Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти

3.Тенг тасир этувчи кучнинг моменти ҳақидаги Варинг`он теоремаси.

Фараз қилайлик бир нуқтада (масалан А нуқтада) жойлашган иккита  кучлар берилган бо`лсин, энди шу кучларни қо`шиб уларнинг тенг тасир этувчиси ни аниқлаган бо`лайлик.


4.4 шакл.

Енди ихтиёрий битта О нуқта танлаб олайликда, со`нгра шу нуқтага нисбатан  кучининг моментини, ҳамда шу нуқтага нисбатан  кучларнинг моментларини йиг`индиларини олиб ко`райлик.

Варинг`он теоремасига ко`ра, тенг тасир этувчи кучнинг ихтиёрий нуқтага нисбатан олинган моменти, ташкил этувчи кучларнинг шу нуқтага нисбатан олинган моментларининг алгебраик йиг`индисига тенг экан.

Исбот. Фараз қилайлик бирор А нуқтага қо`йилган  кучларни О марказга нисбатан момент векторларининг йиг`индиси қуйидагича ёзилади,

 (4.6)

Шу билан, бу теорема исбот қилинди, унинг афзаллиги шундаки ко`п ҳолларда айрим кучларнинг моментларини то`г`ридан то`г`ри аниқлашда унинг элкасини топиш анча мураккаб бо`лиши мумкин. Шундай масалаларни эчишда берилган кучни координата о`қларига параллел бо`лган ташкил этувчиларга ажратилиб, со`нгра уларнинг ҳар бирини берилган марказга нисбатан моментларини аниқлаб алгебраик равишда (вектор йиг`инди каби эмас) қо`шилади.

4. 
   Жуфт куч. Жуфт кучнинг моменти.
   

Ё`налишлари қарама қарши, сон қийматлари о`заро тенг ва тасир чизиқлари параллел бо`лган иккита куч, жуфт куч (ёки жуфт) дейилади.

Бундай кучларни қо`шиб бо`лмайди, яни уларнинг тенг тасир этувчиси бо`лмайди, бундай кучлар системаси шундайлигича сақланиб қолинади ва уларни жуфт кучлар дейилади.

Жуфтнинг моменти деб, жуфтларни ташкил этувчи кучларнинг бирортасининг модулини, жфтнинг элкасига ко`пайтмасига айтилади (шакл). Жуфтнинг элкаси деб шу кучларнинг тасир чизиқлари орасидаги энг қисқа масофага айтилади.

 (4.7)

бу эрда д - жуфтнинг элкаси.

Жуфт куч моменти ҳам вектор қиймат, ва у вектор момент, жуфт жойлашган теккисликка перпендикуляр равишда ё`налган бо`либ, унинг учидан қараганимизда, жуфт куч жисмни соат стрелкасига тескари ё`налишда айлантираётганлигини ко`ришимиз зарур, акс ҳолда у манфий ишора билан белгиланади (4.5 бшакл ).



4.5 а) шакл. 4.5 б) шакл.

Жуфтнинг моментини асосий хусусияти шундаки, уни ихтиёрий олинган нуқталарга нисбатан моментлари бир бирига тенг бо`лади, шунинг учун жуфтнинг моментини қайси нуқтага нисбатан олинаётганлиги белгиланмайди (юқоридаги формулага этибор беринг), яни



Буни исбот қилайлик (4.5 б шаклга қаранг). Бунинг учун О марказдан Ф₁ ваФ₂ кучлар қо`йилган А ва В нуқталарга радиус векторлар о`тказайлик, ва ҳар бир кучнинг вектор моментини алоҳида - алоҳида аниқлаб, уларни қо`шайлик, яни



Лекин (шаклга қаранг)  бо`лгани учун, буни юқоридаги тенгламага қо`йиб, ихчамлаштирсак, қуйидагини оламиз,



 эканлигини этиборга олсак 

ни ҳосил қиламиз, яни А ва В нуқталарнинг радиус векторлари юқоридаги формулада умуман иштирок этишмаябдилар, шуларни этиборга олсак,



ни ёзамиз, яни жуфтнинг моменти ҳамма нуқталар учун бирхил сон қийматга эга эканлигини аниқладик.

Еквивалент жуфтлар. Механикада жуда ко`п ҳолларда эквивалент жуфтлардан кенг фойдаланилади. Эквивалент жуфтлар деб шундай (икки хил кучлардан ташкил топган) жуфтларга айтиладики, улар бир текисликда жойлашган бо`либ, жуфтларни ташкил этувчи кучларнинг модуллари турлича бо`либ, уларнинг элкалари ҳам тегишли равишда бошқача бо`лади, лекин уларнинг моментлари, ҳам сон қиймати жиҳатдан, ҳам ё`налиши жиҳатдан бирхил бо`лишлари шарт.

Агар биз шундай битта жуфтни бошқа, яни модули ва ё`налиши бирхил бо`лган бошқа жуфт билан алмаштирсак жисмнинг аввалги ҳолати о`згармайди. Бу қоидани исбот қилиш жуда осон, шунинг учун уни бу эрда келтирмаймиз.

Масалан, битта жуфт элкаси ҳ - га тенг бо`лган  кучлардан иборат бо`лсин, иккинчиси эса, элкаси д - га тенг бо`лган  кучлардан иборат бо`либ, иккала жуфт ҳам бир текисликда ёки параллел текисликларда жойлашган бо`лишсин. У ҳолда агар, қуйидаги тенглик о`ринли бо`лса, яни



бу жуфтлар эквивалент жуфтлар дейилади, ва уларни бемалол бир бирлари билан алмаштириш мумкин.

Текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасини

соддаҳолга келтириш.

Масалаларни эчганимизда, яни бош вектор ва бош момент аниқлангандан кейин, қуйидаги ҳоллар бо`лиши мумкин:

1. 
   Бош вектор Қҳ0 га тенг, бош момент М_о0. Бу ҳолда жисм О нуқта атрофида М_о га тенг моментли жуфт тасирида (унинг ишорасига қараб у ёки бу томонга) фақат айланма ҳаракат қилаётганлиги ко`риниб турибди.
   
2. 
   Бош вектор Қ0 га тенг, бош момент М_оҳ0. Бу ҳолда жисм  кучига тенг бо`лган бош вектор тасирида фақат илгарилама ҳаракат қилаётганлиги ко`риниб турибди.
   
3. 
   Бош вектор Қҳ0 га тенг, бош момент М_оҳ0. Бу ҳолда жисмга қо`йилган кучлар системасининг бош вектори ҳам, бош моменти ҳам нолга тенг экан, демак жисм мувозанат ҳолатда эканлиги ко`риниб турибди. Бу масала алоҳида ко`риб о`тилади.
   
4. 
   Бош вектор Қ0 га тенг, бош момент М_о0. Бу ҳолда қаттиқ жисм бир вақтни о`зида ҳам илгарилама, ҳам айланма ҳаракат қилмоқдалиги ко`риниб турибди.
   

Масалан поезд вагонининг г`илдираги шундай ҳаракатда бо`лади, яни бир вақтни о`зида поезд билан биргаликда илгарилама ҳаракат қилади, иккинчи томондан у о`з о`қи атрофида айланма ҳаракат қилади.



5.3 шакл.

4) ҳолатда бош вектор билан бош моментни битта тенг тасир этувчи вектор билан алмаштириш мумкин. Бунинг учун бош моментни қийматлари Қ - га тенг бо`лган иккита  жуфт куч билан алмаштирамиз, ва бу жуфтни берилган О марказга шундай о`рнаштирамизки (у 5.3 шаклда ко`рсатилган) бош вектор  билан  вектори бир то`г`ри чизиқда ётишиб ё`налишлари қарама қарши бо`лсин, шунинг учун статиканинг иккинчи аксиомасига асосан уларни жисмдан олиб ташлаш мумкин.

У ҳолда жисмга С нуқтага ягона  кучи қо`йилган бо`лади холос, шунинг учун уни тенг тасир этувчи вектор деб атаб,  ҳарфи билан белгиланади.

Текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасининг

мувозанатлик шарти.

Юқорида ко`риб о`тганимиздек, текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасининг мувозанати учун бош вектор ва бош момент бир вақтни о`зида нолга тенг бо`лишлари шарт, яни

 (5.3)
Юқорида нуқтани ихтиёрий равишда танлаб, о`зимиз уни О нуқта деб белгилаган эдик, шунга ко`ра масалалар эчганимизда исталган нуқтага нисбатан моментларнинг йиг`индисини нолга тенгласак бо`лаверади.

Мувозанат тенгламасининг асосий ко`риниши: Малумки, агар берилган ихтиёрий ё`налган кучлар системаси бир текисликда ётса, улар жисмни иккита о`қ бо`йича илгарилама, (яни Ох ва Оу о`қлари бо`йича илгарилама,) ҳамда бирор нуқта (масалан О нуқта) атрофида айланма ҳаракат қилдириши мумкин, шунга ко`ра мувозанат тенгламасининг асосий ко`риниши қуйидагича бо`лади, яни
 (5.4)
ко`ринишларда тузилади, ва аксарият масалалар ушбу тенгламалар системаси орқали эчилади.

Бази ҳолларда юқоридаги тенгламалар системаси орқали масалалар эчилганда айрим ноқулайликларга дуч келишимиз мумкин. Шундай ҳолларда бошқа ко`ринишдаги қуйидаги икки хил турдаги тенгламалар системаси тузилади.

Текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасининг мувозанат шартининг иккинчи ко`риниши. Текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системаси мувозанатда бо`лиши учун жисмга қо`йилган барча актив кучларнинг ва реактсия кучларининг ихтиёрий иккита А ва В нуқталарга нисбатан олинган моментларининг йиг`индилари ва шу АВ кесмага перпендикуляр бо`лмаган о`ққа проектсияларининг йиг`индиси нолга тенг бо`лиши шарт, яни
 (5.5)
Бу эрда Ох о`қи АВ чизиққа перпендикуляр бо`лмаслиги шарт ( шакл 5.4).


4. 
   шакл.
   

Текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасининг мувозанат шартининг учинчи ко`риниши. Текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системаси мувозанатда бо`лиши учун жисмга қо`йилган барча актив кучларнинг ва реактсия кучларининг бир то`г`ри чизиқда ётмаган ихтиёрий учта А, В, С, нуқталарга олинган моментларининг йиг`инлилари нолга тенг бо`лиши шарт, яни
(5.6)
Юқорида такидлаганимиздек масалалар эчганимизда ҳардоим мувозанат тенгламаларининг биринчи шартидан фойдаланиш мақулроқ, чунки унга ҳечқандай чекланишлар қо`йилмаган. Лекин айрим ҳолларда иккинчи ва учинчи шартлардан фойдаланиш катта афзалликларга олиб келиши мумкин.

Умуман олганда шуни такидлаш лозимки, текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасининг мувозанат тенгламалар системаси, ҳар доим учта тенгламадан иборат бо`лар экан. Шунга ко`ра биз фақат учта номалумни аниқлашимиз мумкин холос, агар номалумлар сони то`ртта ва ундан ортиқ бо`лса, бундай тенгламалар статик ноаниқ масалалар дейилади, ва уни статика қисмида эчиб бо`лмайди.

Лекин бу билан ундай масалаларни мутлоқ эчиш мумкин эмас экан, деган фикр чиқмаслиги керак. Сабаби шуки шундай масалаларни «Материаллар қаршилиги» фанини о`рганилгандан кейингина эчиш мумкин бо`лишлигини такидламоқчимиз холос.