17-mavzu. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari: matematik kutilma, dispersiya va o`rtacha kvadratik chetlanish. Diskret tasodifiy miqdorga misollar. Gipergeometrik, binomial va Puasson taqsimotlar

Teorema. Agar zichlik funksiyaga ega bo`lib, da aniqlangan uzluksiz funksiya bo`lsa va

integral absolyut yaqinlashsa, u holda

(10)

tenglik o`rinli.

Isboti.Teoremani avval oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya uchun isbotlaymiz. Harqaysi sonlar uchun va deb belgilaymiz.

ihtiyoriy musbat son bo`lsin. U holda faqat ga bog`liq bo`lgan shunday natural son topiladiki, barcha va har qanday sonlar uchun tengsizlik o`rinli, ya’ni funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga oraliqda tekis yaqinlashadi. sodda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini kiritamiz. Yuqorida isbotlanganiga ko`ra tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi tasodifiy miqdorga tekis yaqinlashadi. Demak, matematik kutilmaning ta’rifiga ko`ra

. (11)

Ikkinchi tomondan

Bu tenglikdan vayuqorida tsbotlangan tengsizlikdan, sonlar uchun

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan, (11) tenglikka ko`ra (10) formulaga kelamiz.

Endi bo`lgan holga o`tamiz. Ushbu



funksiyalar ketma-ketligini kiritamiz. tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi tasodifiy miqdorga monoton yaqinlashadi. Monoton yaqinlashish haqidag iteoremaga ko`ra munosabat o`rinli. Bundan va

munosabatdan (10) tenglik manfiy bo`lmagan funksiyalar uchun o`rinli ekanligi kelib chiqadi.

Umumiy holda, tenglikdan va teoremaning musbat g(x) funksiyalar uchun o`rinli ekanligidan,

Teorema isbot bo`ldi.

Izoh. (10) formula funksiya fazoni R fazoga akslantiruvchi n-o`lchovli uzluksiz funksiya bo`lgan umumiy holda ham o`rinli ekanligini yuqoridagi kabi isbotlash mumkin. n o`lchovli tasodifiy vektor absolyut uzluksiz bo`lib, uning zichlik funksiyasi bo`lsin. U holda matematik kutilma

formula orqali hisoblanadi.

Izoh. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozish ma`lum qiyinchiliklarga olib keladigan ba`zi hollarda matematik kutilmani hisoblash uchun (10) formuladan foydalanmay, balki boshqa (matematik kutilmaning xossalaridan foydalanuvchi) turli usullar ishlatiladi:

Misol. Standart normal taqsimotga ega bo`lgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

va tasodifiy miqdor parametrli normal taqsimlangan. Demak matematik kutilmaning additivlik xossasiga ko`ra ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglikni biz 8-misolda keltirib chiqargan edik.

Misol. n ta bog`liqsiz tajribalardan iborat bo`lgan Bernulli sxemasida, kuzatilayotgan hodisaning ro`y berishlar soni ni yig`indi shaklida ifodalash mumkin, bu yerda hodisaning j nchi tajribadagi ro`y berishlar soni.

bo`lgani uchun, matematik kutilmaning additivlik xossasiga ko`ra

tenglik kelib chiqadi. Bu 2-misoldagi natija bilan bir xil, ammo juda kam hisoblashlar yordamida olingan.