17-mavzu. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari: matematik kutilma, dispersiya va o`rtacha kvadratik chetlanish. Diskret tasodifiy miqdorga misollar. Gipergeometrik, binomial va Puasson taqsimotlar

Isboti.

Agar va o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u holda tenglik o`rinli.

Isboti. Ta’rifga ko`ra, . Bundan matematik kutilmaning additivlik xossasidan foydalanib quyidagini topamiz:

,

chunki va tasodifiy miqdorlarning bog`liq emasligidan tenglik kelib chiqadi.

4-xossa, faqat ikkita emas, balki juft-jufti bilan bog`liqsiz bo`lgan n ta tasodifiy miqdorlar yig`indisi uchun ham o`rinli ekanligini ko`rish qiyin emas.

Misol. (n,p) parametrli binomial taqsimotga ega bo`lgan tasodifiy miqdorning dispersiyasini hisoblaymiz.

tasodifiy miqdorning dispelrsiyasini hisoblash uchun xossadan foydalanamiz. matematik kutilma 2- misolda topilgan edi: Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:

(12)

Demak, . (12) natijaga quyida keltirilgan usul bilan osongina kelish mumkin: tasodifiy miqdorni n ta bog`liqsiz tajribalardan iborat bo`lgan Bernulli sxemasida kuzatilayotgan hodisaning ro`y berishlar soni ekanligini hisobga olib, uni

ko`rinishidagi yig`indi shaklida ifodalash mumkin, bu yerda orqali tajribada hodisa ro`y bersa 1, aks holda 0 qiymat qabul qiluvchi tasodifiy miqdor belgilangan. Har bir qo`shiluvchining dispersiyasi

va tasodifiy miqdorlar birgalikda bog`liqsiz bo`lgani uchun, 4- xossaga ko`ra ushbu

tenglikka kelamiz.

Misol. parametrli Puasson taqsimotiga ega bo`lgan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.

Buning uchun biz dispersiyaning xossasidan foydalanamiz. Bizga ekanligi ma`lum (3-misol). ning matematik kutilmani hisoblaymiz:

.

Shunday qilib,

_,

yani Puasson taqsimotining dispersiyasi ham, uning matematik kutilmasi kabi, parametrga teng ekan.

Misol. oralig`ida tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi (10) formulaga asosan topiladi:



Misol. parametrli normal taqsimotga ega bo`lgan tasodifiy miqdorning dispersiyasini topamiz:



almashtirish bajarib, quyidagini hosil qilamiz:

Hosil bo`lgan integralni, deb olib, bo`laklab integrallaymiz

Demak, parametrli normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi uning ikkinchi parametriga teng ekan.

Misol.-parametrli gamma taqsimotning dispersiyasini hisoblaymiz:

ekanliginihisobga olib, dispersiyaning xossasidan foydalanamiz.:





Ta’rif. A,P) ehtimollar fazosida aniqlangan tasodifiy miqdor va k>0 biror son bo`lsin Agar matematik kutilma mavjud bo`lsa, u holda songa tasodifiy miqdorning k-tartibli boshlang`ich momenti, songa esa, uning k-tartibli absolyut momenti deyiladi.

1