17-mavzu. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari: matematik kutilma, dispersiya va o`rtacha kvadratik chetlanish. Diskret tasodifiy miqdorga misollar. Gipergeometrik, binomial va Puasson taqsimotlar

Teorema (Monoton yaqinlashish haqidagi teorema). -manfiy bo`lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun va munosabatlar o`rinli bo`lsin. Agar matematik kutilmalar mavjud bo`lib, bo`lsa, u holda tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi chekli bo`lib, tenglik o`rinli bo`ladi.

Isboti. bo`lgani uchun 3 teoremaning xossasiga ko`ra va

. (7)

va bo`lsin. U holda munosabatlar o`rinli. sodda tasodifiy miqdor va bo`lgani uchun monoton o`sadi. bo`lsin. U holda har bir uchun bo`lgani sababli

(8)

Shu bilan birga, bo`lsa, va bundan deb barcha lar uchun tengsizlikning o`rinli ekanligini hosil qilamiz. Demak, va tengsizliklar, (7) va (8) munosabatlar bilan birga teoremani isbotlaydi.

Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

Formula orqali ifodalanishi bizga ma’lum. Quyida absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasini hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz:

Teorema. Agar tasodifiy miqdor zichlik funksiyaga ega bo`lib,

bo`lsa, u holda

(9)

tenglik o`rinli.

Isboti. Biz Riman ma`nosida integrallanuvchi va (9) tenglikning o`ng tomonida Riman xosmas integrali turibdi deb faraz qilamiz (teoremaning isboti Lebeg integrali uchun ham o`rinli).

hodisalarni va sodda tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini kiritamiz. U holda tenglik o`rinli.Shu bilan birga



va

munosabatlar o`rinli.

tengsizliklardan da (9) tengsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi.

Endi absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasini hisoblashga doir bir nechta misollar keltiramiz.

Misol. oralig`ida tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor bo`lsin. Bu holda yoki bo`lsa ekanligini hisobga olsak

Kutganimizdek, oraliqning o`rtasi bilan ustma-ust tushar ekan.

Misol. parametrli normal taqsimotga ega bo`lgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini topamiz:

.

Oxirgi integralda almashtirish bajarib, quyidagiga ega bo`lamiz

.

Bu erda birinchi integral integrallanuvchi funksiya toq funksiya bo`lgani sababli nolga teng, ikkinchisi esa standart normal zichlik funksiyadan olingan integral bo`lgani uchun birga teng. Shunday qilib, yani normal taqsimotning birinchi parametri uning matematik kutilmasidan iborat ekan.

Misol. tasodifiy miqdor Koshi zichlik funksiyasiga ega bo`lsin;

U holda bo`lgani uchun, ning matematik kutilmasi mavjud emas.