани учун куч моментининг йуналиши 00' ук буйича йуналган булади .
Массаси m га тенг булган моддий нукта О тезлик билан харакатланаётганда P импульсга эга булади. r - радиус - векторнинг
P импульсга вектор купайтмаси импульс моменти деб аталади. L - импульс моментининг вектори йуналиши парма коидаси асосида аникланади (12 - расм).

9. 
   расм. Моддий нукта импульс моменти векторининг йуналиши
   

Г - радиус вектор ва P - импульс вектори ётган текисликка перпендикуляр равишда 0 нуктага жойлаштирилган парма дастасининг айланма харакат йуналиши импульс йуналиши билан мос тушганда,
парманинг илгариланма харакат йуналиши импульс моменти L нинг йуналишини курсатади:


34

Г^df • P ]	+	"f dP ] r
1 ^dt _—		I dt _

dL
dt


= [о • P ]+ [r • F ]


(10.5)
(10.6)


v ва P векторлар параллел, коллениар векторларнинг купайтмаси булгани учун \и • P] = 0 га тенг булади, у холда


dL
dt


= [f • F]= m


яъни


dL
dt


= M


(10.7)


Моддий нукта импульсининг бирор нуктага нисбатан узгариши, шу моддий нуктага таъсир килувчи куч моментига тенгдир.
Агар M = 0 булса, импульс моментининг сакланиш конунини ифодасига эга буламиз.


dL
dt


= 0 , L =


r • P]=[^f • m• v] = const


(10.8)


Ихтиёрий ук атрофида айланма харакат килаётган моддий нуктага ташки куч моменти таъсир этмаса, у узининг импульс моментини микдор ва йуналиши жихатдан узгармас холда саклайди.


с


с


35

11. 
    §. ^аттик жисм айланма харакат динамикасининг асосий тенгламаси
    

Шу вактгача айлана буйлаб харакат тенгламаларини чизикли тезлик оркали ифода килган эдик. Энди шу ифодаларни бурчак тезлик ва бурчакли тезланиш


dy
dt


= Р


оркали ифодалаймиз.

1. 
   Импульс моментини куйидагича ифодалаймиз:
   

L = [г • P]= [г • т • и] = т\г • и]


(11.1)


Чизикли тезлик бурчак тезлик билан куйидагича
и = УГ богланганлигини хисобга олсак, у холда


L_z = т[г • уГ] = тг • у


(112)


L_z - моддий нукта импульсининг z укка нисбатан импульс
моментидир.
Моддий нукта импульсининг z айланиш укига нисбатан инерция
моменти унинг массасининг айланиш радиуси квадрати купайтмасига
тенг булган физик катталикдир:
(11.3)


I_z = — = тг ²


у


^аттик жисмнинг z айланиш укига нисбатан импульс моменти - L_z шу укка нисбатан инерция моменти I_z - нинг бурчак тезликка купайтмасига тенгдир:
Lz = Iz • У


Энди импульс моментининг узгаришини аниклаймиз:


36

dL_z d (I_zm) _Л/Г

—- = = M_z (11 4)
dt dt ^{z , ( )}
dL_z dm ^- -
~A = ^Iz -~dU ^{= I}z ^Р = ^Mz , ⁽¹¹⁵⁾
Шундай килиб, каттик жисмнинг z айланиш укига нисбатан инерция моментини бурчак тезланишга купайтмаси, ташки кучнинг шу укка нисбатан натижавий куч моментига тенг булади.

5. 
   - ифода каттик жисм айланма харакати динамикасининг
   

асосий тенгламасидир, у F = та тенгламага ухшаш булгани учун баъзан уни цаттиц жисм айланма уаракати учун Ньютоннинг иккинчи цонуни деб аталади.
Агар айланиш укига эга булган жисмга ташки кучлар таъсир килмаса
M = 0


dL_z = Mdt = 0
z z
ёки
dL_z = d(I_z • m) = M_zdt = 0
L_z = I_zm = const , (11.6)
Бу ифода импульс моментининг сацланиш цонунидир.
Айланиш укига эга булган каттик жисмга ташки кучлар таъсир этмаса ёки уларнинг айланиш укига нисбатан куч моменти нолга тенг булса, каттик жисмнинг айланиш укига нисбатан импульс моменти микдор ва йуналиши жихатидан узгармай колади.

12. 
    - §. Иш ва кувват
    

Энергия - барча турдаги моддаларнинг харакати ва узаро таъсирининг универсал микдорий улчовидир.
Модда харакатининг шаклига караб, энергиянинг хар хил турларига эга буламиз: механик энергия, иссиклик энергияси, электромагнит энергия, куёш энергияси ва х.к.


37




Айрим ходисаларда модданинг харакат шакли узгармайди, (масалан, кизиган жисм совук жисмни иситади) бошка ходисаларда харакат бошка шаклга утади. Аммо, барча холларда бошка жисмга узатилган энергия, иккинчи жисм олган энергияга тенг булиши керак.
Жисм механик харакатининг узгариши унга бошка жисмлар томонидан таъсир этган кучлар хисобига содир булади. Шу сабабли, узаро таъсирлашаётган жисмлар орасидаги энергия алмашуви микдорини бахолаш учун, кузатилаётган жисмга куйилган кучнинг бажарган иши куриб чикилади.
Агар, жисм тугри чизикли харакат килаётган булса ва унга кучиш йуналиши билан а бурчак хосил килган доимий F куч таъсир этса, шу кучнинг бажарган иши кучнинг харакат йуналишига проекциясининг куч куйилган нуктанинг силжишига купайтмасига тенгдир (13 - расм):


13 - расм. F куч таъсирида тугри чизикли харакат цилаётган


Умумий холларда, куч модули ва йуналиши буйича узгариб туриши мумкин.


A = F_s • S = F • S • cosa ,


(12.1)






s


жисмнинг кучиши










38




о
Узгарувчан куч бажарган ишни аниклаш учун, босиб утилган йулни шундай кичик булакчаларга буламизки, уларнинг хар бирини тугри чизикдан иборат ва улардаги таъсир кучни узгармас, деб хисоблаймиз (14-расм). У холда элементар иш


^dAi = ^Fsi^dSi = ^Fi^dSi cos ai , (12.2)
га, узгарувчан кучнинг MN кучишида бажарган иши эса
N N
А = J F_s^dSi = JFi^dSi ^{cos a}i , (12.3)
M M


га тенг булади. Бу интегрални хисоблаш учун F_s кучнинг S траектория билан богликлигини билиш зарур. Бу кучнинг бажарган иши S траектория остидаги майдон юзасига тенгдир.
Агар жисм тугри чизикли харакат килса, таъсир этувчи куч ва a - бурчак узгармас булади.
Шу сабабли
N
А = F cos a J dS = F • S cos a
M


ифодага эга буламиз. Бу ерда S - жисмнинг босиб утган йули.

3. 
   - ифодадан: п
   

a < — булганда, кучнинг бажарган иши мусбат; п
a > булганда, кучнинг бажарган иши манфий; п
a = булганда, кучнинг бажарган механик иши нолга тенг булади. Иш бирлиги - 1 жоулдан иборат:
1Ж = 1Нм


Бажарилаётган ишнинг жадаллигини тавсифлаш учун кувват тушунчасидан фойдаланилади. N - цувват деб, АЛ бажарилган ишнинг, шу ишни бажариш учун кетган At вактга нисбатига тенг физик катталикка айтилади.


39

лг A A

^N = 77 > ^(1Z4)
Агарда жисм F куч таъсирида v узгармас тезлик билан харакатланса, кувват куйидагича ифодаланади:
AA F_S-AS
N = — = — = F_S • v
At At ^S
ва кучнинг харакат йуналишига проекцияси F_S ни жисмнинг тезлигига купайтмасига тенг булади.
кувват узгарувчан булганда оний кувват тушунчасидан фойдаланилади:
1- AA dA N_0H = lim — = —
^он At^0 At dt
Агарда оний кувват узгарувчан булиб At вакт нолдан сезиларли фарк килса, у холда уртача кувват тушунчаси уринли булади:
n = AA
At
кувват бирлиги - Вт билан улчанади
1Вт = 1Ж
сек

12. 
    - §. Кинетик ва потенциал энергиялар
    

Кинетик энергия жисм механикавий харакатининг улчовидир ва бу харакатни вужудга келтириш учун бажарилган иш билан бахоланади.
Агар F куч тинч турган жисмга таъсир этиб, унга v харакат тезлигини берса, у холда dA иш бажариб, жисмнинг харакат энергиясини шу бажарилган иш микдорига оширади. Шундай килиб, бу бажарилган иш жисмнинг кинетик энергиясини ортишига олиб келади.


40

dA = dW_k

Ньютон II конунининг скаляр куринишидан фойдалансак
т-i dv F = m—
dt
бажарилган ишни куйидагича ифодалашимиз мумкин:
dA = F • dS = m—• dS dt
dS
^v = ~dt булгани учун;
dA = mdv• — = mv• dv = dW_k dt ^k


Тула кинетик энергия ифодаси эса,
mv


W_k =j mv • dv = m -j*v- dv =


00 гатенгбулади.
Шундайкилиб, v - тезлик билан харакатланаётган m - массали жисмнинг кинетик энергияси


mv²


га тенг экан. Кинетик энергия m - массага боглик булиши билан бирга харакат тезлигининг функцияси хамдир.
Потенциал энергия - умумий механик энергиянинг бир кисми булиб, жисмларнинг бир-бирига нисбатан кандай холатда туриши ва улар орасидаги таъсир кучларининг характерига богликдир.
Агарда жисмларнинг узаро таъсири куч майдонлари оркали бажарилса (масалан, эластик куч майдони, гравитация кучи майдони, электр таъсир кучи майдони) бу холда жисмни кучишида бажарилган иш, бир нукта билан иккинчи нукта орасидаги траекторияга боглик булмай, жисмнинг бошлангич ва охирги холатига боглик булади.


41




Бундай иш бажарадиган майдонлар потенциал майдонлар деб аталади ва уларда таъсир килувчи кучлар консерватив кучлар деб аталади.
Агарда куч бажарган иш харакат траекториясига боглик булса, бундай кучлар дисссипатив кучлар деб аталади.
Кучнинг потенциал майдонида турган жисм W_n - потенциал энерияга эга булади. Одатда, жисмнинг маълум бир холатдаги потециал энергиясини ноль деб хисоблаб, уни хисоб боши деб, белгилашади. Бошка холатдаги энергия хисоб бошидаги холатга нисбатан аникланади. Шунинг учун айрим вактларда потенциал энергиялар фарки деган тушунчадан фойдаланилади. Жисмга куйилган
консерватив кучлар бажарган иш, шу жисм потенциал энергиясини узгаришига тенгдир.
dA = -dWn, (13.2)
Бунда потенциал энергия сарф булиши натижасида иш бажарилгани учун минус ишора пайдо булди. Бажарилган иш dA = Fdr булгани учун
^Fdr = ^-dWn , (13.3)
Агарда W_n(r) - функция аник булса, кучнинг модули ва йуналишини аниклаш мумкин.
W_n(r) функциянинг аник куриниши куч майдонининг характери билан аникланади. Масалан, Ер сиртидан h баландликка кутарилган жисмнинг потенциал энергияси
h
^Wn =j^dWn =J^Pdh = ^mS^h , ₍1₃.₄₎
0
га тенгдир. Бу ерда потенциал энергия h баландликдан тушаётган m массали жисмнинг бажарган ишига тенгдир.
Тизимнинг тулик энергияси, доимо механик харакат ва узаро таъсир энергияларнинг йигиндисидан иборатдир.
W = Wk + Wn, (13.5)


42