O’zbekiston respublikasi xalq ta`limi vazirligi namangan viloyati pedagog kadrlarni qayta tayorlash va malakasini oshirish instituti qayta tayorlov kursi matematika kursi tinglovchisi

Қўшиш формулалари
Қўшиш формулалари деб ва ларни ва бурчакларнинг синус ва косинуслари орқали ифодаловчи формулаларга айтилади.
Теорема. Ихтиёрий ва учун қуйидаги тенглик ўринли бўлади
. (1)
Исбот: нуқтани координаталар боши атрофида , , радиан бурчакларга буриш натижасида мос равишда , ва нуқталар ҳосил бўлади.
С инус, косинус таърифига кўра бу нуқталар қуйидаги координаталарга эга: , , .
бўлгани учун ва тенг ёнли учбурчаклар тенг ва уларнинг ва асослари ҳам тенг. Шунинг учун . Геометрия курсидан маълум бўлган икки нуқта орасидаги масофа формуласидан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:
.
(1) формуладан фойдаланиб, бу тенгликни алмаштирамиз:

Асосий тригонометрик айниятдан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:

, бундан .
(1) формуладан ни га алмаштириб, ҳосил қиламиз: .
. (2)
Синуслар учун қўшиш формуласини келтириб чиқарамиз:

.
Демак,

, (3)
. (4)
. Бу касрни сурат ва махражини га бўлиб, қуйидаги формулани ҳосил қиламиз:
, (5)
. (6)
Иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси
Қўшиш формулаларидан фойдаланиб, иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси формулаларини келтириб чиқарамиз.
.
Демак,
. (1)
.
. (2)
бизга маълум. Биз деб фараз қилиб, тангенсни иккиланган бурчагини топамиз:
. (3)
Синус ва косинуслар йиғиндиси ва айирмаси
Мисол. Ҳисобланг: .
Ечиш: қўшиш формуласи ва иккиланган бурчак синуси формуласидан фойдаланиб, қуйидагига эга бўламиз:

.
Агар синуслар йиғиндиси формуласи

(1)
дан фойдаланилса, бу масалани соддароқ ечиш мумкин. Шу формула ёрдамида қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
Энди (1) формула ўринли эканлигини исботлаймиз.
; белгилаш киритамиз. У ҳолда , ва шунинг учун

.
(1) формула билан бир қаторда қуйидаги синуслар айирмаси формуласи, косинуслар йиғиндиси ва айирмаси формулаларидан ҳам фойдаланилади:

(2)
(3) (4)