Shunga qaramay, agar haydovchi faqat rulda harakat qilsa, masalan 6

Boshqaruvchi tenglamalar

Thechiziqliyagona yo'l modeli umumiy chiziqli bo'lmagan modeldan faqat konstitutsiyaviy tenglamalari bilan farq qiladi. Biroq, biz bu erda barcha tegishli tenglamalarni sanab o'tamiz, ya'ni muvozanat tenglamalari (6.4)

300 6 Yo'l avtomobillarini boshqarish


m(v̇+ur)=Y=Y1+Y2
Jzṙ=N=Y1a1−Y2a2 ^(6,194)
muvofiqlik tenglamalari (6.68) ( | bilanch| -1 va ko'pincha nolga teng)

a1=t1dv− a2=cht1dv−
v+ra1

u

v−ra2

u

(6,195)

va faqat aniqlanganchiziqlikonstitutsiyaviy tenglamalar (6.192) [10, bob. 5]


Y1=C1a1
_Y2_=C2_a2 (6,196)
Kongruentlik va konstitutsiyaviy tenglamalarni birlashtirib, biz olamiz

(
Y1=C1a1=C1 _t1dv −

(

v+ra ₁ ^)
u ) (6,197)
v−ra2

Y2=C2a2=C2 t ₁chdv− _u
ichida chiziqlivvar, lekin ichida emasu.
Ushbu tenglamalarni muvozanat tenglamalariga kiritib, biz boshqaruvchi tenglamalarni olamiz, ya'ni ikkitachiziqlidifferensial tenglamalar

( _C1 _{+ C}2 ) (
C₁a ₁ − C₂a ₂ ⁾
C1 + chC2t d

v̇= −
_mu v−
_mu + u r+
_m 1v

ṙ= −
⁽ C1a1−C2a2 ^{) (}
Jzu ^v−
C1a1²+C2a2 ²⁾
Jzu ^r+
C₁a ₁ − chC2a2t d
_{J z} 1 v
(6,198)

Matritsa yozuvida, (6.198) aylanadi

ẇ=Voy+bdv (6,199)

qayerdaw(t)=

⁽ v(t), r(t) ⁾ holat o'zgaruvchilari vektori, rhs ma'lum vektor hisoblanadi

^⎡ C1+chC2 ^⎤

b(t)=t1⎣C ^⎢

va

1a1−c^mhC2a2 ^{⎥⎦ (6.200)}

Jz

^⎡ C1+C ₂ C1a1−C2a2+u ^⎤

A=A(u(t))= −
_⎢ mu
^⎣ C1a1−C2a2
Jzu
mu _⎥

⎦
C1a12+C2 2a2


Jzu

(6.201)

koeffitsient matritsasi hisoblanadi. Shuni ta'kidlash kerakAoldinga siljish tezligiga bog'liq

u, lekin rul burchagida emasdv, bu ma'lum vektorni ko'paytiradib.

2. 
   Doimiy oldinga siljish uchun yechim
   

Ma'lumki, umumiy yechimw(t)ning (6.199) yechim bilan beriladiwobir jinsli tenglama va ma'lum bir yechimwp

w(t)=wo(t)+wp(t) (6.202)

Afsuski, analitik echimlar mavjud emasu(t)=const.

Agaruhisoblanadidoimiy(u̇=0), tizim (6.199) doimiy koeffitsientlarga ega va bir hil eritma bajarishi kerak


ẇo=Voyo (6,203)

bilandoimiymatritsaA. Doimiy farazushuning uchun juda mos keladigan taxmindir. Eksponensial funksiyalar orasidan yechim izlaymiz

(t), r
wo(t)=vo⁽
)

lt
o(t)=xe

(6,204)

nazarda tutadiẇo(t)=lxe matritsaA


lt,va natijada uchun xos qiymat muammosini keltirib chiqaradi


Ax=lx (6,205)

Xususiy qiymatlar xarakteristik tenglamaning yechimlaridir

det(A−lI)=0 (6,206)

qaysi, a uchun(2×2)matritsaga aylanadi

l2− tr(A)l+det(A)=0 (6,207)

Ikki xos qiymatl1val2bor

2
tr(A)±tr^√ )2− 4 det(A) ^√

l1,2= ^(A
= −zōn± ōn z2 − 1 (6,208)

Diskriminant salbiy bo'lsa, agarz <1, dinamik tizim kam damlangan va o'z qiymatlari murakkab konjugatlardir.

Kimdan (6.201) biz izni olamiz

J
1C⁽ 1+C2 C1a1²+C ₂a^{2 )}

va aniqlovchi
tr(A)= − _{u m} +
² <0 (6,209)
z

det(A)=

^{1 [}C1C2(a1+a2)2−mu2(C1a1−C2a2) ^]

u mJ
2 z

(6.210)

Bu ikki miqdor juda muhim, chunki ular ikkita o'z qiymatlari haqida qulay ma'lumot beradil1el2ningA, beri

tr(A)=l1+l2 det(A)=l1l2
(6.211)
(6,212)

Bu ikki munosabatni xarakteristik tenglamani quyidagicha yozish orqali osongina olish mumkin (l−l1)(l−l2)=0.

Ikki xos qiymat olingandan keyin ikkita xos vektorni hisoblashimiz
mumkinx1vax2.
Demak, bir jinsli sistemaning yechimi


wo(t)=g1x1el1t+g2x2el2t (6,213)

qayerdag1eg2konstantalar hali aniqlanishi kerak. Bizda mavjud komponentlarda

vo(t)=g1x11el1t+g2x12el2t
ro(t)=g1x21el t+g2x22el t ^(6,214)
1 2

qayerdax1=(x11,x21)vax2=(x12,x22).

Maxsus integralwp(t)=(vp(t), rp(t))ma'lum vektorga bog'liqbva rul burchagidadv(t). Eng oddiy holat doimiy uchundv, lekin analitik yechimlar qachon ham mavjuddv(t)polinom yoki trigonometrik funktsiyadir.
Xulosa qilib aytganda, tizimning umumiy yechimi (6.199) hisoblanadi


w(t)=wo(t)+wp(t)=g1x1el1t+g2x2el2t+wp(t) (6,215)

unda ikkita doimiyg1vag2dastlabki shartlardan kelib chiqib aniqlanishi kerak w(0)=(v(0),r(0)), bu tizimni hal qiladi

Sy=w(0)−wp(0) (6,216)
qayerday=(g1, g2)vaSustunlari ikkita xos vektor bo'lgan matritsadirA.

3. Kritik tezlik

Ikki qismwovawpumumiy yechimning alohida jismoniy ma'nolari bor. Muayyan integral avtomobilning asimptotik tarzda bajaradigan ishi, ya'ni asosan barqaror holatda. Bir hil tizimlarning yechimi, agar transport vositasi barqaror bo'lsa, barqaror holatga kelgunga qadar avtomobil qanday harakat qilishini ko'rsatadi.

Sektda allaqachon muhokama qilinganidek.6.10.4, avtomobilning barqarorligi to'liq ikkita o'ziga xos qiymat bilan belgilanadil1val2, yoki yaxshiroq, ularning haqiqiy qismlari Re belgisi bilan(l1)va Re(l2). Qoida juda oddiy: tizim asimptotik barqaror bo'ladi, agar ikkala o'z qiymatlari ham manfiy haqiqiy qismlarga ega bo'lsa.

barqarorlik ⇐⇒ Re(l1) <0 va Re(l2) <0 (6,217)

Agar faqat bitta xos qiymat ijobiy real qismga ega bo'lsa, tegishli eksponensial yechim vaqt o'tishi bilan chegaralanmagan holda o'sadi va tizim beqaror bo'ladi.

Yaxshiyamki, biz barqarorlikni ikkita xususiy qiymatni aniq hisoblamasdan tekshirishimiz
mumkin, lekin oddiygina (6.211) va (6.212). Asimptotik barqaror transport vositasiga ega bo'lish uchun buni tekshirish kifoya

barqarorlik ⇐⇒ tr(A) <0 va det(A) >0 (6,218)

Kimdan (6.209) biz darhol tr(A) <0 har doim bajariladi. Shunday qilib, barqarorlik butunlay ikkinchi shartga bog'liq ((6.218). Sozlama det(A)=0 dyuym (6.185) noma'lum oldinga tezlikda tenglama hosil qiladiu, kimning yechimi, agar mavjud bo'lsa, bukritik tezlik ucr

ucr=
√
^C1^C2^l2 . (6,219)
m (C1a1−C2a2)

Kritik tezlikdan tashqari avtomobil beqaror bo'lib qoladi. Shuni ta'kidlash joizkiucr

ga bog'liq emasJz.
Chiziqli bitta yo'l modelida kritik tezlik faqat va faqat mavjud bo'lganda mavjud


C1a1−C2a2>0 (6.220)

ya'ni, agar avtomobil haddan tashqari boshqarilsa. Ushbu avtomobil modelida (biz eslaymizki, qo'llash doirasi juda cheklangan), kritik tezlikni boshqarish burchagi ta'sir qilmaydi.

4. 
   Avtotransportning vaqtinchalik harakati
   

Tezlik o'zgarishi bilan xos qiymatlar qanday rivojlanishini bilish qiziq bo'lishi mumkin. Shu maqsadda tr ni tuzish foydalidir(A)vs det(A), qaysi, ko'ra (6.209) va (6.210),

6.62-rasmDetning evolyutsiyasi(A)va tr(A)qachonuo'sadi

sifatida ixcham ifodalanishi mumkin15

det(A)=

^a + b, tr(A)= − ^g

u

u
2

(6,221)

qayerdaavaghar doim ijobiy, holbukib=(C2a2−C1a1)/Jzavtomashinaning mos ravishda past yoki haddan tashqari burilish holatiga qarab ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin.

Ikkala funktsiya ham monotonlik bilan ortib bormoqdau(agaru >0). Ular birlashtirilishi mumkin
olish uchun; olmoq _a
det(A)= _g2 tr(A)2+b. (6,222)

Bundan tashqari, buni ko'rsatish oson

u
lim tr(A)=0−, lim det(A)=b (6,223)
→+∞ u→+∞
Shuning uchun, kabiuo'sadi, biz shaklda ko'rsatilganidek, parabolalarni chizamiz.6.62, ularning cho'qqisiga qadar(0, b).
Shuningdek, rasmda chizilgan.6.62parabola det = tr2/4. Ko'ra (6.208), qayerdagi nuqtalarga mos keladil1=l2. Ushbu parabola ostida ikkita xos qiymat haqiqiy, uning ustida esa murakkab konjugatlar mavjud.
Buni ko'rsatish mumkin
⁽ a CC_{1 2}k_l2 2 ⁾ 1

2

4
^{g2 =} [k2(C 1+C2)+C1a1+C2²a]2 ^{2 ≤}
(6,224)

qayerdaJz=mk2. Chunki u maksimal qiymatga erishadi 1/4 qachonC1a1=C2a2(neytral transport vositasi) vaJz=ma1a2, biz etarlicha past tezlikda harakatlanadigan barcha transport vositalarining haqiqiy salbiy o'z qiymatlariga ega ekanligini ko'ramiz.

15Bu yerdaa,bvagfaqat doimiylardir. Ularning slip va kamber burchaklari bilan aloqasi yo'q.

6.63-rasmHaqiqiy qism va xayoliy qismning evolyutsiyasil1val2oldinga tezlik funktsiyalari sifatidau, pastdan boshqariladigan avtomobil uchun









Tezlik oshgani sayin, quyidagi evolyutsiyalar mumkin. Ortiqcha boshqariladigan transport vositasi (aslida, to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bir yo'l modeli) har doim ikkita haqiqiy o'z qiymatiga ega. Shakldagi parabola qachon.6.62gorizontal o'qni kesib o'tadi (det = 0), bitta o'ziga xos qiymat ijobiy bo'ladi va vosita beqaror bo'ladi. Buning uchun sodir bo'ladiu=ucr.
Past tezlikda boshqariladigan transport vositasi ikkita salbiy haqiqiy xos qiymatga ega. dan yuqori tezliklar uchunu=ut,ular√murakkab konjugatga aylanadi√ salbiy real qismlar bilan
(Anjir.6.62):l1= −zōn+ya'ni1 −z2,l2_n= −zōn−ya'nin 1 −z2. Shuning uchun, etarlicha yuqori tezlikda, vaqtinchalik harakat sönümli tebranishdir (juda namlangan, haqiqatan ham). Tezlikuttomonidan beriladi

√ ^√

ut=
g2− 4a ₌ 4b
[Jz(C1+C2)+m (C1a2 1+C2a2 2)]2− 4JzmC1C2l2
4m2Jz(C2a2−C1a1)

(6,225)
Rasmdan.6.63, ko'ramiz√xos qiymatlarning xayoliy qismi, ya'ni burchak chastotasiōs=ōn 1 −z2, nisbatan yuqori tezlikka qadar deyarli doimiy. Bu odatiy holdir va klassik sinusni tozalash testini tanlangan tezlikka nisbatan befarq qiladi.
Umumiy yechim (6.215). Biroq, xos qiymatlar murakkab konjugatlar bo'lsa, xos vektorlar hamx1vax2va doimiylarg1vag2bor

murakkab konjugatlar. Haqiqiy funktsiyani olish uchun juda ko'p murakkab raqamlar bilan shug'ullanish kerakw(t)unchalik qulay emas. Yaxshiyamki, biz uni faqat haqiqiy raqamlarni o'z ichiga oladigan tarzda o'zgartirishimiz mumkin. Ma'lumki, e(z+iō)t=ezt[cos(ōt)+ igunoh(ōt)] va umumiy yechimni quyidagicha yozish mumkin