Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги коракалпак давлат университети “технология” кафедраси

n _j

y _i 
^{ x} ji
i  1

n

j
бу ерда,
n_i- ушбу интервалдаги тажриба нуқталари


У

Х

Сўнгра, бу ўртача қиймат нуқталарини бирлаштириб, регрессиянинг эмперик эгри чизиғини оламиз. Бу чизиқ кўринишига қараб, регрессия тенгламасини танлаб олиш мумкин,
У қ f (Х )
Регрессия тенгламаси параметрларини аниқлаш кўп ўзгарувчилик функциянинг минимумини аниқлашга бориб тақалади.
Агар, У = f ( x;b_o;b₁;b₂;....) функциядан Хосила олиш мумкин бўлса, b,b,b,...,b ларни қийматларини шундай танлансинки, унда қуйидаги шарт бажарилсин,
N
Ф(b , b ,b ...)  _y  f (x ,b , b ,b ...)²  min

0 1 2
iэ
i1
i 0 1 2

яъни, b,b,b,...,b ларнинг шундай қийматларини топиш керакки, унда Ф(b_o;b₁;b₂) функция минимумга интилсин. Бу функциянинг Ф(b_o;b₁;b₂) минимумга интилиш шарти, қуйидаги шартни бажарилишидир ( функция экстремуми борлигининг зарурий шарти),

ёки
 Ф

 b ₀
 Ф

1
 0 ; _{ b}
 Ф

2
 0 ; _{ b}  0

0 _
^N  f ( x _i ) 



i  1
²  ^y _i ^{
f ( x} _i ^b ₀ ^b ₁ ^b ₂ ^{. ... . )} 

 b _{0 }

^N  f
( x _i ) ^




i  1
²  ^y _i ^{
f ( x} _i ^b ₀ ^b ₁ ^b ₂ ^{. ... . )} 
 0 _


^b 1 ^



i  1
²  ^y _i ^{
f ( x} _i ^b ₀ ^b ₁ ^b ₂ ^{. ... . )} 
 f ( x _i ) _{ 0 }
^{ b} ₂ 


.. .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... . . ^
ёки, математик ўзгартиришлардан сўнг:

^N  f
( x _i ) ^N
 f ( x _i ) 

_ y _i i  1
 b ₀
 _
i  1
f ( x _i b ₀ b ₁ b ₂ ..... )

 b _{0 }

0 _
^N  f
( x _i ) ^N
 f ( x _i ) ^

_ y _i i  1
 b ₁
 _
i  1
f ( x _i b ₀ b ₁ b ₂ ..... )
 0 _
^b 1 ^


^N  f ( x ) ^N
 f ( x ) ^

_{ y} i _{ }
f ( x b b b
..... ) ⁱ  0 ^

i
i  1
 b ₂


i  1
i 0 1 2
^{ b} ₂ 


...... .............................. ................................ .^
Ушбу тенгламалар тизимсида нечта номаълум коэффициент бўлса, шунча тенгламалардан ташкил топган. Бу математик статистикада нормал тенгламалар тизимси дейилади. Бу тенгламалар тизимсини функциянинг умумий кўриниши учун ечиб бўлмайди. Бунинг учун функциянинг конкрет кўринишини танлаб туриб масалани ечиш керак.
Стахостик жараёнларни математик моделлаштиришда, одатда экспериментал статистик моделлаштириш усули қўлланилади. Бунда технологик жараённинг математик моделини тузишда
, шу объектда олинган тажриба натижаларидан фойдаланилади.


Чизиқли регрессия

Қандайдир технологик жараённинг математик ифодасини тузиш керак бўлсин ( 4 - расм).

Y

4- расм

Бу технологик жараённинг чиқиш параметри (У) кириш параметри (X) га боғлиқ ўзгаради , яъни улар орасида қандайдир функционал боғлиқлик бор, У=f(х). (масалан: берк идишдаги босимнинг Хар хил қийматларига, идиш ичидаги суюқликнинг Хар хил қайнаш температураси мос келади).
Агар бу боғлиқлик математик ифодасини, маълум қонуниятлар орқали аналитик ифодалаш мумкин бўлмаса, унда экспериментал статистик моделлаштириш усулидан фойдаланилади. Бунинг учун аввал эксперимент ўтказилади. Кириш параметри (x) қийматини ўзгартириб бориб, чиқиш параметри (У) қийматлари олинади.

Бу қийматларни координаталар тизимсига қўйиб чиқиб, эксперимент нуқталари бирлаштирилади ва регрессия «эгри» чизиғи олинади( расм 5.).
Регресия эгри чизиғининг кўриниши Хар хил бўлиши мумкин. Масалан : тўғри чизиқ, парабола ёки бошқа кўринишда.
Регрессия эгри чизиғи кўринишига қараб боғлиқлик тенгламаси танланади (масалан, y= kx, яъни координата бошидан ўтган тўғри чизиқ тенгламаси ).

У

У= К*Х

Х

5-расм
Бу тенглама коэффициентини, энг кичик квадратлар усулини қўллаб топилади. Бу усулга биноан , қуйидаги шарт бажарилиши керак .
n

_( y
i 1
эi ^{ y}хi
) ²  min

(яъни , Хисобий нуқталарнинг экспериментал нуқталардан четлашиши минимал бўлиши керак ) .
Бу ерда, N - экспериментлар сони ;
y_эi -кириш параметрининг x_i қийматига мос келадиган чиқиш параметрининг экспериментал қиймати ;
y_xi -кириш параметрининг х қийматига мос келган чиқиш параметрининг Хисобий қиймати .
Агар регрессия « эгри» чизиғи , координата бошидан ўтувчи тўғри чизиғга яқин бўлса , унда уни y= kx тенглама ёрдамида ифодалаш мумкин. Бу тенгламани (1.1) тенгламага қўйиб , қуйидагини оламиз.

 = _( y
i 1
_эi  kx_i
)²  min

Функцияни классик таХлил қилиш усулида , шу функцияни экстремуми борлигини керакли



шарти буйича,
яъни,
_{ k}  0



_2 ( y_эi - kx_i ) x_i  0
i 1

n

Ушбу тенгламани математик ўзгартиришлардан сўнг, тенглама коэффициенти k ни Хисоблаш тенгламасини оламиз
^yэ i ^{ x}i

n
_{K =} i1

i
_x2
i1
k нинг қийматини Хисоблаш учун, аввал қуйидаги йиғиндиларни Хисоблаш керак :

_ y
i 1
_эi  x_i ; ва
n

_ x
2
i
i 1

Масалани ечиш блок схемаси 6-расмда берилган.

program mnk; var
q:array{[0..12] of integer; d:array[0..12] of integer; n,i,s1,s2:integer;
k:real; begin
writeln(k');
writeln(D(N));
writeln('0, 30, 60, 90,120,150,180,210,240,270,300,330,360,390');
writeln(Q(N));
writeln('325, 327, 330, 338, 347, 352, 355, 357, 360, 365,370,380,385');
writeln(эNқ'); readln(n);
q[0]:=325; q[1]:=327; q[2]:=330;
q[3]:=338; q[4]:=347; q[5]:=352; q[6]:=355; q[7]:=357;
q[8]:=360; q[9]:=365; q[10]:=370 q[11]:=380;q[12]:=385;
d[0]:=0; d[1]:=30; d[2]:=60; d[3]:=90; d[4]:=120;
d[5]:=150; d[6]:=180; d[7]:=210; d[8]:=240; d[9]:=270; d[10]:=300; d[11]:=330; d[12]:=360;
s1:=0; s2:=0;
for i:=0 to n do begin s1:=s1+q[i]*d[i];
s2:=s2+d[i]*d[i];
end; k:=s1/s2;
writeln(k=', k:1:4); readln
end.
Регрессия эгри чизиғи кўринишига қараб У ва Х орасидаги боғлиғликни
Y=b_o+b₁X тенглама орқали ифодалаш мумкин бўлса, унда энг кичик квадратлар усулини қўллаб, чизиқли тенглама коэффициентларини аниқлаш мумкин. Бунда нормал тенгламалар тизимси қуйидагича бўлади:


N N _
 ^y_i ^ _^b₀ ^{ b}₁^x_i  ^{ 0} _


i 1
N
i 1
N _

_ ^y_i ^x_i ^ _^b₀ ^{ b}₁^x_i ^x_i ⁰_

i 1
i 1 

ёки

N


N



Nb₀  b_1 x_i  _ y_i




i 1 i 1 _

N N N
b _ x  b _ x ²  _ x y ^

0 i
i 1
1 i
i 1


i 1
i i _

Тенглама коэффициентларини Крамер усулини қўллаб топиш мумкин. Крамер усули бўйича тенглама коэффициентлари қуйидаги тенгламалар бўйича аниқланади:

i i i i i

i i i
b   ^{ y}
_ x ²  _ x _ x y

0
N _ y_i
N _ x ²  _ x _ x

 ^x_i  ^x_i ^y_i ^{N }_ ^x_i ^y_i ^ _ ^x_{i } ^y_i


b₁  ₂

i i i

_ x
_{N  xi} N _ x  _ x _ x

2
^{ x}i i