Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Cаволлар:

1. 
   Ызгармас коэффициентли бир жинсли, чизи=ли дифференциал тенгламани умумий кыринишини ёзинг.
   
2. 
   Характеристик тенгламани кыриниши ва ечимларини келтиринг..
   

29 - МАВЗУ:СОНЛИ +АТОРЛАР. СОНЛИ +АТОРЛАРНИ Я+ИНЛАШИШИ ВА УЗО+ЛАШИШИ ЩА+ИДА ТУШУНЧАЛАР.
Режа:

1. 
   Сонли =аторлар ща=ида асосий тушунчалар.
   
2. 
   Сонли =атор я=инлашишининг зарурий шарти.
   

Адабиётлар: 1, 2, 3.
1. Сонли =аторлар ща=ида асосий тушунчалар.
Бизга U₁, U₂, ..., U_n- чексиз сонларнинг кетма-кетлиги берилган былсин. Ушбу U₁+U₂+...+U_n+...=Σ U_n (1) йи`инди сонли =атор дейилади. U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub>, ..., U<sub>n</sub>, ... сонлар =аторнинг щадлари, U<sub>n</sub> эса =аторнинг умумий щади дейилади. Агар =аторнинг n-чи щади берилган былса, у щолда =атор берилган дейилади. (1) кыринишдаги чексиз =аторлар билан ырта мактаб алгебрасидан =исман танишмиз. Масалан чексиз камаювчи геометрик прогрессия щадларидан тузилган ушбу =атор a+aq<sub>1</sub>+aq<sup>2</sup>+...+aq<sup>n-1</sup>+... (2) =аторга мисол былади. (2) =аторнинг умумий щади U<sub>n</sub>=aq<sup>n-1</sup> (n=1, 2, ...) формула билан ифодаланади. Бу ерда а =аторнинг биринчи щади, q-эса махражи дейилади. Ушбу 1+1/2+1/3+...+1/n+... (3) кыринишдаги гармоник =атор щам чексиз =аторга мисол былади. (3) =аторнинг умумий щади U<sub>n</sub>=1/n(n=1, 2, ...). Агар =аторнинг щадлари функциялардан иборат былса, бундай =аторни функционал =атор дейилади ва унинг умумий щади U<sub>n</sub>=f<sub>n</sub>(x) (n=1, 2, ...) ор=али белгиланади. (1) =аторнинг дастлабки n та щадлари йи`индисидан тузилган ушбу S_n=U₁+U₂+...+U_n йи`индини =араймиз. Агар n чексиз ошганда S<sub>n</sub> йи`инди бирор S чекли лимитга интилса, у щолда (1) =аторни я=инлашувчи ва S сонни =аторнинг йи`индиси дейилади. Уни limS<sub>n</sub>=S каби белгиланади. Агар n чексиз ортганда S<sub>n</sub>
<sup>n</sup>
йи`инди чексиз ортса ёки лимит мавжуд былмаса, у щолда (1) =атор узо=лашувчи былади.
Шундай =илиб, кыриш осонки, =аторнинг я=инлашиши кетма-кетликнинг я=инлашиши ор=али, унинг йи`индисини топиш кетма-кетликнинг лимитини топиш билан щал =илинади. Ушбу S-S<sub>n</sub> айирмани =аторнинг =олди= щади дейилади ва уни R<sub>n</sub> ор=али белгиланади, яъни R<sub>n</sub>=S-S<sub>n</sub>; limR<sub>n</sub>=lim(S-S<sub>n</sub>)=0. +аторлар назариясининг
<sup>n n</sup>
асосий масаласи унинг я=инлашувчи ёки узо=лашувчи эканлигини ани=лашдан иборатдир.
1-Мисол. Чексиз камаювчи геометрик прогрессия щадларидан тузилган. a+aq+aq<sup>2</sup>+...+ +aq<sup>n-1</sup>+... (2) (a0) =аторни =арайлик. Бизга маълумки, (2) =аторнинг дастлабки n та щадининг йи`индиси S_n=(a(1-qⁿ))/(1-q)=a/(1-q)-aqⁿ/(1-q) тенг. Кырсатиш мумкинки q<1 былганда берилган катор я=инлашувчи LimSn=S=a/(1-q)), q1 былганда узо=лашувчи былади.
^n
2-Мисол.Ушбу 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n(n+1))+...
+аторнинг я=инлашувчилиги текширилсин. Кырсатиш мумкинки, =аторни щар бир щадини =уйидагича ёзиш мумкин:
1/(1 2)=1-1/2=1/2, 1/(2;3)=1/2-1/3
1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)=1/(n(n+1)). У щолда S_n=1-1/(n+1).Бундан limS_n=1.
^n
Демак берилган =атор я=инлашувчидир. Аммо ихтиёрий берилган сонли =аторни я=инлашувчи ёки узо=лашувчилигини ю=орида келтирилган усул билан щамма ва=т щам кырсатиб былмайди. Шу сабабли =аторларни текширишда умумийро= былган =атор я=инлашишининг зарур ва етарли шартлари мавжуд.
Агар (1) =атор я=инлашувчи былса U_n=0 былади. Бу сонли =атор я=инлашуви былишининг зарурий шартидир. Агар сонли =атор учун зарурий шарт бажарилмаса берилган =атор узо=лашувчи былади. Акссинча =атор я=инлашишнинг зарурий шарт бажарилишидан щамма ва=т щам уни я=инлашувчилиги келиб чи=майди.